Уравнения с модулем

Уравнения с модулем
а, если а  0,
Определение модуля а  
 а, если а  0.
ab  a b
x
x
 , y  0.
y
y
x  x
2
2
x2  x
x y x
2
y
log a x  2 log a x
2
Геометрический смысл
модуля
● Геометрически x есть расстояние от
точки х числовой оси до начала отсчёта
– точки О.

 x

 x
0
x 0
x
● x  a есть расстояние между точками х
и а числовой оси.
 
 x  
 x
0
x a
x
0
a
  x
a x 0
Решите уравнения
1. 2 x  3  5
2.1 
x3
5
4
3. x  4  3( 2  x )
4. 8  5 x  2
5. 36  5 x x  3  6  x
6.( x 2  1)  7 x 2  1  18  0
7. x  2  x  3  5
8. 4 x 2  20 x  25  3 x  10
9.9 log 3 x 2  6
10. x  1  x  2  x  3
11. log 22 (  x )  3 log 2 x 2  5  0
12. 6 x  5  7  3 x
13. 8 x  1  4 x `13
14. 25  9 x x  4  5  2 x
Инструкция по работе над
проектом.
● 1. Решить уравнения.
● 2. Проанализировать способы решения.
● 3. Провести классификацию данных уравнений:
●
а) сгруппировать примеры по способам
решения;
●
б) определить, в чём заключается общий вид
уравнений в каждой группе;
●
в) дать название каждой группе уравнений.
● 4. Создать проект таблицы: « Решение уравнений,
содержащих модуль».
● 5. Подготовить защиту проекта.
Простейшие уравнения вида
,b>0.
f ( x)  b
● По определению модуля
1.
2 x  3  5,
2 x  8,
 x  4,
2x  3  5  


2 x  3  5 2 x  2  x  1.
Ответ : 1;4
1 x
x3
4  ( x  3)
1 x
2.1 
5
5
5
5
4
4
4
4
1  x  20,
 1  x  20  

1  x  20
Ответ: -19;21.
 x  19,
 x  21.

f ( x)  g ( x)
Уравнения более общего вида
● Условие
g ( x)  0
2  x  0,
 x  2,
 x  2,
 x  2,




3. x  4  3(2  x)   x  4  3(2  x),   x  4  6  3x,  4 x  2,   x  0,5,  x  0,5.
 x  4  3(2  x)  x  4  6  3x  2 x  10  x  5




Ответ : 0,5.
 13
4 x  13  0,
4 x  13,
 x  3,25,
 x  4,




13. 8 x  1  4 x  13  8 x  1  4 x  13,  8 x  4 x  13  1,  
  x  3,5 
8 x  1  (4 x  13) 8 x  1  4 x  13
4 x  14,  x  1



12 x  12
 решений нет.
Ответ : решений нет.
Уравнения вида
f ( x)  g ( x) .
● уравнение
f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x)  ( f ( x)  g ( x))( f ( x)  g ( x))  0 
 f ( x)  g ( x)  0,  f ( x)  g ( x),
 f ( x)  g ( x)  0.   f ( x)   g ( x).


4

x ,
6 x  5  7  3 x ,
9 x  12, 
3
12. 6 x  5  7  3x  


6 x  5  (7  3x) 3x  2
x   2 .

3
2 1
Ответ :  ,1 .
3 3
Уравнения, приводимые к
уравнениям, содержащим модуль.
● Иррациональное уравнение
 2 x  5  3 x  10,
8. 4 x  20 x  25  3x  10  (2 x  5)  3x  10  

 3x  10  0
 x  3,
2 x  5  3x  10, 5 x  15, 


 x  5,
 2 x  5  3x  10,   x  5,  
 x  5.
1
 3 x  10  0
 3x  10

x


3



3
Ответ : 5.
2
2
Уравнения, приводимые к
уравнениям, содержащим модуль
● Логарифмическое уравнение
 x  27,
9. log 3 x  6  2 log 3 x  6  log 3 x  3  x  27  
 x  27.
Ответ : 27;27.
2


 x  0,
x  0,


x

0
,



11. log 22 ( x)  3 log 2 x 2  5  0   2
 log 2 x  t ,  log 2 x  t , 
log 2 x  6 log 2 x  5  0  2

t

6
t

5

0

t  1,
t  5
 x  0,
 x  0,


 x  2,


  log 2 x  1 ,   x  2,  
log x  5  x  32  x  32.
 2

Ответ : 32;2.
Иррациональные уравнения,
содержащие модуль.
● В силу того, что
x2,5 модуль x  4
раскрывается однозначно
.
2

2
5

9
x
x

4

4
x

2
0
x

2
5
,

2
5

9
x
x

4

5

2
x

2
5

9
x
x

4

2
x

5



2
x

5

0
;



x

0
,

2

2 2
2


9
x
x

4

4
x

2
0
x
,


9
x

3
6
x

4
x

2
0
x

0
,
5
x

1
6
x

0
,


1






x

0
.
x


3
,




x


2
,
5
;
x


2
,
5
;
5

x


2
,
5
;





x


2
,
5
;

 36  5 x x  3   x  6  2 ,
36  5 x x  3  x  6  

 x  6  0;
2
 36  5 x x  3  x  12 x  36,


 x   6;
   x  3  0,

2
5
x
x

3

x
 12 x ,






2
 5 x x  3  x  12 x ,

 
    x  3  0,


 x   6;

2
5
x

x

3

x
 12 x ,




 x   6;

   x   3,

    x  0,
   x   3,

  2
3

x


,
4
x

3
x

0,



4


    x   3,
 


x


3,


2
    6 x  27 x  0,
    x  0,
 x   6;


    x   4, 5,

 x   6;
  x  0,


3
 x   ,
4

 x   4, 5.
   x   3,
 2
2
   5 x  15 x  x  12 x  0,


   x   3,

2
2

5
x

15
x

x
 12 x  0,


 x   6;

Иррациональные уравнения,
содержащие модуль.
● В силу того, что x  6 модуль x  3 раскрывается
двузначно.
● Ответ: -4,5; -0,75; 0.
Замена модуля.

 x2  1  t,
 x2  1  t,


2


2
2
2
2
2

 t  0,
( x  1)  7 x  1  18  0  x  1  7 x  1  18  0  t  0,
t 2  7t  18  0  t  9,


 t  2
2
2
 x  10,


 10,
x
9,

1

x
2
2
 x  10  
 2
 x 1  9   2
 x   10.
 x  1  9  x  8
Ответ:  10; 10.
Уравнения, содержащие несколько
модулей.
( Решаемые с помощью метода
интервалов)
10. x  1  x  2  x  3
● 1.Найдём значения х, при которых значения
выражений, стоящих под знаком модуля, равны
0:
х -1 = 0 при х = 1.
х – 2=0 при х = 2.
● 2. Эти значения разбивают ОДЗ на промежутки:
(;1), 1;2, (2; ).
● 3.Запишем на каждом из промежутков данное
уравнение без знаков модуля.
● Получим совокупность систем.
Уравнение, содержащее несколько
модулей.
● Метод интервалов
  x  1,
  x  1,
 x  1,




(
x

1)

(
x

2)

x

3,

x

1

x

2

x

3,


3x  0,
 1  x  2,
 1  x  2,
1  x  2,  x  0,
x  1  x  2  x  3  
 
 

 ( x  1)  ( x  2)  x  3,
  x  1  x  2  x  3,
 x  2,
 x  6.



x

2,
x

2,




 x  2,
 ( x  1)  ( x  2)  x  3
  x  1  x  2  x  3
  x  6
Ответ : 0;6.