Eksami_kusimused_Orlov

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
1. Комплексные числа. Алгебраические операции над комплексными числами.
Тригонометрическая форма. Геометрический смысл комплексных чисел. Формулы
Муавра. Корни из 1. Геометрическая иллюстрация корня из 1 n-ой степени.
Решение кв. уравнений с нахождением корня в алгебраическом виде.
2. Перестановки и подстановки элементов. Их свойства. Определитель n-ого порядка,
его свойства.
3. Миноры и алгебраические дополнения для элементов определителя. Разложение
определителя по столбцам и строкам и доказательство равенства
Ak1ai1  Ak 2 ai 2  ...  Akn ain  0
4. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Сложение, умножение на число.
Умножение матриц, обратная матрица и её вычисление. Решение матричных
уравнений. Правило Крамера.
5. Ранг матрицы и его вычисление. Понятие линейной зависимости строк матрицы.
Теорема о ранге матрицы и её доказательство.
6. Однородная система линейных уравнений. Общее свойство её решений.
Фундаментальная система частных решений (линейно-независимые частные
решения). Общее решение однородной системы.
7. Неоднородная система линейных уравнений. Теорема о её совместности (теорема
Кроникера-Капелли), её доказательство. Решение системы методом Гаусса. Общее
решение в векторной форме. Его структура (связь с решением соответствующей
однородной системы).
8. Понятие векторного пространства. Алгебраические операции, 8 аксиом,
размерность векторного пространства, его базис, координаты вектора относительно
базиса.
9. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису, матрица
преобразования, пример вращения плоскости с матрицей.
 cos 
A
 sin 
 sin  

cos  
10. Собственные числа и векторы линейного преобразования для матрицы этого
преобразования в некотором базисе.
11. Евклидово пространство. Аксиомы евклидова пространства. Метрические
свойства. Теорема Пифагора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между двумя
векторами. Ортогонолизация базиса в евклидовом пространстве. Процесс ГрамаШмидта.
12. Афинное пространство (2 аксиомы). Векторное произведение двух векторов, его
свойство, смешанное произведение 3-х векторов, его свойство. Выражение векторного
и смешанного произведения в координатах. Условие компланарности трёх векторов.
13. Квадратичная форма в n-мерном пространстве, её матричный вид. Свойства
матрицы квадратичной формы, связанное с преобразованием координат.
Ортогональное преобразование матрицы квадратичной формы.
14. Кривые второго порядка. Их канонические уравнвения. Эллипс, гипербола,
парабола, уравнения касательных к ним. Асимптоты к гиперболе.
15. Поверхности 2-ого порядка, их канонические уравнения, эллипсоид,
гиперболоиды, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус,
цилиндры.
16. Приведение к каноническому виду кривой второго порядка ортогональным
преобразованием (матрица C) и параллельным переносом координат осей. Понятие
инвариантов ортогонального преобразования и параллельного переноса.
Преобразование уравнения поверхности 2-ого порядка к каноническому виду.
17. Вывод уравнения плоскости в трёхмерном пространстве. Общее уравнение
плоскости. Параметрические уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
18. Расположение 2-х и 3-х плоскостей в пространстве. Пучок плоскостей.
19. Прямая линия в пространстве, её каноническое и параметрическое уравнения.
Прямая, как линия пересечения двух плоскостей, приведение её к каноническому виду.
Расположение 2-х прямых в пространстве. Расстояние между параллельными и
скрещивающимися прямыми.
20. Пересечение прямой и плоскости. Прямая и плоскость. Улсовия параллельности и
перпендикулярности прямой и плоскости.
21. Прямая линия на плоскости. Её уравнение. Виды её уравнений. Нормальное
уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой на плоскости и
расстояние от точки до прямой.