x 2 -x| = 2.

Лекции.
Множества и операции над множествами
Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем
придерживаться дальше.
Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе
математики - это понятие множества.
Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.
Множества обозначаются заглавными латинскими буквами
множества строчными латинскими буквами
Запись
, а элементы
.
означает, что есть множество
, которые связаны между собой какой-то функцией
с элементами
.
Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.
Основные операции:
1. Принадлежность элемента множеству:
где
-- элемент и
-- множество (элемент
принадлежит множеству
).
2. Непринадлежность элемента множеству:
где
-- элемент и
-- множество (элемент
3. Объединение множеств:
Объединением двух множеств
состоит из элементов множеств
не принадлежит множеству
.
и
и
называется множество
, т.е.
или
, которое
).
4. Пересечение множеств:
.
Пересечением двух множеств
из общих элементов множеств
и
и
называется множество
, т.е.
, которое состоит
и
5. Разность множеств:
.
Разностью двух множеств
и
, например, множество
минус множество
, называется множество
, которое состоит из элементов множества
,
которых нет в множестве
, т.е.
и
6. Симметрическая разность множеств:
Симметрической разностью двух множеств
и
которое состоит из не общих элементов множеств
7. Дополнение множества:
.
называется множество
и
, т.е.
,
.
Если предположим, что множество
является подмножеством некоторого
универсального множества
, тогда определяется операция дополнения:
и
8. Вхождение одного множества в другое множество:
.
Если любой элемент множества
является элементом множества
, то говорят,
что множество
есть подмножество множества
(множество
входит в
множество
).
9. Не вхождение одного множества в другое множество:
.
Если существует элемент множества
, который не является элементом
множества
, то говорят, что множество
не подмножество множества
(множество
не входит в множество
).
Основные множества
Приведем основные множества, которые изучались и разбирались в школьном курсе
алгебры.
Основные множества:
1.
-- множество натуральных чисел;
2.
-- множество целых чисел;
3.
4.
-- множество рациональных чисел;
-- множество вещественных (действительных) чисел;
-- множество иррациональных чисел;
5.
-- множество комплексных чисел.
6.
Здесь
7.
-- мнимая единица;
-- множество трансцендентных чисел.
Трансцендентное число -- это вещественное или комплексное число, не
являющееся алгебраическим, т.е число, не являющееся корнем многочлена с
рациональными коэффициентами.
Замечание. Множество комплексных чисел
подробно не рассматривается в школьном
курсе алгебры. Здесь можно ознакомиться с основами множества
: определение,
основные понятия, элементы множества и действия над ними.
Замечание. Множество трансцендентных чисел
подробно не рассматривается в
школьном курсе алгебры, а лишь обозначается и говорится, что есть такое множество и
указываются числа этого множества - , .
Рассмотрим вопрос о том, как между собой связаны (располагаются) введенные основные
множества. Видно, что, например, множество целых чисел определяется через множество
натуральных. Получаем, что множество
содержит в себе множество
, т.е.
Рассуждая аналогичным образом, получаем следующую цепочку вложений
(принадлежности) множеств:
.
Рассмотрим подробнее множество иррациональных чисел.
Иррациональное число -— это вещественное число, которое не является рациональным,
то есть которое не может быть представленным в виде дроби
(из ), — натуральное число (из
).
, где
— целое число
Формулы для преобразования степеней
Практически всегда, решая математическую задачу, необходимо преобразовывать степени
различных выражений, например, перемножение многочленов, нахождение нулей
уравнений (нелинейных), преобразование тригонометрических выражений и т.д. В этом
разделе описаны основные правила работы со степенями. Приведенные ниже формулы
являются достаточно простыми и изучаются в школе ( , класс).
Рассмотрим произвольное вещественное число
.
1. Возведение числа в натуральную степень.
По определению, чтобы возвести число в натуральную степень
раз умножить число само на себя, т.е.
необходимо
2. Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-1).
По определению, чтобы возвести не нулевое число
в отрицательную степень
нужно найти такое число, обозначим его через
равенство:
Найденное число
называется обратным к
т.е. обратное к не нулевому числу
, чтобы выполнялось
. Записи
обозначается через
и
эквивалентны,
.
3. Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-n).
Допустим, что степень отрицательная, т.е.
, где
, то это означает, что
Здесь есть возможность делать двумя способами: найти обратное число к и
возвести его в -ую степень и получить ответ, или возвести число в -ую
степень и потом найти к полученному числу обратное, это и будет ответ.
4. Формулы работы со степенями.
Хорошо известны следующие формулы работы со степенями (приводим без
доказательства)
5. Корень из неотрицательного числа.
По определению корнем степени
степень которого равна .
Корень
-ой степени из числа
Получаем, что
из числа
называется такое число
,
-ая
обозначается как
такое, что
.
6. Возведение в рациональную степень.
Рассмотрим случай, когда степень является рациональным числом, т.е.
предыдущие рассуждения, получим:
. Учтем
здесь
-- -ый корень из , который определяется следующим образом:
необходимо найти такое число , что
.
7. Выпишем основные формулы:
1.
2.
3.
;
;
;
4.
;
5.
6.
;
.
8. Формулы сокращенного умножения
9. Основные формулы сокращенного умножения из школьного курса алгебры:
Бином Ньютона, треугольник Паскаля и связь между ними
Рассмотрим формулы, которые позволяют достаточно легко и быстро решать большой
класс задач. Например, если требуется найти коэффициент, который стоит перед
многочлена
. Для решения достаточно раскрыть все скобки, перемножить,
привести подобные и получить ответ. Как видно, это достаточные долгие и нудные
вычисления. В данном пункте приводятся формулы, по которым получается сразу ответ,
это так называемый Бином Ньютона.
Хорошо известны следующие школьные формулы:
Поставим вопрос о том, можно ли эти формулы обобщить на произвольную натуральную
степень , т.е. рассмотрим следующий многочлен относительно и и степени :
Данное равенство легко получить, раскрыв все скобки и приводя подобные члены. Здесь
коэффициенты
определения.
, где
, являются неизвестными и требуются
Возникает вопрос, а каким образом, каким способом можно найти данные коэффициенты?
Ответ на этот вопрос дает Бином Ньютона:
где
здесь
называются биномиальными.
и по определению
. Коэффициенты
Это равенство можно доказать методом математической индукции.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем выражения для
коэффициентов:
Рассмотрим еще один способ получения коэффициентов
треугольник Паскаля.
в разложении
- это
Опишем алгоритм построения данного треугольника. Каждая строка треугольника
соответствует конкретной степени многочлена, значения в строке соответствуют
коэффициентам в разложении. Треугольник строится сверху вниз, т.е. от многочлена
нулевой степени, каждый раз увеличивая степень на единицу. Стрелками показано какие
операции выполняются, т.е. сносятся каждые числа и складываются соседние.
Далее выписывается многочлен данной степени
из -ой строки треугольника.
и расставляются по порядку значения
Пример.
Найти разложение:
Решение.
В данном примере:
,
треугольника (где справа стоит
и
, т.е. нужно взять четвертую строку
).
Выписываем разложение с неопределенными коэффициентами:
подставляем вместо
и
, получаем
Теперь берем значения из четвертой строки треугольника и подставляем их поочереди
вместо коэффициентов:
Ответ:
Здесь прослеживается реккурентная связь между коэффициентами. Получаем, что если
известны коэффициенты для многочлена
-ой степени, тогда для многочлена
ой степени они находятся простым суммированием.
Получается, что элемент, стоящий в
-ой строке (
), и в
-
-ом столбце (
) определяется по формуле
т.е. это будет связь треугольника Паскаля с биномиальными коэффициентами.
Рассмотрим пример, про который говорилось в начале пункта: найти коэффициент,
который стоит перед
многочлена
?
Решение.
Используя бином Ньютона, получаем:
Степень, равная
-и, у
будет при
, получаем, что коэффициент при
равен
Последовательность Фибоначчи
Рассмотрим хорошо известную последовательность чисел Фибонначи:
Каждый член последовательности Фибоначчи равен сумме предыдущих членов, при этом
задаются два первых члена: 0 и 1.
Поставим следующую задачу.
Найти n-ый член последовательности, так, чтобы в ответ входил только номер члена
последовательности.
При решении этой задачи необходимо воспользоваться теорией решения разностных
уравнений.
Запишем рекуррентное соотношение на члены последовательности:
где
- n-ый член последовательности.
Получаем, что это есть разностное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами, которое решается в явном виде.
Поставим для этого разностного уравнения начальную задачу (задачу Коши). Учтем, что
Решение разностного уравнения будем искать в следующем виде:
где q - число.
Подставляя решение в исходное разностное уравнение, получаем:
здесь ищется ненулевое решение, поэтому представляется возможность сократить данное
выражение:
Решая квадратное уравнение, получаем корни:
Тогда общее решение разностного уравнения записывается в следующем виде:
где A и B - произвольные постоянные.
Постоянные находятся так, чтобы общее решение удовлетворяло начальным условиям:
Отсюда получаем, что
Тогда решение записывается в следующем виде:
Показательная функция
Ключевые слова: функция, показательная функция, график, степень, основание степени
При a > 0, a = 1, определена функция y = a x , отличная от постоянной. Эта функция
называется показательной функцией с основанием a.
Основные свойства показательной функции y = a x при a > 1:





Область определения функции - вся числовая прямая.
Область значений функции - промежуток (0;+ ).
Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2 , то ax1
< ax2 .
При x = 0 значение функции равно 1.
Если x > 0 , то a x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

Логарифмическая функция.

Пусть а — положительное число, не равное 1.

Определение. Функцию, заданную формулой
 y =logax,
(1)
называют логарифмической функцией с основанием а.
Перечислим основные свойства логарифмической функции.
1. Область определения логарифмической функции — множество всех
положительных чисел R+, т. е. D(loga)=R+.Действительно, как отмечалось в
предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по
основанию а.
2. Область значений логарифмической функции — множество всех
действительных чисел.В самом деле, по определению логарифма любого
действительного у справедливо равенство
 loga(ay) = y (2)

т. е. функция y= logax принимает значение у0 в точке x0=a у0
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при
а>1) или убывает (при 0<а<1).
Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится
аналогичное рассуждение).
Пусть x1 и x2 — произвольные положительные числа и x2>x1. Надо доказать, что
loga x2>loga x1. Допустим противное, т. е. что
 loga x2≤loga x1 (3)

Так как показательная функция у=ах при а>1 возрастает, из неравенства (3)
следует:
 aloga x2≤aloga x1. (4)

Но aloga x2=x2, aloga x1=x1 (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает,
что x2≤ x1. Это противоречит допущению x2 > x1.
Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция
принимает в точке 1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1.
Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая
функция принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные.
Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0<x<1 и logax<0 при
х>1.


Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х
при а>1 (рис. 1, а) и0<а<1 (рис. 1,6).


Справедливо следующее утверждение:
Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое
основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Функция
, где
, называется логарифмической фун
с основанием a.
1. Область
определения
2. Множество
значений
3. Пересечение с
с осью (ОХ): y = 0, x = 0
с осью (ОХ): y = 0, x = 0
осями
с осью (OY): пересечения
с осью (OY): пересечения
координат
нет
нет
4. Монотонность
Убывающая функция
Возрастающая функция
ось ординат - вертикальная
асимптота
ось ординат - вертикальн
асимптота
5. Поведение
при
6. Поведение при
7. Графики функций
и
(эти функции взаимообратны).
Графики
Свойства функции у = logaх , a > 1:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
D(f) = (0; + );
не является ни четной, ни нечетной;
возрастает на (0; + );
не ограничена сверху, не ограничена снизу;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
непрерывна;
E(f) = (- ;+
);
выпукла вверх;
дифференцируема.
Свойства функции у = logaх , 0 < a < 1 :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
D(f) = (0;+
);
не является ни четной, ни нечетной;
убывает на (0; + );
не ограничена сверху, не ограничена снизу;
нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
непрерывна;
E(f) = (-; +
);
выпукла вниз;
дифференцируема.
Свойства функции у = ln х :
1.
2.
3.
4.
5.
D(f) = (0; + );
не является ни четной, ни нечетной;
возрастает на {0; + );
не ограничена сверху, не ограничена снизу;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
симметричны относительно пр
6.
7.
8.
9.
непрерывна;
E(f) = (- ;+
);
выпукла вверх;
дифференцируема.
Логарифм
Рассмотрим функцию, которая является обратной к показательной, что это означает будет
показано и объяснено позже.
Предположим, что есть следующее равенство:
где
,
и
-- вещественные числа, такие что
,
, следовательно,
(свойства степеней).
Задача состоит в следующем: пусть известны два любых числа из трех чисел ( , и ),
необходимо найти третье (неизвестное) число, если все они связаны данным равенством.
Возможны три случая:
1. Числа и известны, тогда число определяется согласно пункту работы со
степенями;
2. Числа и известны, тогда число определяется согласно пункту работы со
степенями;
3. Числа и известны, определение числа остается под вопросом.
В данном разделе подробно рассматривается третий случай, т.е. нахождение числа
известным и .
Для числа
введено обозначение (во всех странах мира):
по
Данное выражение читается следующим образом: число равно логарифму числа по
основанию . Это означает, что -- это число, в какую степень нужно возвести ,
чтобы получить .
Здесь -- это основание логарифма,
значение логарифма.
Ограничения на логарифм:
-- это подлогарифмическое выражение,
,
.
Основные свойства логарифма
Рассмотрим основные свойства логарифма:
1. Из определения следует, что
здесь
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, т.е.
здесь
3. Логарифм частного равен разности логарифмов, т.е.
здесь
4. Степень выносится из-под логарифма, т.е.
здесь
5. Степень основания выносится обратным числом, т.е.
здесь
6. Формула перехода к новому основанию:
-- это
здесь
Полезные логарифмические формулы
Основываясь на свойствах логарифма приведем еще ряд полезных формул:
1.
2.
3.
4.
Данное свойство не очень очевидно, поэтому рассмотрим его более подробно.
Возьмем логарифм по основанию
от обеих частей равенства, получим:
Здесь использовали следующие свойства: вынос степени из-под логарифма,
переход к новому основанию.
В литературе часто встречаются следующие обозначения:
1. Двоичный логарифм:
2. Натуральный логарифм:
где
3. Десятичный логарифм:
.
Пример нахождения логарифма
Найти
,
?
Решение.
По определению логарифма, как числа, в степень какую нужно возвести основание, чтобы
получить подлогарифмическое выражение, получаем:
здесь использовали свойства, что степень можно выносить.
Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,
называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b.
(1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет
единственное решение x = ab.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2 x = 3,
b) log3 x = -1,
c)
Решение. Используя утверждение 1, получим
a) x = 23 или x = 8;
b) x = 3-1 или x = 1/3;
c)
или x = 1.
Приведем основные свойства логарифма.
P1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих
сомножителей:
loga N1·N2 = loga N1 + loga N2
(a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2|
(a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0).
P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого
и делителя
(a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если
, (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
(a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на
логарифм этого числа:
loga N k = k loga N
(a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то
loga N 2s = 2s loga |N|
(a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),
в частности, если N = b, получим
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).
(2)
Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(3)
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(4)
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(5)
и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место
(b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).
(6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2  loga x1 < loga x2), а при 0
< a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2  loga x1 > loga x2).
4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x  (0;1) и положительна при x
 (1;+), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и
отрицательна при x  (1;+).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a  (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении
логарифмических уравнений.
Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из
систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) > 0,
h(x) ≠ 1,
h(x) ≠ 1,
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто
используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ)
исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть
потеряны решения. Например, уравнения
f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)
или
loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать
равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений
является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования,
которые могут привести к потере корней.
Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.
I. Использование определения логарифма
Пример 2. Решить уравнения
a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,
c) log(x - 2)9 = 2,
d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.
b)
Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1)
называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом,
logab = c  b = ac и, следовательно,
5 + 3log2(x - 3) = 23
или
3log2(x - 3) = 8 - 5,
log2(x - 3) = 1.
Опять используя определение, получим
x - 3 = 21,
x = 5.
Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:
log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.
Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного
уравнения.
b) Аналогично примеру a), получим уравнение
откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и
убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
c) Аналогично примеру a), получим уравнение
(x - 2)2 = 9.
Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После
проверки остается лишь x = 5.
d) Используя определение логарифма, получим уравнение
(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2
или, после элементарных преобразований,
x2 + 6x-7 = 0,
откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
II. Использование свойств логарифма
Пример 3. Решить уравнения
a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
c) log2x + log3x = 1,
d) 2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0,
e) 16log4(1 - 2x) = 5x2 - 5.
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы
неравенств (условия существования логарифмов уравнения)
x > 0,
x+3 > 0,
x+24 > 0.
Используя свойство P2 и утверждение 1, получим
log3x(x + 3) = log3(x + 24),
log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24) 

x > 0,
x1 = -6,
2
x(x + 3) = x + 24,

x > 0,
x + 2x - 24 = 0,

x2 = 4,  x = 4.
x > 0,

x > 0,
b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения
откуда, используя определение логарифма, получим
или
x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),
откуда получаем уравнение
x2 - 2x - 3 = 0
с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение
log2x(1 + log32) = 1,
откуда
или
или log2x = log63. Следовательно,
d) ОДЗ уравнения - множество (2;4)(4;+) определяется из системы неравенств
x-2 > 0,
(x - 4)2 ≠ 0,
Используя свойство P4 (учитывая замечание), получим равносильное уравнение
2log3(x - 2) + 2log3|x - 4| = 0
или log3(x - 2) + log3|x - 4| = 0.
Используя свойство P2, получим равносильное уравнение
log3(x - 2)|x - 4| = 0
(x - 2)|x - 4| = 1.
Поскольку в ОДЗ x - 2 = |x - 2| уравнение можно записать следующим образом
|x - 2||x - 4| = 1
или
|x2 - 6x + 8| = 1
последнее уравнение (см. свойства модуля) равносильно совокупности уравнений
x2 - 6x + 8 = 1,
x2 - 6x + 8 = -1,
откуда получим: x1 = 3, x2 = 3 +
 ОДЗ. Таким образом, корнями исходного
и x3 = 3 -
уравнения являются x1 = 3 и x2 = 3 +
.
e) Поскольку
используя свойство P1, получим, что в ОДЗ (x  (-;-1)) уравнение равносильно уравнению
(1 - 2x)2 = 5x2 - 5
или
x2 + 4x - 6 = 0,
откуда следует: x1 = -2 -
и x2 = -2 +
единственное решение x = -2 -
. Последнее значение x не входит в ОДЗ, остается
.
III. Метод подстановки
В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебрическому
уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение F(logax) = 0, где F(x) алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки logax = t сводится к
алгебраическому уравнению относительно t, R(t) = 0.
Пример 4. Решить уравнения
a) lg2x - 3lgx + 2 = 0,
c) lg2100x + lg210x + lgx = 14,
b)
,
d) 5lgx = 50 - xlg5.
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+). Обозначив lgx = t (тогда lg2x = (lg
x)2 = t2), получим квадратное уравнение
t2 - 3t + 2 = 0,
решения которого t1 = 1 и t2 = 2. Следовательно,
lg x = 1,
lg x = 2,
откуда x1 = 10 и x2 = 100. Оба корня входят в ОДЗ.
b) ОДЗ уравнения - множество (1;+). Поскольку
подстановкой t = log2(x - 1) получим квадратное уравнение
4t2 - 3t - 1 = 0
решениями которого являются t1 = -1/4 и t2 = 1. Таким образом,
log2(x - 1) = -1/4,
log2(x - 1) = 1,


c) ОДЗ уравнения - множество (0;+). Так как
lg2100x = (lg100x)2 = (lg100 + lgx)2 = (2 + lgx)2,
lg210x = (lg10x)2 = (lg10 + lgx)2 = (1 + lgx)2,
подстановкой t = lgx сведем исходное уравнение к квадратному уравнению
(2 + t)2 + (1 + t)2 + t = 14
или
2t2 + 7t - 9 = 0
откуда t1 = -9/2 и t2 = 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим
и x2 = 10.
d) ОДЗ уравнения - множество (0;1)(1;+). Поскольку
2·5lg x = 50, откуда 5lg x = 25 или 5lg x = 52
уравнение примет вид 5lg x = 50 - 5lg x или
 lgx = 2  x = 100.
IV. Уравнения, содержащие выражения вида
Пример 5. Решить уравнения
Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы
x + 2 > 0,
x + 2 ≠ 1.
Получим множество x  (-2;-1)(-1;+). В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому,
логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2), получим равносильное
уравнение
или, используя свойства P4 и P2,
log2(x + 2)·log2(x + 2) = log24 + log2(x + 2).
Обозначив log2(x + 2) = t, получим квадратное уравнение
t2 - t - 2 = 0
решениями которого являются t1 = -1 и t2 = 2. Следовательно,
log2(x + 2) = -1,
log2(x + 2) = 2,
откуда
x + 2 = 1/2,
x+2=4
или
x1 = -3/2,
x2 = 2.
Оба корня входят в ОДЗ.
b) ОДЗ уравнения - множество (0;1)(1;+). Поскольку (см. свойство proprietatea P5 и
формулу (2))
уравнение примет вид
или
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим
или log2x = 1, откуда x = 2.
V. Некоторые специальные методы
Пример 6. Решить уравнения
a) 2x = 9 - log3x;
b)
c) log2(x2 + 1) - log2x = 2x - x2;
d) log5(x + 2) = 4 - x;
e)
f) |log2(3x - 1) - log23| = |log2(5 - 2x) - 1|;
g) logx+1(x3 - 9x + 8)logx-1(x + 1) = 3;
h) log2(6x - x2 - 5) = x2 - 6x + 11.
Решение. a) Заметим, что x = 3 есть корень данного уравнения: 23 = 9-log33, 8 = 9-1, 8 = 8.
Других решений уравнение не имеет, так как левая часть уравнения представляет строго
возрастающую функцию, а правая часть - строго убывающую функцию. Графики таких
функций имеют не более одной точки пересечения и, следовательно, поскольку x = 3
является решением, следует, что других решений нет.
b) ОДЗ уравнения есть множество x  (1;+). Обозначив log3(x-1) = t получим квадратное
уравнение относительно t
xt2 + 4(x - 1)t - 16 = 0.
Дискриминант этого уравнения  = [4(x - 1)]2 + 4x·16 = 16x2 + 32x + 16 = 16(x + 1)2, а корни
и
Таким образом, получена совокупность уравнений
log3(x - 1) = -4,
log3(x - 1) = 4/x.
Из первого уравнения получим
, а второе уравнение решается аналогично предыдущему
примеру: заметив, что x = 4 есть корень уравнения, доказывается, что других корней нет.
Следовательно, корнями исходного уравнения являются
и x = 4.
c) ОДЗ уравнения определяется из системы
x2 + 1 > 0,
x > 0,
откуда следует x  (0;+). Используя свойство P3, получим равносильное уравнение
Поскольку
при x > 0, а знак равенства достигается лишь при x = 1, то
левая часть уравнения
В то же время правая часть уравнения принимает
максимальное значение 1 при x = 1 (вершина параболы y = 2x - x2 находится в точке (1;1)).
Следовательно, уравнение имеет решения только если
откуда x = 1.
d) Решая аналогично примеру a), получим x = 3.
e) Используя утверждение A1 (иррациональные уравнения), получим
f) Используя свойства P2, P3 и свойства модуля (см., например, [2]), получим
g) Находим ОДЗ уравнения
x + 1 > 0,
x > -1,
x + 1 ≠ 1,
x ≠ 0,
x > 1,
x3 - 9x + 8 > 0,
x3 - x - 8x + 8 > 0,
x ≠ 2,
x - 1 > 0,
x - 1 ≠ 1,

x > 1,


(x - 1)(x2 + x - 8) > 0,
x ≠ 2,
x > 1,
x > 1,
x ≠ 2,
x ≠ 2,


x2 + x - 8 > 0, 
Используя свойство P5, получим (в ОДЗ)
или
logx+1(x - 1)(x2 + x-8) = logx+1(x - 1)3,
откуда следует уравнение
(x - 1)(x2 + x - 8) = (x - 1)3,
x = 1,
x2 + x - 8 = x2 - 2x + 1,
откуда x1 = 1, x2 = 3.
Поскольку x = 1 не удовлетворяет ОДЗ, а
остается лишь x = 3.
h) Поскольку функция f(x) = 6x - x2 - 5 достигает своего максимума 4 при x = 3, следует,
что
log2(6x - x2 - 5) ≤ 2.
Правая часть уравнения x2 - 6x + 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 и, следовательно, 2 - это
наименьшее ее значение (достигается при x = 3). Таким образом, уравнение имеет решение лишь
в случае, если одновременно log2(6x - x2 - 5) = 2 и x2 - 6x + 11 = 2, то есть, если x = 3.
Логарифмические неравенства
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании
называется логарифмическим неравенством.
В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие
утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства
монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе
неравенств
f(x) > g(x),
g(x) > 0.
Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе
неравенств
f(x) < g(x),
f(x) > 0.
Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем
неравенств
h(x) > 1,
f(x) > g(x) > 0,
0 < h(x) < 1,
0 < f(x) < g(x).
Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать
любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
Пример 1. Решить неравенства
a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);
d)
e) log2x(x2 - 5x + 6) < 1.
b)
c)
Решение. a) Используя утверждение 1 , получим
x2 - x ≥ x + 8,
log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8) 
x+8 > 0,
x2 - 2x - 8 ≥ 0,


x > -8,
x ≤ -2,
x ≥ 4,  x  (-8;-2][4;+).

x > -8,
b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение
2, получим
c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим
Запишем
и, используя утверждение 2, получим
d) Используя утверждение 3, получим
x  (3;4),

 x  (3;4).
x  ,
Решение первой системы совокупности:
Решение второй системы совокупности:
e) Запишем 1 = log2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак
< ).
2x > 1,
x2 - 5x + 6 < 2x,
x2 - 5x + 6 > 0,
0 < 2x < 1,
log2x(x2 - 5x + 6) < log2x2x 
x2 - 5x + 6 > 2x,
2x > 0,
x  (1;2)(3;6),

x  (0;1/2)(1;2)(3;6).
x  (0;1/2)
Решение первой системы совокупности:
x > 1/2,
x > 1/2,
x2 - 7x + 6 < 0,
1 < x < 6,
x < 2,
x < 2,
 x  (1;2)(3;6).

x > 3,
x > 3,
Решение второй системы совокупности:
0 < x < 1/2,
1
0 < x < /2,
 x  (0;1/2).
x < 1,
2
x - 7x + 6 > 0,

x > 6,
Неравенства вида F(logax) > 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому
неравенству F(t) > 0.
Пример 2. Решить неравенства
Решение. a) Обозначив
, получим квадратное неравенство t2 + t - 2 ≥ 0, откуда t
≤ -2 или t ≥ 1. Таким образом,
b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство
.
Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим
Следовательно,
lgx < -1,
0 < x < 1/10,
2 < lgx < 3, 
100 < x < 1000,  x  (0;1/10)(100;1000)(105;+).
lgx > 5,
x > 105,
В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в
утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований
исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью
утверждений 1-3.
Пример 3. Решить неравенства
Решение. a) ОДЗ неравенства - множество (5;+). Используя свойство P2, получим
неравенство
lg(x - 2)(x - 5) < lg4.
Используя утверждение 1, получим
(x - 2)(x - 5) < 4,
(x - 2)(x - 5) > 0.
Решаем систему
x2 - 7x + 6 < 0,
x < 2,
x > 5,
1 < x < 6,

x < 2,
x > 5,
и, учитывая ОДЗ, получим x  (5;6).
e) Определим ОДЗ неравенства
Приведя все логарифмы к основанию 3, получим
 x  (1;2)(5;6)
Используя свойство P2, получим
Обозначив log3x = t, решим полученное неравенство методом интервалов
Следовательно,
откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:
c) Определим ОДЗ неравенства
Поскольку
равносильно следующему:
, неравенство
откуда следует
Обозначив
t ≥ 0, получим квадратное неравенство
(t - 1)2 > t + 11,
или
t2 - 3t - 10 > 0,
откуда t < -2 или t > 5. Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или
 x > 5.
Учитывая ОДЗ, получим ответ: x  (5;+).
d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)(2;+). Используя обобщенный метод
интервалов, получим
Так как в ОДЗ log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) < 0 при 1 < x < 2, следует, что
при x  (1;2)(2;3) и
для любого x из ОДЗ,
при x > 3, значит,
получим x  (1;2)(3;+).
Для укрепления навыков решения логарифмических уравнений и неравенств рекомендуем
читателю, например, задачники [3-5].
Показательные уравнения
Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется
показательным уравнением.
Самое простое показательное уравнение имеет вид
ax = b,
(1)
где a > 0, a ≠ 1.
Утверждение 1. Уравнение (1) имеет единственное решение x = logab при b > 0 и не имеет
решений при b ≤ 0.
Пример 1. Решить уравнения:
a) 2x = -4, b) 2x = 4, c) 2x = 5.
Решение. a) Множество решений данного уравнения пусто, так как левая часть уравнения
положительна при любом x  R (см. свойства показательной функции), а правая часть
есть отрицательное число.
b) Используя утверждение 1 получим x = log24, то есть x = 2.
c) Аналогично предыдущему примеру получим x = log25.
Замечание. Из утверждения 1 следует что показательное уравнение вида
a f(x) = b,
(2)
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0 равносильно уравнению
f(x) = logab.
Пример 2. Решить уравнения
a)
b)
c)
.
Решение. a) Согласно замечанию к утверждению 1
Так как
, следовательно
, откуда
b) Поскольку log39 = 2, данное уравнение равносильно следующему уравнению
|x2-x| = 2.
Используя свойства модуля (см., например, [1]) получим
x2-x = 2,
|x -x| = 2 
x2-x-2 = 0,

2
x2-x = -2,
x = -1,

x2-x+2 = 0,
x = 2.
c) Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим
(2+4+6+...+2x) = 45 sau 1+2+...+x = 45.
Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии получим уравнение
или
x2+x-90 = 0
корни которого x1 = -10 и x2 = 9. Поскольку x  N, остается x = 9.
При решении показательных уравнений используется следующее утверждение о
равносильности уравнений (см., например, [2]).
Утверждение 2. При a > 0, a ≠ 1, уравнения
a f(x) = a g(x)
(3)
и
f(x) = g(x)
равносильны.
Замечание. Уравнение вида
a f(x) = bg(x)
(a > 0, a ≠ 1, b > 0)
можно переписать следующим образом
и решить, используя утверждение 2.
Некоторые показательные уравнения сводятся к уравнениям вида (1)-(3) с помощью
равенств
E1) ax· ay = ax+y, E2)
E3) (ax) y = ax·y, E4)
Пример 3. Решить уравнения
a)
c)
d) 32x-1 = 7x+1.
b)
Решение. a) Используя равенства E1-E3 и утверждение 2 получим
E5) ax· bx = (ab)x.
 32x+1+2(x+2)-3x = 35  2x+1+2x+4-3x = 5  x = 0.
b) Так как
и E1, получим
(ab ≠ 0), то
Используя свойства E4, E3
откуда, согласно утверждению 2, получим квадратное уравнение
2x2-x-15 = 0
корни которого x = 3 и x = -5/2.
c) Так как 43x+1 = 41·43x = 4·(43) x = 4·64x,
, то уравнение примет вид
4·64x ·25x = 6400
или
64x·25x = 1600.
Используя свойство E5 и утверждение 2 получим 1600x = 1600, откуда x = 1.
d) Используя замечание к утверждению 2, получим
,
откуда
2x-1 = xlog37+ log37
или
x(2-log37) = log37+1.
Решая данное линейное уравнение получим
Показательные уравнения вида
F(a f(x)) = 0,
(4)
посредством подстановки t = a f(x) сводятся к уравнениям вида
F(t) = 0,
которые, как правило, решаются проще. Наиболее часто встречаются уравнения вида
A·a 2f(x) +B·a f(x) +C = 0,
(5)
A·a f(x)+ C·a -f(x)+ B = 0
(A, B и C  R), которые с помощью подстановки t = a f(x) сводятся к уравнению
At2+Bt+C = 0.
Пример 4. Решить уравнения
a) 2x+3·2x-4 = 76,
b) 3-x+9· 3x+9x+1+9-x-1=8,
d) 21+x-23-x = 15,
c)
e)
Решение. a) 2x+3·2x-4 = 76 
уравнение
Обозначая t = 2x получим линейное
16t+3t = 76·16,
откуда t = 64. Таким образом 2x = 64 и x = 6.
b) Перепишем уравнение в виде
Обозначая t = 3x (тогда 9x = t2) получим алгебраическое уравнение
которое (см., например, [1]) подстановкой
(
уравнению
) сводится к квадратному
или
z2+9z-90 = 0,
откуда z1 = -15, z2 = 6. Поскольку t > 0, z1 = -15 не удовлетворяет условию и остается
откуда
9t2-6t+1 = 0
следовательно t = 1/3. Таким образом 3x = 1/3, откуда x = -1.
c) Обозначим
уравнение
, тогда
В результате получим квадратное
t2-t-2 = 0
корни которого t1 = -1 и t2 = 2. Поскольку t > 0 (вообще говоря, из условия x2 ≥ 0 следует, что
), остается лишь t = 2. Возвращаясь к переменной x получим уравнение
откуда x2 = 1 и следовательно x = 1.
d) Так как 21+x = 2·2x,
, то после подстановки t = 2x, уравнение примет вид
Умножив обе части уравнения на t (t > 0), получим квадратное уравнение
2t2-15t-8 = 0
корни которого
и t2 = 8. Поскольку t1 < 0, остается
2x = 8,
откуда x = 3.
e) Обозначив
уравнение
(при x  (-,0] [2,+), x2-2x ≥ 0 и следовательно t ≥ 1), получим
4t2-9t+2 = 0
корни которого t1 = 1/4 и t2 = 2. Поскольку t1 < 1, остается решить уравнение
равносильное уравнению
Возводя в квадрат (обе части уравнения неотрицательны при x  (-;0][2;+) получим
равносильное уравнение
x2-2x = 1,
корни которого
.
Уравнение вида
A·a 2f(x) +B·a f(x) b f(x) +C·b 2f(x) = 0,
(A, B, C  R, A·B·C ≠ 0) называется однородным показательным уравнением. Разделив обе части
этого уравнения например на
, получим квадратное уравнение
At2+Bt+C = 0,
где
.
Пример 5. Решить уравнения
a) 64·9x -84·12x +27·16x = 0,
b) 9·22x+2 -45·6x -32x+4 = 0.
Решение. a) Записав уравнение в виде
64·32x -84·3x ·4x +27·42x = 0
и разделив на 42x, получим
или
Обозначив
получим квадратное уравнение
64t2-84t+27 = 0.
Дискриминант данного уравнения равен  = 842 -4·64·27 = 42· 32·72 -4·4·16·9·3 = 42·32(49-48) = 122, а
значит его корни имеют вид
и
Таким образом
откуда x1 = 2 и x2 = 1.
b) Перепишем уравнение в виде
36·22x -45·2x· 3x -81·32x = 0.
Разделив его на
, получим
Обозначая
получим квадратное уравнение
4t2-5t-9 = 0
решения которого t = -1, t = 9/4. Так как t > 0, остается
, откуда x = -2.
При решении некоторых показательных уравнений полезно выделить общий множитель.
Пример 6. Решить уравнения
a) 2x+1 - 2x + 2x-2 - 2x-3 = 9,
b) 2x+1 - 2x+2 - 2x+3 = 5x - 5x+1,
c) x2·2x+1 + 2|x-3|+2 = x2·2|x-3|+4 + 2x-1.
Решение. a) Перепишем уравнение в виде
или
откуда
следовательно 2x = 8 или x = 3.
b) Аналогично примеру 6a, получим
2x+1-2x+2 -2x+3 = 5x-5x+1  2x·2-2x·4 -2x·8 = 5x-5x·5 
2x(2-4-8) = 5x(1-5)  2x(-10) = 5x(-4) 

c) Запишем уравнение в виде
(x2·2x+1 -2x-1)+(2|x-3|+2- x2·2|x-3|+4) = 0
или
2x-1(4x2-1) +2|x-3|+2(1-4x2) = 0,
откуда следует
(4x2-1)·(2x-1 -2|x-3|+2) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности
4x2-1 = 0,
2x-1 = 2|x-3|+2.
Из первого уравнения совокупности находим x1 = -1/2, x2 = 1/2. Второе решаем используя
свойства модуля
2x-1 = 2|x-3|+2  x-1 = |x-3|+2  x-3 = |x-3|  x-3 ≥ 0  x ≥ 3.
Таким образом множество решений исходного уравнения имеет вид
x  { 1/2} [3,+).
Некоторые показательные уравнения решаются особыми методами.
Пример 7. Решить уравнения
a)
d) 4x+(x-1)2x = 6-2x,
g)
b) 5x-2 = 8-x,
e) x2+x+2 = 2·2x-4x,
h)
c) 3x+4x = 5x,
f)
Решение. a) Заметим, что
(тогда
i)
. Используя подстановку
) получим квадратное уравнение
или
t2-62t+1 = 0
корни которого
получим совокупность
и
откуда (учитывая, что
. Поскольку
,
) x1 = 2 и x2 = -2.
b) Заметим, что x = 3 является решением данного уравнения. Других корней уравнение не
имеет. Действительно, левая часть уравнения представляет строго возрастающую
функцию, а правая - строго убывающую функцию. Графики этих функций могут иметь не
более одной точки пересечения. Следовательно x = 3 - единственное решение уравнения.
c) Заметим, что x = 2 - корень данного уравнения. Докажем, что других решений
уравнение не имеет. Перепишем уравнение в виде:
и заметим, что функция
как сумма двух строго убывающих функций, есть
строго убывающая функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз.
d) Обозначим t = 2x и решим квадратное уравнение относительно t:
t2+(x-1)t+2x-6 = 0.
Дискриминант этого уравнения равен  = (x-1)2-4(2x-6) = x2-10x+25 = (x-5)2, и значит его
корни имеют вид
Поскольку t = -2 не удовлетворяет условию t > 0, остается
2x = 3-x
Решая последнее уравнение аналогично примеру b) получим x = 1.
e) Перепишем уравнение в виде
x2+x+1 = 2·2x-4x-1
или
x2+x+1 = -(2x-1)2,
откуда следует, что уравнение не имеет решений. Действительно, поскольку
левая часть уравнения принимает
значения не меньше [3/4;+), а правая часть - лишь неположительные значения.
f) Заметим, что уравнение имеет решение лишь при x > 0. Тогда правая часть уравнения
более того, равенство достигается лишь при x = 1. В то же время левая часть уравнения принимает
максимальное значение 2 при x = 1. Действительно,
Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение x = 1.
g) Заметим, что при x  (-,-1/2] уравнение не имеет решений (в этом случае левая часть
уравнения отрицательна). При x  (-1/2;+) левая часть уравнения (как произведение двух
строго возрастающих функций) есть строго возрастающая функция и, следовательно,
каждое свое значение принимает лишь один раз. Остается заметить что x = 0 является
(единственным) корьнем данного уравнения.
h) Множество допустимых значений данного уравнения имеет вид: {x  N | x > 1}.
Запишем уравнение в виде
Логарифмируя обе его части, например, по основанию 5, получим
или
откуда следует квадратное уравнение
x2+x(log52-3)-3log52 = 0
корни которого x1 = 3 и x2 = -log52. Поскольку x2 не входит в ОДЗ, то, исходное уравнение имеет
единственное решение x = 3.
i) ОДЗ уравнения есть множество x  R\{0} и (см. предыдущий пример) его корни 3 и log52.
Уравнения вида
[h(x)] f(x) = b
([h(x)] f(x) = [h(x)] g(x)).
(6)
называются обобщенными показательными уравнениями.
Как правило, областью определения функции [h(x)] f(x) считается множество всех значений
x  D(f) для которых h(x) > 0, где D(f) обозначает область определения функции f. Таким
образом
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
[h(x)] f(x) = [h(x)] g(x) 
h(x) ≠ 1,
h(x) = 1,
x  D(f) D(g).
Пример 8. Решить уравнения
a)
b)
, c)
Решение. a) Поскольку a2 = |a|2, уравнение можно переписать в виде
.
Последнее уравнение равносильно совокупности систем
|x-2| > 0,
|x-2|≠ 1,
x2+x+1 = 2,
|x-2| = 1,
x  ОДЗ.
Отсюда x = -2, x = 3 и x = 1.
b) Учитывая соотношение (x2+x)0 = 1 получим
x2+x > 0,


x2+x ≠ 1, 
x2+2x = 0,
x = -2,
x2+x = 1,
c) ОДЗ уравнения представляет множество (0;+). На ОДЗ уравнение равносильно
совокупности
|x-1| > 0,
|x-1| ≠ 1,
lg2x-lgx2 = 3.
|x-1| = 1,
x > 0.
Отсюда x = 1/10, x = 1000 и x = 2.
Замечание. Иногда функции из (6) рассматриваются на более широких областях:
принимается во внимание, что функция h(x)f(x) имеет смысл и при h(x) = 0, f(x) > 0 или при
h(x) < 0, когда f(x) принимает значения во множестве целых чисел и т.п. (см., например,
[2]-[4]).
Тригонометрические функции
Тригонометрия играет значительную роль в почти во всех разделах математики. В данном
разделе приводятся основные формулы преобразования тригонометрических выражений.
Данные формулы применяются как в элементарной алгебре, геометрии, так и в высшей
математике и в абстрактных областях математики.
К основным тригонометрическим функциям относятся:
1. Синус (обозначается
2. Косинус (обозначается
3. Тангенс (обозначается
4. Котангенс (обозначается
);
);
);
);
Выпишем основные тригонометрические формулы:
1. Основное тригонометрическое тождество:
2. Тригонометрические формулы суммы, разности углов:
Основываясь на этих формулах выпишем формулы двойных углов:
3. Формулы для понижения степени:
4. Другие формулы:
Обратные тригонометрические функции и связь между ними
Обратные тригонометрические функции являются важным и сложным понятием, которое
изучается в школьном курсе алгебры.
Обратные тригонометрические функции, также круговые функции или аркфункции
— математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.
Основные обратные тригонометрические функции:
1. Арксинус -
Арксинусом числа
.
, где
где
возрастающей. Учтем, что
, называется такой угол
. Функция
, для которого
является строго
Свойства функции
;
1.
;
2.
3.
2. Арккосинус
.
Арккосинусом числа
,
называется такой угол
. Функция
, для которого
, где
является строго убывающей. Учтем,
что
Свойства функции
;
1.
;
2.
3.
3. Арктангенс
(в иностранной литературе
Арктангенсом числа
называется такой угол
).
, для которого
,
.
Функция
непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и
является строго возрастающей.
Свойства функции
;
1.
;
2.
.
4. Арккотангенс
(в иностранной литературе
Арккотангенсом числа
называется такой угол
или
).
, для которого
.
Функция
непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и
является строго убывающей.
Свойства функции
;
1.
2.
5. Арксеканс
.
.
.
6. Арккосеканс
(в иностранной литературе
).
.
Существуют два основных соотношения между обратными функциями:
Лекции. Аксиомы стереометрии.
Аксиома 1.1.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома 1.2.
Если две разные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую
прямую, проходящую через эту точку.
Аксиома 1.3.
Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно
провести плоскость, и притом единственную.
Аксиома 1.4.
Для произвольной плоскости выполняются аксиомы планиметрии.
Чертеж 1.1.1.
На чертеже 1.1.1 показаны два общепринятых изображения плоскости.
Обозначаются плоскости маленькими греческими буквами: α, β, γ, ... Если
прямая a лежит в плоскости α, то пишут a
пересекаются по прямой l, то пишут α
α. Если плоскости α, β
β = l.
1.2. Первые следствия из аксиом стереометрии
Теорема 1.1.
Через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только
одну.
Доказательство
Чертеж 1.2.1.
Пусть B
a (чертеж 1.2.1). На прямой a выберем произвольную точку A.
Проведем прямую b через точки A и B; a ≠ b, так как B
a. По аксиоме 1.3
через прямые a и b можно провести плоскость α. Ясно, что a
αиB
α.
Докажем от противного, что такая плоскость единственна. Пусть существует
плоскость β такая, что a
β, B
β и β ≠ α. Плоскости α и β имеют общую
прямую a. Поскольку эти плоскости разные, то все их точки пересечения по
аксиоме 1.2 лежат на прямой a. Мы пришли к противоречию, так как точка B,
общая для плоскостей α и β, не принадлежит прямой a.
Теорема 1.2.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит
этой плоскости.
Доказательство
Чертеж 1.2.2.
Пусть точки A и B прямой a лежат в плоскости α (чертеж 1.2.2). Возьмем
точку C
a. По теореме 1.1 через прямую a и точку C можно провести
плоскость β. Если β = α, то a
α и теорема доказана. Если β ≠ α, то по
аксиоме 1.2 плоскости β и α имеют общую прямую b. Прямые a и b,
лежащие в одной плоскости, совпадают, так как имеют две общие точки: A
и B. Следовательно, a
α.
Теорема 1.3.
Плоскость и прямая вне ее либо не имеют общих точек, либо имеют
единственную общую точку.
Теорема 1.4.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и
притом только одну.
Параллельность в пространстве
2.1. Параллельность прямых
Определение 2.1.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в
одной плоскости и не имеют общих точек.
Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b. В
пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и
не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.
Определение 2.2.
Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются
скрещивающимися.
Теорема 2.1.
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную
данной, и притом только одну.
Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной
плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно
провести только одну плоскость.
Теорема 2.2. Признак скрещивающихся прямых.
Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту
плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые
скрещиваются.
Лемма 2.1.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая
пересекает эту плоскость.
Чертеж 2.1.3.
.
Пусть a || b и a α = A (чертеж 2.1.3). Параллельные прямые a и b
определяют некоторую плоскость β. Плоскости α и β имеют общую точку A,
а, следовательно, имеют и общую прямую c, проходящую через точку A по
аксиоме 1.2. Через точку A можно провести только одну прямую a,
параллельную b. Следовательно, c не параллельна b. Прямые b и c не
параллельны и лежат в одной плоскости β, следовательно, пересекаются в
некоторой точке B. Прямая b имеет с плоскостью α общую точку B и не
лежит в плоскости α (иначе по теореме 2.2 a и b были бы скрещивающимися).
Следовательно, прямая b пересекает плоскость α. Лемма доказана.
Теорема 2.3. Транзитивность параллельности.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Другими
словами, если a || c и b || c, то a || b.
Доказательство
Чертеж 2.1.4.
Пусть a || c и b || c (чертеж 2.1.4). Заметим, что прямые a и b по теореме 2.1 не
могут пересекаться, то есть если бы у них была одна точка, то через эту точку
можно было бы провести единственную прямую, параллельную прямой c, то
есть они бы совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости.
Пусть A
a. Проведем плоскость γ через прямую b и точку A и докажем,
что a
γ. Если a пересекает плоскость γ, то по лемме 2.1 c пересекает
плоскость γ, и b пересекает плоскость γ. Мы пришли к противоречию, так как
b
γ. Итак, a
γ, b
γ и a и b не имеют общих точек, следовательно a || b.
2.2. Параллельность прямой и плоскости
Определение 2.3.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих
точек.
Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α.
Теорема 2.4. Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости,
то эта прямая параллельна и самой плоскости.
Теорема 2.5. Теорема о следе.
Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и
пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a.
Определение 2.4.
Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.
2.3. Параллельность двух плоскостей
Определение 2.5.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей.
Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых,
лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.
Доказательство
Чертеж 2.3.1.
Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в
плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не
параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c. Поскольку a || α,
то по теореме о следе c || a. Аналогично получаем, что c || b, тогда a || b. Мы
пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.
Теорема 2.7.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на
этих плоскостях параллельные следы.
Чертеж 2.3.2.
Доказательство
Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их,
причем α γ = a, β γ = b. Таким образом, a и b – следы плоскости γ на
плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих
точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a || b.
Теорема 2.8.
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную
данной, и притом только одну.
Теорема 2.9.
Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными
плоскостями, равны.
Теорема 2.10.
Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными
сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.
Доказательство
Чертеж 2.3.4.
На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B1A1C1, причем AB || A1B1 и
AC || A1C1. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC
параллельна плоскости B1A1C1.
Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB = A1B1 и
AC = A1C1. Проведем прямые AA1, BB1, CC1. Четырехугольник ABB1A1 –
параллелограмм, так как AB = A1B1 и AB || A1B1, следовательно, AA1 = BB1 и
AA1 || BB1. Аналогично докажем, что AA1 = CC1. Отсюда следует, что
BB1 = CC1 и BB1 || CC1, следовательно, CBB1C1 – параллелограмм и
CB = C1B1. Теперь утверждаем, что Δ ABC = Δ A1B1C1, откуда
B1A1C1.
BAC =
2.4. Основы теории изображения фигур на плоскости
В основе изображения фигур на плоскости лежит параллельное
проектирование.
Чертеж 2.4.1.
Пусть дана плоскость α и прямая a, пересекающая плоскость α (чертеж 2.4.1).
Построим проекцию точки A на плоскость α. Для этого проведем через точку
A прямую b || α, b α = A'. Точка A' называется параллельной проекцией
точки A на плоскость α (обозначение: A' = ПрαA). Плоскость α называют
плоскостью проекций. Множество проекций всех точек фигуры Ф на
плоскость α называется проекцией фигуры Ф на плоскость α. Если Ф' –
проекция фигуры Ф на плоскость α, пишут Ф' = ПрαФ.
Рассмотрим правила параллельного проектирования. Пусть прямые, которые
проектируются, не параллельны направлению проектирования. Тогда для
этих прямых и лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:
1. Проекцией прямой является прямая, проекцией отрезка – отрезок.
2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на
параллельных прямых, равно отношению длин этих отрезков.
Построение изображений фигур основывается на следующих правилах.
1. Изображение треугольника. Произвольный треугольник можно
параллельно спроектировать так, что его проекцией будет треугольник,
подобный любому треугольнику. Следовательно, параллельной
проекцией треугольника может быть произвольный (по форме)
треугольник. Согласно свойству 3 проекцией медианы является
медиана.
2. Изображение параллелограмма. По свойству 2
параллелограмма является параллелограмм или отрезок.
проекцией
3. Изображение трапеции. Согласно свойству 2 проекцией трапеции
является трапеция (или отрезок), у которой отношение оснований такое
же, как у оригинала.
Чертеж 2.4.2.
4. Изображение параллелепипеда. Все грани параллелепипеда –
параллелограммы, поэтому и на изображении параллелепипеда
(чертеж 2.4.2) все грани – параллелограммы (или отрезки).
Чертеж 2.4.3.
5. Изображение призмы. На изображении призмы (чертеж 2.4.3), как и на
оригинале, все боковые грани – параллелограммы (или отрезки).
Чертеж 2.4.4.
6. Изображение пирамиды. Изображением треугольной пирамиды
является произвольный четырехугольник (чертеж 2.4.4) (или
треугольник). На чертеже 2.4.5 и 2.4.6 изображены правильные
треугольная и четырехугольная пирамиды.
Чертеж 2.4.5.
Чертеж 2.4.6.
Отдельный вид проектирования, когда a
проектированием.
α, называется ортогональным
Перпендикулярность прямых и плоскостей
3.1. Угол между двумя скрещивающимися прямыми
С появлением в стереометрии скрещивающихся прямых возникает вопрос:
как определить угол между двумя скрещивающимися прямыми?
Чертеж 3.1.1.
Пусть прямые a и b скрещивающиеся (чертеж 3.1.1). Выберем на прямой a
произвольную точку A. Проведем через нее прямую b' || b. Угол между
прямыми a и b' по теореме 2.10 равен углу между скрещивающимися
прямыми a и b. Ясно, что величина этого угла не зависит от выбора точки A.
Действительно, выберем на прямой a точку A1 ≠ A и проведем через нее
прямую b1' || b. Поскольку b' || b и b1' || b, то b1' || b'. Прямые b' и b1' образуют с
прямой a одинаковые углы.
Определение 3.1.
Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между
двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным
скрещивающимся прямым.
Чертеж 3.1.2.
Определение 3.2.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они
образуют прямой угол. На чертеже 3.1.2 изображен куб ABCDA1B1C1D1.
Скрещивающиеся прямые A1D1 и CD перпендикулярны. Действительно,
A1D1
C1D1, а C1D1 || CD.
Назовем еще несколько пар скрещивающихся перпендикулярных прямых:
A1D1 и AB, A1B1 и BC, A1B1 и AD, B1C1 и AB.
3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение 3.3.
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна
любой прямой из этой плоскости.
Теорема 3.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых
плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между
параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.
Теорема 3.2.
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых,
перпендикулярна и другой.
Чертеж 3.2.2.
Теорема 3.3.
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.
Теорема 3.4.
Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то
она перпендикулярна и другой.
Теорема 3.5.
Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.
Чертеж 3.2.3.
Докажите эти теоремы самостоятельно, используя такое свойство: если
векторы
коллинеарные и
то
Определение 3.4.
Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость,
называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который
соединяет данную точку с точкой плоскости.
Чертеж 3.2.4.
Пусть AO – перпендикуляр к плоскости α (чертеж 3.2.4), O – основание
перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра AO называется расстоянием от
точки A до плоскости α. Отрезок, соединяющий точку A с любой точкой
плоскости, отличной от O, называется наклонной (AB – наклонная, B –
основание наклонной, BO – проекция наклонной на плоскость α, то есть
BO = ПрαAB).
Теорема 3.6.
Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и
наклонные, то



длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
наклонные с равными проекциями равны;
из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше
проекция.
Теорема 3.7. О трех перпендикулярах.
Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна
наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была
перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.
Доказательство
Чертеж 3.2.5.
Необходимость. Пусть b
так как AO
α, то b
αиb
AB (чертеж 3.2.5). Поскольку b
AOB по признаку взаимной перпендикулярности
прямой и плоскости; следовательно, b
Достаточность. Пусть b
AO,
αиb
OB.
OB. Учитывая, что b
перепендикулярна плоскости AOB; следовательно, b
AB
Перпендикулярность двух плоскостей
AO, имеем b
Чертеж 3.3.1.
Определение 3.5.
Пусть прямая a является линией пересечения плоскостей α и β (чертеж 3.3.1).
Пусть плоскость γ, перпендикулярная прямой a, пересекает плоскости α и β
по прямым m и n, которые взаимно перпендикулярны, то есть γ
α = m, γ
β = n и m n. Такие плоскости α и β называются взаимно
перпендикулярными.
Это определение не зависит от плоскости γ. Действительно, если провести
другую плоскость δ, перпендикулярную прямой a, то δ || γ.
Пусть δ α = m', δ β = n'. По теореме о следах m' || m и n' || n. Угол,
образованный прямыми m' и n', и угол, образованный прямыми m и n, равны
как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными
сторонами.
Теорема 3.8. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Пусть a
α, a
β, тогда β α. То есть, если плоскость β содержит прямую
a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и β перпендикулярны.
Теорема 3.9.
Пусть α
β, α β = a, b
a, b
β, тогда b
α. То есть прямая b,
лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей β и
перпендикулярная линии пересечения a этих плоскостей, перпендикулярна и
другой плоскости α.
Доказательство
Чертеж 3.3.3.
Пусть b a = A (чертеж 3.3.3), a = α β и β
α. В плоскости α проведем
прямую c через точку A перпендикулярно прямой a. Проведем плоскость γ
через прямые b и c. Имеем γ
плоскости. Поскольку α
следует, что b
a по признаку перпендикулярности прямой и
β, то b
c, следовательно, b
aиb
c, откуда
α.
Теорема 3.10.
Если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, и к плоскости α проведен
перпендикуляр, имеющий общую точку с плоскостью β, то этот
перпендикуляр лежит в плоскости β.
Теорема 3.11.
Пусть плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересекаются по
прямой a, тогда a
Доказательство
γ.
Чертеж 3.3.4.
На прямой a выберем произвольную точку A (чертеж 3.3.4). Проведем через
точку A перпендикуляр к плоскости γ. По теореме 3.9 этот перпендикуляр
лежит в каждой из плоскостей α, β, следовательно, он лежит на линии их
пересечения.
Угол между наклонной и плоскостью
Определение 3.7.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между
наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.
Чертеж 3.5.1.
На чертеже 3.5.1 показана наклонная AB, OB = ПрαAB, ABO – угол между
наклонной AB и плоскостью α. Если прямая параллельна плоскости, то угол
между ними по определению равен 0°. Если прямая перпендикулярна
плоскости, то угол между ними равен 90°. Если β – угол между прямой и
плоскостью, то 0° < β < 90°. Проведем в плоскости α произвольную прямую b
через точку B так, чтобы OC
b. Пусть ABO = β, OBC = γ, ABC = φ.
Рассматривая прямоугольные треугольники ABO, OBC, ACB, имеем
Заметим, что
или
cos φ = cos β cos γ.
Мы получили формулу трех косинусов. Обратите внимание на то, что
плоскости углов β и γ взаимно перпендикулярны.
Замечание. Поскольку углы φ, β и γ острые, из формулы трех косинусов
следует, что cos β > cos φ и 0° < β < φ.
Таким образом, углом β между наклонной и ее ортогональной проекцией на
плоскость является наименьший из углов, образованных наклонной с
прямыми плоскости α.
Двугранный угол
Определение 3.8.
Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя
полуплоскостями, имеющими одну общую границу.
Чертеж 3.6.1.
Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями
(чертеж 3.6.1). Общая прямая этих граней называется ребром двугранного
угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол
обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается
четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две
крайние – точки, взятые на гранях. Пусть M
α, N
β (чертеж 3.6.1), тогда
двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AP
двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α
перпендикулярно ребру AP (чертеж 3.6.2). Плоскость α пересекает грани
двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол
величиной φ. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Легко
доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на
ребре AP. Возьмем на ребре AP точку D, отличную от C, и проведем через
нее плоскость β || α. Пусть плоскость β пересекает грани двугранного угла по
лучам a1 и b1. Согласно теореме о следе a1 || a, b1 || b, поэтому полученные в
сечении углы равны. Величина двугранного угла равна величине его
линейного угла. Если φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.
Чертеж 3.6.2.
Определение 3.9.
При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла.
Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между
этими плоскостями.
Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению.
Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.
Многогранники
4.1. Основные понятия
Определение 4.1.
Многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность
конечного числа плоских многоугольников такая, что


каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно
сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым
по этой стороне;
от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно
дойти до любого из них, переходя по очереди от одного
многоугольника к другому, смежному с ним.
Многоугольники, из которых состоят многогранники, называются гранями,
их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.
Определение понятия «многогранник» в пространстве зависит от того, как на
плоскости определять понятие «многоугольник». Если под многоугольником
понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и пересекающиеся), то
приходим к первому определению многогранника. Чаще, однако,
придерживаются другого определения многоугольника и, соответственно,
многогранника. Под многоугольником понимается часть плоскости,
ограниченная ломаными. С этой точки зрения, многогранник есть
поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность
сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого
геометрического тела, которое тоже называется многогранником; отсюда
возникает третья точка зрения на многогранники, как на геометрические
тела, причем допускается существование у этих тел «дырок». На рисунке
4.1.1 приведены некоторые примеры многогранников.
Рисунок 4.1.1.
Определение 4.2.
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от
плоскости любой его грани.
Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника
являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого
многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При
этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников,
вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами
многогранника – углы многоугольников-граней.
Призма
Дадим несколько определений.
Определение 4.7.
Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в
параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между
собой.
Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их
ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой
как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными
плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами.
Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны.
Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.
Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.
Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром
плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы равна
расстоянию H между плоскостями оснований.
Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не
принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы.
На чертеже 4.5.1 показана четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1.
Параллелограмм BDD1B1 – диагональное сечение призмы. По числу сторон
основания призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и
т.д.
Чертеж 4.5.1.
Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро
перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются
наклонными.
Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой
является правильный многоугольник.
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется
параллелепипедом.
Площадью боковой поверхности Sб призмы называется сумма площадей ее
боковых граней.
Площадью полной поверхности Sп призмы называется сумма площадей всех
ее граней. Sп = Sб + 2S, где S – площадь основания призмы, Sб – площадь
боковой поверхности.
Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, плоскость
которого перпендикулярна боковому ребру призмы, а вершины лежат на
прямых, проходящих через боковые ребра. На чертеже 4.5.2 показан
пятиугольник MNPQT – перпендикулярное сечение призмы
ABCDEA1B1C1D1E1. Сторона многоугольника, являющегося
перпендикулярным сечением, – это высота некоторой боковой грани.
Поэтому площадь каждой боковой грани равняется la1, где l – боковое ребро
призмы, a1 – некоторая сторона перпендикулярного сечения. Далее имеем:
Sб = la1 + la2 + ... + lan = lP, где P – периметр перпендикулярного сечения.
Чертеж 4.5.2.
В частности, если призма прямая, то Sб = PH.
Параллелепипед
Теорема 4.8.
Каждый параллелепипед имеет центр симметрии.
Доказательство
Чертеж 4.6.1.
Пусть O – середина диагонали BD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
(чертеже 4.6.1). Докажем, что O – центр симметрии всего параллелепипеда.
Поскольку каждое диагональное сечение параллелепипеда – параллелограмм
с центром O, то для каждой вершины параллелепипеда найдется другая
вершина, симметричная ей относительно точки O. Следовательно O – центр
симметрии параллелепипеда.
Следствие 4.1.
Противоположные грани любого параллелепипеда равны и параллельны.
Определение 4.8.
Прямоугольным называется параллелепипед, все грани которого
прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется кубом.
Три ребра, выходящие из одной вершины прямоугольного параллелепипеда
называются его измерениями (длиной, шириной, высотой).
Теорема 4.9.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется сумме
квадратов его измерений:
d2 = a2 + b2 +c2.
Пирамида
Определение 4.9.
Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, –
многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной,
называется пирамидой.
Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина
боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания,
называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а
затем – вершины основания.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины
пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой
H. В зависимости от числа сторон основания пирамида называется
треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.
Определение 4.10.
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный
многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ
основания, называется диагональным сечением.
Теорема 4.10.
Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр
круга, описанного вокруг основания.
Теорема 4.11.
Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости
основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через
центр вписанного в основание пирамиды круга.
Теорема 4.12.
Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым
углом φ, то
Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.
Определение 4.11.
Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой
грани, проведенная из вершины пирамиды.
Теорема 4.13.
Для правильной пирамиды справедливы формулы:


где a – апофема боковой грани, P – периметр основания.
где n – число сторон основания, b – боковое ребро, α –
плоский угол при вершине пирамиды.
Теорема 4.14.
Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания,
(чертеж 4.7.3), то:
Чертеж 4.7.3.

боковые ребра и высота делятся
пропорциональные отрезки в отношении
этой
плоскостью

площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их
расстояний до вершины пирамиды:
Усеченная пирамида
Определение 4.12.
Часть пирамиды, лежащая между основанием и параллельным основанию
сечением, называется усеченной пирамидой.
Чертеж 4.8.1.
На чертеже 4.8.1 изображена усеченная треугольная пирамида ABCA1B1C1.
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции. Если полная пирамида
правильная, то и соответствующая усеченная пирамида – правильная.
Определение 4.13.
Высота усеченной пирамиды – это общий перпендикуляр к плоскостям ее
оснований.
Апофемой правильной усеченной пирамиды называется часть апофемы
полной пирамиды, ограниченная плоскостями оснований усеченной
на
пирамиды, то есть отрезок, соединяющий середины параллельных сторон
боковой грани.
Теорема 4.15.
В правильной усеченной пирамиде площадь боковой поверхности
где P1, P2 – периметры оснований, A – апофема усеченной пирамиды.
Сечения многогранников
Приведем несколько характерных примеров решения задач на комбинацию
многогранников.
Пример 4.1.
Дан куб с ребром a (чертеж 4.9.1). Точки M, N, P – соответственно середины
ребер AB, BC, BB1. Найти объем пирамиды D1MNP.
Чертеж 4.9.1.
Решение. Кроме пирамиды D1MNP куб содержит еще четыре пирамиды:
PMBN, D1PNCC1B1, D1AMPB1A1, D1AMNCD с объемами соответственно
V1, V2, V3, V4. Пирамиды с объемами V2, V3, V4 равновеликие. Пусть V –
искомый объем, а Vk – объем куба, тогда V = Vk – 3V2 – V1. Заметим, что
Окончательно имеем
Ответ.
Пример 4.2.
Правильная треугольная призма имеет высоту h и сторону основания a
(чертеж 4.9.2). Правильная треугольная пирамида имеет с призмой общее
основание и размещена по одну с ней сторону относительно этого основания.
Высота пирамиды равна 2h. Найти площадь полной поверхности той части
пирамиды, которая лежит внутри призмы.
Чертеж 4.9.2.
Решение. Находим площади оснований:
Пусть Sб – площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, тогда
Sб = 3S, где S – площадь трапеции ABB2A2. Из Δ POD имеем
тогда
Следовательно,
Ответ.
Цилиндр
Определение 5.1.
Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное
вращением прямоугольника вокруг своей стороны.
Чертеж 5.1.1.
Далее будем называть это тело цилиндром. На чертеже 5.1.1 показан
цилиндр, образованный при вращении прямоугольника AOO1A1 вокруг
стороны OO1, которая называется осью вращения (осью цилиндра) и является
высотой цилиндра. Основания цилиндра – равные круги, расположенные в
параллельных плоскостях. Высотой цилиндра называют также расстояние
между плоскостями его оснований. Отрезок, соединяющий точки
окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований,
называется образующей цилиндра (это, например, отрезки A1A, M1M, B1B,
N1N). Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую
длину, равную высоте цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его
основания. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра
плоскостью, проходящей через ось вращения. Все осевые сечения цилиндра –
равные прямоугольники (это, например, прямоугольники ABB1A1 и
MNN1M1).
Плоскость, содержащая образующую и перпендикулярная осевому сечению,
проходящему через эту образующую, называется касательной к цилиндру
плоскостью. Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует
боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра. На рисунке 5.1.1
показана развертка цилиндра. Разверткой боковой поверхности цилиндра
является прямоугольник со сторонами H и C, где H – высота цилиндра, а C –
длина окружности основания.
Приведем формулы для вычисления площадей боковой Sб и полной Sп
поверхностей: Sб = H · C = 2πRH, Sп = Sб + 2S = 2πR(R + H).
Конус
Определение 5.2.
Прямым круговым конусом называется тело, образованное при
вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.
Чертеж 5.2.1.
Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом. На
чертеже 5.2.1 показан конус, образованный вследствии вращения
прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью
конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA
называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с
какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса.
На чертеже 5.2.1 отрезки PA, PB, PM, PN – образующие конуса. Радиус
основания конуса называется радиусом конуса.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса
на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса
плоскостью, проходящей через его высоту. Плоскость, проходящая через
образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему
через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При
вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая)
поверхность конуса.
Разверткой боковой поверхности конуса (рис. 5.2.1) является круговой
сектор. Обозначим через Sб и Sп соответственно площади боковой и полной
поверхности конуса:
где φ – угол при вершине развертки. Далее
заметим, что PA · φ = 2πR. Следовательно,
– образующая конуса.
где R – радиус, а l
Sп = πRl + πR2 = πR(l + R).
Определение 5.3.
Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его
основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости
основания.
Чертеж 5.2.2.
Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и
высоты полного конуса.
Боковая поверхность усеченного конуса может быть найдена по формуле
Sб = π(R + r)l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.
Полная поверхность находится по формуле
Sп = π(Rl + rl + R2 + r2).
Конические сечения
Определение 5.4.
Конические сечения – плоские кривые, которые получаются
пересечением прямого кругового конуса плоскостью.
За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями являются
эллипсы, гиперболы или параболы. С точки зрения аналитической геометрии
коническое сечение представляет собой геометрическое место точек,
удовлетворяющих уравнению второго порядка.
Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм
(IV в. до н. э.). Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для
решения задачи об удвоении куба.
Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце
IV в. до н. э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые
«Конические сечения» Аполлония Пергского, которые сохранились до
нашего времени. Аполлоний, варьируя угол наклона секущей плоскости,
получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или
наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых –
эллипс, парабола и гипербола.
В своих построениях Аполлоний использовал двуполостной круговой конус,
поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со
времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от
наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс образуется, когда
секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его
полости; парабола – когда секущая плоскость параллельна одной из
касательных плоскостей конуса; гипербола – когда секущая плоскость
пересекает обе полости конуса.
Рисунок 5.3.1.
Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов,
древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на
плоскости.
Эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма
расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как
геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной
прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от
которых до двух заданных точек постоянна.
Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и
способ их построения с помощью натянутой нити.
Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2
(рис. 5.3.2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго
натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2 называются фокусами
эллипса, а отрезки V1V2 и v1v2 между точками пересечения эллипса с осями
координат – большой и малой осями. Если точки F1 и F2 совпадают, то
эллипс превращается в окружность.
Рисунок 5.3.2.
Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша,
фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам,
установленным в точках F1 и F2, как показано на рисунке 5.3.3, а. Расстояния
подобраны так, что отрезок PF2 превосходит по длине отрезок PF1 на
фиксированную величину, меньшую расстояния F1F2. При этом один конец
нити проходит под шпеньком F1 и оба конца нити проходят поверх шпенька
F2. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно
закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну
ветвь гиперболы (PV1Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить
оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F2,
а когда точка P окажется ниже отрезка F1F2, придерживая нить за оба конца и
осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы
предварительно поменяв шпеньки F1 и F2.
мы вычерчиваем,
Рисунок 5.3.3.
Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются
между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся
как показано на рисунке 5.3.3, б. Угловые коэффициенты этих прямых равны
где
– отрезок биссектрисы угла между асимптотами,
перпендикулярной отрезку F2F1; отрезок v1v2 называется сопряженной осью
гиперболы, а отрезок V1V2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты
являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через
четыре точки v1, v2, V1, V2 параллельно осям. Чтобы построить этот
прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v1 и v2. Они
находятся на одинаковом расстоянии, равном
от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение
прямоугольного треугольника с катетами Ov1 и V2O и гипотенузой F2O.
Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола
называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с
переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно
сопряженными.
Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но
фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.),
определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных
от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется
директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное
на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.).
Рисунок 5.3.4.
Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой
(рис. 5.3.4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника
ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а
другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем
острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного
треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль
линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой
так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к
свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF
должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка
пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая,
проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести
прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый
параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы
фокальный параметр определяется аналогично.
Сфера
Определение 5.5.
Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R
от данной точки O, называется сферой.
Рисунок 5.4.1.
Сферу обозначают так: ω (O, R). Можно определить сферу и как тело,
образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.
Определение 5.6.
Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на
расстояние, не большее R, называется шаром.
Иными словами шар – это объединение сферы и всех ее внутренних точек.
Можно также определить шар и как тело, образованное при вращении круга
вокруг своего диаметра.
Шар обозначают так же, как сферу: ω (O, R). Точка O называется центром
сферы (шара). Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой,
называется радиусом сферы (шара). Отрезок, соединяющий любые две точки
сферы, называется хордой сферы (шара). Иногда под радиусом или хордой
подразумевают их длину. Хорда, проходящая через центр сферы, называется
ее диаметром.
При пересечении сферы плоскостью наибольшая окружность образуется ,
если плоскость проходит через центр сферы. Линия пересечения называется
большой окружностью сферы. Соответствующее сечение шара называется
большим кругом шара.
Теорема 5.1. Теорема о кратчайшем пути на сфере.
Кратчайшим путем на сфере, соединяющим две ее точки A и B, является
меньшая из двух дуг AB большой окружности, проходящей через A и B.
Доказательство
Рисунок 5.4.2.
Проведем плоскость через точки A, B и центр сферы, в сечении получим
окружность. Рассмотрим меньшую из дуг AB этой окружности и выберем на
ней произвольную точку M. Нашей ближайшей целью будет доказательство
того, что кратчайший путь, соединяющий A и B, должен пройти через M.
Обозначим центр сферы O и проведем через точку M две плоскости,
перпендикулярные радиусам OA и OB. Эти плоскости пересекут сферу по
двум окружностям w и u, которые имеют единственную общую точку – точку
M. Рассмотрим теперь произвольный путь из A в B, не проходящий через M.
Обозначим точку пересечения рассматриваемого пути с окружностью w
через K, а с окружностью u – через P. Очевидно, что существует путь,
соединяющий точки A и M, такой же длины, что путь, соединяющий A и K.
Действительно, в этом легко убедиться, повернув окружность w вокруг OA
так, чтобы точка K перешла в точку M. Аналогично, существует путь, между
B и M такой же длины, что и путь между B и P. Отсюда следует, что
кратчайший путь между A и B должен проходить через M. А поскольку M –
произвольная точка меньшей дуги AB, то теорема доказана.
Вписанные и описанные многогранники
Определение 5.11.
Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины
лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного
многогранника.
Определение 5.12.
Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются
некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного
многогранника.
При рассмотрении понятий вписанной и описанной сферы обнаруживается
аналогия с понятием вписанной и описанной окружности. Однако, если в
любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника
можно описать окружность, то не всякий многогранник является вписанным
или описанным. Несмотря на это, оказывается, что пространственный аналог
треугольника – треугольная пирамида, тем не менее, всегда имеет
единственную вписанную и описанную сферу. Докажем это.
Теорема 5.6. Теорема об описанной сфере треугольной пирамиды.
Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.
Доказательство
Рисунок 5.6.1.
Поступим аналогично доказательству существования единственной
окружности, описанной около данного треугольника. В данной пирамиде
ABCD построим плоскости, перпендикулярные соответственно ребрам AB,
AC и AD и проходящие через их середины. Эти плоскости будут
равноудалены от точек A и B, A и C, A и D соответственно, поскольку
геометрическим местом точек, равноудаленных от концов данного отрезка,
является плоскость, проходящая через его середину и перпендикулярная ему.
Обозначим точку пересечения этих плоскостей через O. Докажем, что эта
точка существует и единственна. Действительно, две из этих плоскостей
пересекаются по прямой l, поскольку они перпендикулярны двум
непараллельным прямым. Эта прямая перпендикулярна к плоскости ABC.
Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит ее,
поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l, то есть лежит в
плоскости ABC. Итак, точка O равноудалена от всех вершин треугольной
пирамиды, значит эта точка является центром описанной сферы. Тем самым
доказано существование такой сферы.
Теорема 5.7. Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды.
Треугольная пирамида имеет единственную вписанную сферу.
Доказательство
Рисунок 5.6.2.
В треугольной пирамиде ABCD проведем биссекторные плоскости ее
двугранных углов с ребрами AB, AC и DC. Эти плоскости имеют
единственную общую точку Q, что доказывается аналогично предыдущей
теореме. Понятно, что точка Q равноудалена от всех граней пирамиды.
Таким образом, установлено существование вписанной сферы,
единственность которой доказывается опять-таки аналогично.
Теорема 5.8.
Для того, чтобы пирамида была вписанной в сферу, необходимо и
достаточно, чтобы ее основанием был вписанный в окружность
многоугольник.
Следствие 5.9.1.
Любая правильная пирамида является вписанной.
Теорема 5.10.
Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен
где – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус
вписанной сферы.
Доказательство
Соединим центр вписанной сферы со всеми вершинами многогранника. При
этом многогранник делится на несколько пирамид (их количество равно
количеству граней многогранника). Высота каждой из этих пирамид равна r,
а площадь основания – это площадь некоторой грани многогранника,
поэтому
(m – количество граней),
что и требовалось доказать.
Поскольку центр вписанной сферы одинаково удален от всех граней
многогранника, он лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех
двугранных углов многогранника.
Поверхности второго порядка
К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид,
эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной
гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих
поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы
ограничимся определениями и иллюстрациями.
Определение 5.12.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат уравнением
эллипсоидом.
a > 0, b > 0, c > 0, называется
Рисунок 5.7.1.
Свойства эллипсоида.
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения
следует, что
2. Эллипсоид обладает


центральной симметрией относительно начала координат,
осевой симметрией относительно координатных осей,
плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из
координатных осей, получается эллипс.

Рисунок 5.7.2.
Определение 5.13.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат уравнением
параболоидом.
a > 0, b > 0, называется эллиптическим
Свойства эллиптического параболоида.
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку
из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие
значения.
2. Эллиптический параболоид обладает
осевой симметрией относительно оси Oz,
 плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и
Oyz.
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной
оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и
Oy – парабола.

Определение 5.14.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат уравнением
параболоидом.
a > 0, b > 0, называется гиперболическим
Рисунок 5.7.3.
Свойства гиперболического параболоида.
1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность,
поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
2. Гиперболический параболоид обладает
осевой симметрией относительно оси Oz,
 плоскостной
симметрией
относительно
координатных
плоскостей Oxz и Oyz.
3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной
оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями,
ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.

4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным
перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина
перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси
первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их
плоскости взаимно перпендикулярны.
Определение 5.15.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат уравнением
однополостным гиперболоидом.
a > 0, b > 0, c > 0, называется
Рисунок 5.7.4.
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку
из его уравнения следует, что z – любое число.
2. Однополостной гиперболоид обладает
центральной симметрией относительно начала координат,
 осевой симметрией относительно всех координатных осей,
 плоскостной симметрией относительно всех координатных
плоскостей.
3. В
сечении
однополостного
гиперболоида
плоскостью,
перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а
плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Определение 5.16.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат уравнением
двуполостным гиперболоидом.
a > 0, b > 0, c > 0, называется
Рисунок 5.7.5.
Свойства двуполостного гиперболоида.
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку
из его уравнения следует, что
и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает



3. В
центральной симметрией относительно начала координат,
осевой симметрией относительно всех координатных осей,
плоскостной симметрией относительно всех координатных
плоскостей.
сечении
однополостного
гиперболоида
плоскостью,
перпендикулярной оси координат Oz, при
получается эллипс, при
– точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и
Oy, – гипербола.
Определение объема тела
Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для
фигур на плоскости.
Определение 6.1.
Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число
треугольных пирамид.
В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.
Определение 6.2.
Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть
пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:

равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела
его объем не изменяется;

если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем
тела равен объему его частей;

за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице
длины;
Определение 6.3.
Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2
следует, что если тело с объемом V1 содержится внутри тела с объемом V2,
то V1 < V2.
Теорема 6.1.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений:
V = abc.
Теорема 6.2.
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:
V = SH.
Теорема 6.3.
Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на
боковое ребро: V = Sпс · l.
Теорема 6.4.
Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на
высоту: V = S · H.
Объем пирамиды
Лемма 6.1.
Две пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, имеют
равные объемы.
Теорема 6.5.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на
высоту:
где S – площадь основания, H – высота пирамиды.
Доказательство
Теорема 6.6.
Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле
ее оснований.
где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади
Теорема Симпсона
Определение 6.4.
Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных
плоскостях, называется призматоидом.
Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все
боковые грани призматоида являются треугольниками или
четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или
параллелограммы.
Теорема 6.7. Теорема Симпсона.
Объем V призматоида можно найти по формуле
где H – его
высота (расстояние между плоскостями оснований), S1 и S2 – площади
оснований, S – площадь среднего сечения (сечения, параллельного
плоскостям оснований и делящего высоту пополам).
Объем цилиндра и конуса
Найдем объем цилиндра, конуса и усеченного конуса. Пусть H – высота, R –
радиус цилиндра или конуса.
Теорема 7.1.
Объемы цилиндра и конуса равны соответственно
Объем любого цилиндра можно найти по формуле
Объем любого конуса можно найти по формуле
Теорема 7.2.
Объем усеченного конуса равен
оснований усеченного конуса.
где R и r – радиусы
Вычисление объемов тел вращения
Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения. В частности,
вычислим объем шара и его частей.
Рисунок 7.2.1.
Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox,
прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей
неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1),
вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью,
перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b)
выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно
оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf 2 (x). Объем части тела вращения,
ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через
V (x), а объем данного тела вращения – через V.
Теорема 7.3.
Объем тела вращения равен
Доказательство
Рисунок 7.2.2.
Придадим x приращение Δx > 0 (x + Δx < b). Построим два цилиндра с общей
высотой Δx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг
площадью S (x), а больший – круг площадью S (x + Δx). Если ΔV – прирост
объема тела вращения, то S (x)Δx < ΔV < S (x + Δx)Δx, откуда
Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция
следовательно,
Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем
то есть V' (x) = S (x).
Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b].
Отсюда имеем
Теорема 7.4.
Объем шара равен
Доказательство
где R – радиус шара.
Рисунок 7.2.3.
На рис. 7.2.3 изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R; 0).
Уравнение окружности этого круга
откуда
Функция
непрерывная, возрастающая,
неотрицательная, следовательно, для нахождения объема тела вращения
можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти
круга вокруг оси Ox образуется полушар. Следовательно,
откуда
Заметим, что формула для объема шара следует из формулы для объема
шарового сегмента при H = 2R.
В качестве тренировки докажите, что объем эллипсоида, задаваемого
уравнением
определяется формулой
Рисунок 7.2.4.
Объем частей шара
Определение 7.1.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.
Если OP – радиус шара, перпендикулярый отсекающей плоскости, то точку P
назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента
называется отрезок PO1, соединяющий полюс шара с центром основания
шарового сегмента.
Рисунок 7.3.1.
Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, образованное вращением
кругового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде. Формулу
объема шарового сегмента выводят так же, как и формулу объема шара, но
интегрируют на промежутке (0; H) (H – высота шарового сегмента):
Следовательно, объем шарового сегмента равен
Рисунок 7.3.2.
Определение 7.2.
Шаровым сектором называется тело, образованное вращением кругового
сектора вокруг оси, содержащей один из его граничных радиусов.
Рисунок 7.3.3.
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем
является суммой объемов шарового сегмента V1 и конуса V2: V = V1 + V2.
Высота P1O1 шарового сегмента является также высотой и шарового сектора.
Имеем
где r – радиус конуса. Пусть P1, P2 – полюса шара, O1A = r. Из
прямоугольного треугольника P1AP2 находим r2 = H (2R–H), следовательно,
Объем шарового сектора
или
Площади поверхности цилиндра, конуса, шара
Пользуясь формулой объема шара, можно получить формулу площади
поверхности шара, то есть сферы. Рассмотрим произвольный многогранник,
описанный вокруг сферы, имеющей радиус R. Тогда объем многогранника
можно найти по формуле
где – площадь поверхности
многогранника. Будем увеличивать число граней многогранника так, что
площадь каждой грани неограниченно уменьшается. Получим, что объем
шара выражается формулой
выражается формулой
Таким образом, площадь сферы
В главе 5 фактически уже были получены формулы для вычисления
площадей поверхности цилиндра и конуса. Поэтому приведем их здесь еще
раз без вывода.
Площадь поверхности цилиндра
где R – радиус основания цилиндра, H – его высота.
Площадь поверхности конуса
где R – радиус основания конуса, l – длина его образующей.
Рассмотрим площадь поверхности сферы и шарового сегмента.
Определение 7.3.
Площадь поверхности шарового сегмента можно определить как предел
отношения приращения объема соответствующего шарового сектора к
приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю:
Рисунок 7.4.1.
На рис. 7.4.1 изображен полукруг радиуса R = OB = OA и половина плоского
сегмента ACB. При вращении этого полукруга вокруг оси AA1 получается
шар радиуса R, шаровой сектор с углом γ между осью и образующей, и
шаровой сегмент. Высота H шарового сегмента есть:
H = AC = OA – OC = R – R cos γ = R (1 – cos γ).
Объем шарового сектора
Дадим радиусу R приращение ΔR. Тогда объем шарового сегмента получит
приращение ΔV, где ΔV – объем фигуры, полученной при вращении
заштрихованной на рис. 7.4.1 части полукольца.
В процессе приращения объема изменяется только R, а угол γ остается
постоянным, поэтому S = V' (R) = 2πR2 (1 – cos γ) = 2πRH, где S – площадь
сферической части поверхности шарового сегмента (или сектора). Принимая
H = 2R, получаем площадь поверхности сферы
S = 4πR2.
Определение правильного многогранника
Среди плоских многоугольников особое место занимают правильные
многоугольники. Как известно, для любого натурального n на плоскости
существует правильный n-угольник. Естественно задаться вопросом, имеет
ли место подобный факт в пространстве? Существуют ли «правильные
многогранники», и что это такое?
Еще в древней Греции были известны пять удивительных многогранников.
Рисунок 8.1.1.
Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим
многогранникам даже приписывали магические свойства. Древнегреческий
ученый и философ Платон (IV–V в до н. э.) считал, что эти тела
олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит,
что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха –
октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось места только
додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой
сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра.
Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел.
Поэтому эти многогранники называют платоновыми телами.
Определение 8.1.
Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между
собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит
одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.
Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников.
Докажем это, а затем предъявим каждый из них, доказав тем самым их
существование.
Лемма 8.1.
Рассмотрим многогранный угол с вершиной S, у которого равны все плоские
и все двугранные углы. Выберем на его ребрах точки A1, A2, …, An так, что
SA1 = SA2 = … = SAn. Тогда точки A1, A2, …, An лежат в одной плоскости и
являются вершинами правильного n-угольника.
Теорема 8.1.
Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.
Доказательство
Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут
быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники.
Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными
шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой
его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном
шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов
выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта
сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не
могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.
Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного
многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой
вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма
плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились,
невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные
треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять
треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой
вершине правильного многогранника, грани которого – правильные
четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.
Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с
фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все
грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть
существует два многогранника, все грани которых – правильные
пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом
многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все
двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого
многогранника: именно это мы сейчас и докажем.
Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три
ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и
AD, а из вершины A1 другого – ребра A1B1, A1C1 и A1D1. ABCD и A1B1C1D1 –
правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие
из вершин A и A1, и плоские углы при этих вершинах. Отсюда следует, что
двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого.
Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A1B1C1D1, то совместятся и
сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник,
все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой
многогранник единственный.
Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае,
когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или
пять треугольников, следует воспользоваться леммой 8.1. Из нее следует, что
концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и
служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема
доказана.
Заметим, что из этой теоремы не следует, что существует именно пять видов
правильных многогранников. Теорема лишь утверждает, что таких видов не
более пяти, а теперь нам осталось доказать, что этих видов действительно
пять, предъявив все пять видов многогранников.
Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр
Предъявим теперь многогранники каждого вида, доказывая тем самым их
существование.
Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – правильный
четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой
правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и
из каждой вершины которого выходит ровно три ребра. Очевидно, что
тетраэдр с заданной длиной ребра единственен. Все остальные тетраэдры
подобны ему и определяются длиной ребра, что следует из теоремы 8.1.
Чертеж 8.2.1.
Гексаэдр (куб, hexa – шесть). Гексаэдр – правильный многогранник, все
грани которого – квадраты, и из каждой вершины выходит три ребра.
Чертеж 8.2.2.
Октаэдр (okto – восемь). Это правильный многогранник, все грани которого –
правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани.
Покажем, что этот многогранник имеет восемь граней, указав способ его
построения.
Чертеж 8.2.3.
Икосаэдр и додекаэдр
Теорема 8.2. Существование правильного икосаэдра.
Существует правильный многогранник, у которого все грани – правильные
треугольники, и из каждой вершины выходит 5 ребер. Этот многогранник
имеет 20 граней, 30 ребер, 12 вершин и называется икосаэдром (icosi –
двадцать).
Доказательство
Чертеж 8.3.2.
Теорема 8.3. Существование правильного додекаэдра.
Существует правильный многогранник, у которого все грани правильные
пятиугольники и из каждой вершины выходит 3 ребра. Этот многогранник
имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин и называется додекаэдром (dodeka –
двенадцать).
Доказательство
Чертеж 8.3.3.
Правильная n-угольная пирамида
Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. Этот многогранник часто
встречается в стереометрических задачах, и поэтому более подробное и
тщательное изучение его свойств представляет большой интерес. В этом
параграфе мы несколько расширим тот арсенал формул, который нами был
получен ранее. Запоминать формулы, которые будут выведены в этом
параграфе, нет необходимости. Гораздо важнее понять, как они получаются,
и научиться применять аналогичные выводы в конкретных задачах.
Итак, пусть SA1A2 … An – правильная n-угольная пирамида (рис. 8.4.1).
Введем следующие обозначения:

α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

β – двугранный угол при основании;

γ – плоский угол при вершине;

δ – двугранный угол при боковом ребре.
Рисунок 8.4.1.
Пусть O – центр основания пирамиды, B – середина ребра
D – точка
пересечения отрезков
такая, что
и
C – точка на боковом ребре
E – точка пересечения отрезков SB и
отрезков
K – точка пересечения
и OB. Пусть
Несложно показать, что
Обозначим также через H высоту пирамиды, апофему – через m, боковое
ребро – через l, сторону основания – через a, а через r и R – радиусы
окружностей, вписанной в основание и описанной около него.
Правильный тетраэдр
Применение формул последнего параграфа к правильному тетраэдру
позволяет получить ряд интересных соотношений для последнего. В этом
параграфе мы приведем полученные формулы для данного конкретного
случая и, кроме того, найдем выражения для некоторых характеристик
правильного тетраэдра, таких как, например, объем, площадь полной
поверхности и т. п.
Следуя обозначениям предыдущего параграфа, рассмотрим правильный
тетраэдр SA1A2A3 с длиной ребра a. Обозначения для его углов оставим теми
же и вычислим их.
Рисунок 8.5.1.
В правильном треугольнике
длина высоты равна
Так как этот
треугольник является правильным, то его высота одновременно является
биссектрисой и медианой. Медианы, как известно, точкой своего
пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Несложно найти
и точку пересечения медиан. Так как тетраэдр правильный, то этой точкой
будет точка O – центр правильного треугольника
Основание высоты
правильного тетраэдра, опущенной из точки S, также проектируется в точку
O. Значит,
тетраэдра равна
В правильном треугольнике
длина апофемы
Применим теорему Пифагора для Δ SBO:
Отсюда
высота правильного тетраэдра равна
Таким образом,
Площадь правильного треугольника – основания тетраэдра –
Значит, объем правильного тетраэдра равен
Площадь полной поверхности тетраэдра в четыре раза больше площади его
основания:
Координаты и векторы в пространстве
9.1. Векторы в пространстве
Определение 9.1.
Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется
отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой
концом.
На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу.
Если длина рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок
вырождается в точку, то эта точка тоже может рассматриваться как вектор.
Такой вектор называется нулевым и имеет произвольное направление.
Рисунок 9.1.1.
На рисунке 9.1.1 изображены ненулевые векторы
и
и нулевой вектор
Нулевой вектор иногда обозначается символом
пределение 9.2.
Длиной (модулем) ненулевого вектора
обозначается как
называется длина отрезка AB. Она
Длина нулевого вектора равна нулю:
Определение 9.3.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых.
Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то
разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.
Определение 9.4.
Если два ненулевых вектора
сонаправлены, то векторы
обозначается так:
то векторы
и
обозначается так:
и
и
коллинеарны, а лучи AB и CD
называются сонаправленными. Этот факт
Если же эти лучи не являются сонаправленными,
называются противонаправленными. Этот факт
Рисунок 9.1.2.
На рисунке 9.1.2
Определение 9.5.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
На рисунке 9.1.2
так как
и
а
так как
Нетрудно доказать следующее.
Теорема 9.1.
От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и
притом только один.
Сделайте это самостоятельно.
Определение 9.6.
Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они
противоположно направлены (рис. 9.1.3).
Рисунок 9.1.3.
и
–
противоположные
векторы.
Определение 9.7.
Суммой двух векторов
обозначается
и
называется новый вектор
который
и получается следующим образом.
Рисунок 9.1.4.
Отложим от произвольной точки A вектор
отложим вектор
и
треугольника.
равный
Вектор
, равный
Теперь от точки B
и называется суммой векторов
Это правило сложения векторов называется правилом
Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться
правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии (рис. 9.1.5).
Рисунок 9.1.5.
Для любых векторов
и справедливы равенства:
(переместительный закон);

(сочетательный закон).

Определение 9.8.
Разностью векторов
вектором
и
равна вектору
где
называется такой вектор
Обозначается разность векторов так:
– вектор, противоположный вектору
(рис. 9.1.6).
Рисунок 9.1.6.
Теорема 9.2.
сумма которого с
Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они
складываются.
Доказательство этого утверждения следует из закона сложения векторов.
Определение 9.9.
Произведением ненулевого вектора
на число k называется вектор
длина
которого равна
причем при k > 0 векторы и сонаправлены, а при
k < 0 – противонаправлены. Произведением любого числа на нулевой вектор
является по определению нулевой вектор.
Из этого определения следует, что векторы и
коллинеарны. Кроме того,
произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.
Для любых векторов



и любых чисел k и l справедливы равенства:
(сочетательный закон);
(первый распределительный закон);
(второй распределительный закон).
Теорема 9.3. Признак коллинеарности векторов.
Для коллинеарности вектора
ненулевому вектору
необходимо и
достаточно, чтобы существовало такое число λ, что
Эта теорема доказывается аналогично, как в планиметрии.
Следствие 9.3.1.
Для того, чтобы точка C лежала на прямой AB, необходимо и достаточно,
чтобы существовало такое число λ, что
Следствие 9.3.2.
Для параллельности прямых AM и BN необходимо и достаточно, чтобы
существовало такое число λ, что
Компланарные векторы
Определение 9.10.
Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора,
параллельные одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть
два коллинеарных, компланарны.
Рисунок 9.2.1.
На рисунке 9.2.1 векторы
и
отложить от точки C вектор
компланарны, так как, если
то все три вектора
окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы
компланарны, так как вектор
и
и
не
не лежит в плоскости ACD.
Теорема 9.4. Теорема о разложении по базису в плоскости.
Пусть векторы
и
в одной плоскости с
что
не коллинеарны, тогда для любого вектора
и
лежащего
существует единственная пара чисел α и β, такая,
Эта теорема верна и для того случая, когда векторы
одной плоскости.
и параллельны
Доказательство
Рисунок 9.2.2.
Отложим от произвольной точки векторы
и
Спроектируем конец вектора
на прямые, задаваемые векторами и в направлении, параллельном
другому вектору (рис. 9.2.2). Обозначим вектора с началами в точке O и с
концами в полученных точках соответственно
и
Так как эти вектора
лежат на тех же прямых, что и
,и
числа α и β, что
При этом по правилу
параллелограмма
то по теореме 9.3 существуют такие
Значит,
Докажем теперь, что такая пара чисел единственна. Предположим, что
нашлось два разложения вектора по векторам
пары чисел
и
и
таких, что
и
то есть нашлись две
и справедливы разложения:
Вычитая из первого равенства второе, получаем
Отсюда, ввиду того что
то есть
следует, что
что по условию не так. Полученное
противоречие означает, что неравенство
Аналогично доказывается, что
невозможно, а значит
Теорема доказана.
Теорема 9.5.
Если векторы
и , отложенные от одной точки, не лежат в одной
плоскости, то равенство
верно только при x = y = z = 0.
Доказательство
Действительно, из того, что
следует, что
лежит в одной плоскости с векторами
той же причине y = 0 и z = 0.
и
Значит, вектор
что неверно. Поэтому x = 0. По
Эта теорема позволяет от одного векторного равенства переходить к системе
числовых равенств.
Теорема 9.6. Теорема о разложении по базису в пространстве.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам,
причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Эта теорема доказывается аналогично теореме 9.4, и поэтому мы не будем на
ней подробно останавливаться.
Декартовы координаты в пространстве
Рассмотрим три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся
в одной точке O (чертеж 9.3.1).
Чертеж 9.3.1.
Декартовы координаты в пространстве.
Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость,
проходящая через прямые x и y, называется плоскостью xy. Две другие
плоскости называются, соответственно, плоскостями xz и yz.
Определение 9.11.
Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xy, xz и yz –
координатными плоскостями. Точка O разбивает каждую координатную ось
на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной
полуосями.
Рассмотрим теперь произвольную точку A и проведем через нее плоскость,
параллельную плоскости yz (чертеж 9.3.2).
Чертеж 9.3.2.
Координаты точки.
Пусть эта плоскость пересекает ось x в некоторой точке Ax.
Определение 9.12.
Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной
величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на
положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на
отрицательной полуоси.
Если же точка Ax совпадет точкой O, то полагаем по определению, что x = 0.
Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки
A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).
Зададим теперь в пространстве прямоугольную систему координат.
Определение 9.13.
Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна
единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.
Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается
вектор, направленный вдоль оси y – вдоль оси z –
называются координатными векторами.
единичный
Вектора
По своему построению эти векторы некомпланарны, а значит, любой вектор
можно разложить по координатным векторам:
Кроме того, отметим, что по уже доказанному коэффициенты разложения
определяются единственным образом. Эти коэффициенты и называются
координатами вектора
в данной системе координат.
Следующие утверждения доказываются аналогично их планиметрическим
аналогам.

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Координаты равных векторов соответственно равны.
Пусть

тогда
Координаты вектора суммы двух векторов
соответствующих координат этих векторов.
Пусть

сумме
тогда
Координаты вектора разности двух векторов равны разностям
соответствующих координат этих векторов.
Пусть

равны
тогда
Координаты вектора произведения данного вектора на число равны
произведениям соответствующих координат этого вектора на данное
число.
Пусть
тогда
Расстояние между точками
Рассмотрим точки A1 (x1; y1; z1) и A2 (x2; y2; z2) и найдем расстояние между
этими точками. Пусть вначале прямая A1A2 не параллельна оси z
(чертеж 9.4.1).
Чертеж 9.4.1.
Расстояние между точками.
Проведем через точки и
прямые, параллельные оси z. Пусть эти прямые
пересекут плоскость xy в точках и Заметим, что поскольку эти точки
лежат в плоскости xy, то координата z у них равна нулю. Проведем плоскость
через точку
прямую
параллельную плоскости xy. Пусть эта плоскость пересекает
в точке C. Применим теорему Пифагора к треугольнику
Очевидно, что отрезки
и
равны, а согласно теореме
Пифагора на плоскости xy, получаем, что
Поскольку длина отрезка
равна
Если же окажется, что отрезок
то окончательно имеем
параллелен оси z, то
же результат дает полученная формула, так как в этом случае
Но тот
Итак, доказана следующая
Теорема 9.7.
Расстояние между точками A1 и A2 можно вычислить по формуле
Определение 9.14.
Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, называется радиусвектором данной точки.
Чертеж 9.4.2.
Рассмотрим некоторую точку M в пространстве с координатами (x; y; z).
Пусть M1, M2, M3 – точки пересечения с осями координат плоскостей,
проходящих через точку M перпендикулярно к этим осям (чертеж 9.4.2).
Тогда
По определению координаты точки M
аналогично
самым доказана следующая
Значит,
Получается, что
Совершенно
Тем
Теорема 9.8.
Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиусвектора.
Рассмотрим теперь две точки
и
По только что
доказанному,
Итак, каждая координата вектора
равна разности соответствующих координат его конца и начала. Но длина
вектора
по определению равна длине отрезка
есть расстояние между точками и
а длина этого отрезка
Значит,
Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.
Скалярное произведение векторов
Рассмотрим два произвольных вектора:
и
Определение 9.15.
Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он
лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.
Определение 9.16.
Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для
которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым
вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если
угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются
перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так:
Определение 9.17.
Скалярным произведением векторов
на косинус угла между ними:
и
называется произведение их длин
Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие
утверждения:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и
только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого
на себя, равно квадрату его длины.
Скалярное произведение двух векторов
и
заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также
доказываются аналогично планиметрическим.
Для любых векторов
и и любого числа λ справедливы равенства:
причем
1.
(переместительный закон).
2.
(распределительный закон).
3.
(сочетательный закон).
4.
Векторное произведение векторов
Рассмотрим два произвольных вектора:
и
Определение 9.18.
Векторным произведением вектора
вектор
на вектор
называется третий
который обладает следующими свойствами:
1. Его длина равна
2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора
и
3. Вектор направлен так, что поворот от вектора
к вектору
осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца
вектора
правая).
(в этом случае, говорят, что тройка векторов
и
–
Рисунок 9.6.1.
Векторное произведение обозначается квадратными скобками:
Свойства векторного произведения:

векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор
равно нулевому вектору;

векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому
вектору;

координаты векторного произведения
векторов
и
следующие



Уравнение плоскости
Рассмотрим произвольную точку
некоторый вектор
в пространстве и
Очевидно, что геометрическим местом
точек
таких, что вектор
перпендикулярен вектору будет
плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для
которой вектор является направляющим. Нашей задачей будет
установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому
удовлетворяют координаты точки A.

Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием
скалярного произведения:

Запишем последнее равенство в координатах:

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть
уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем
его к виду

Обозначая

Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.
Определение 9.19.




получим
Вектор
называется нормальным вектором (или просто
нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).
Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из
самого вывода уравнения плоскости.
Рассмотрим плоскость 3x + 2y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения
этой плоскости с осью Ox, то есть A(2; 0; 0). Точка B(0; 3; 0) – это
точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C(0; 0; 6) – с
осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение
называется уравнением
плоскости в отрезках на осях.
 Уравнение прямой линии

Рассмотрим произвольную точку
и некоторый вектор
Поставим задачу найти множество точек
вектор
параллелен вектору
таких, что
Очевидно, что искомое множество –

прямая, проходящая через точку M параллельно вектору
Определение 9.20.

Вектор
называется направляющим вектором прямой.

Найдем уравнение этого геометрического места точек. Параллельность
векторов
и
означает, что существует такое число t, что
Пусть вектор имеет координаты (a; b; c). Запишем это равенство в
виде трех скалярных равенств:


Три последних равенства и описывают прямую в пространстве,
проходящую через заданную точку параллельно направляющему
вектору. Заметим, что в этих равенствах t – любое число.
 Вычисление углов в пространстве
Понятие о скалярном произведении позволяет достаточно просто
определять углы между прямыми в пространстве. Действительно, пусть
в пространстве заданы две прямые с направляющими
векторами
и
Пусть угол между этими прямыми
равен φ. Тогда угол между векторами может быть равен φ или 180° – φ
в зависимости от того, как направлены эти вектора. Однако в любом
случае модуль скалярного произведения этих векторов равен

Отсюда следует, что
так как
Итак, угол между
двумя прямыми может быть найден через координаты направляющих
векторов так

Покажем теперь, как можно вычислять угол между прямой и
плоскостью. Поскольку угол между прямой и плоскостью есть угол
между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, сведем данную
задачу к предыдущей. Заметим, что угол между направляющим
вектором рассматриваемой прямой и нормальным вектором равен
Рисунок 9.9.1.

Этот угол уже легко вычисляется:
угол между прямой и плоскостью равен
Значит

Найдем, наконец, угол между двумя плоскостями, если известны их
нормальные векторы. Несложно сообразить, что угол между
плоскостями равен углу между их нормалями. Докажите это
утверждение самостоятельно.
Чертеж 9.9.1.

Значит, угол между плоскостями может быть найден по формуле:
Вычисление расстояний в пространстве
Формула расстояния между точками в декартовой прямоугольной системе
координат была получена в параграфе 9.4.
Для определения расстояния от точки W до прямой p можно, выбрав на
прямой p какие-нибудь две точки, например
треугольника
и
подсчитать стороны
а затем его высоту WH. Сделать это нетрудно, выражая
двумя способами. А именно, из прямоугольного треугольника
а из прямоугольного треугольника
Таким образом,
Из этого равенства можно найти
один из отрезков
и
затем найти WH. Не останавливаясь здесь на
доказательстве, отметим, что из последнего равенства предпочтительней
находить больший из этих отрезков. Ясно, что если, например, отрезок
больше отрезка
то и отрезок
больше отрезка
случае в последнем равенстве замену
Сделав в таком
найдем отрезок
а затем и высоту WH.
Чертеж 9.10.1.
В некоторых случаях для вычисления расстояния WH бывает целесообразней
выразить двумя способами площадь треугольника
и
Например, так:
Тогда из равенства
можно найти искомое расстояние WH.
Расстояние от точки до плоскости удобнее искать векторным методом. Итак,
пусть задана точка
и некоторая плоскость α:
Рисунок 9.10.1.
Пусть точка
– ортогональная проекция точки M на плоскость α. Тогда
а значит,
Точка B лежит в плоскости α, ее координаты
удовлетворяют уравнению плоскости:
Расстояние от точки
значит
до плоскости α равно
Эта формула и выражает расстояние между точкой и плоскостью.
Интернет ресурсы.
1. http://comp-science.narod.ru/ - Учителям информатики и математики и их
любознательным ученикам.
2. http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых
образовательных ресурсов.
3. http://college19.ru -<<Конспект лекций>>.
4. http://www.consultant.ru/ - Официальный сайт компании <<Консультант
Плюс>>.
5. http://siblec.ru – Справочник по Высшей математике.
6. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, курсовые, примера
решения задач, интегралы и производные, дифференцирование,
производная и первообразная, ТФКП, электронные учебники.
7. http://www.exponenta.ru/ - Образовательный математический сайт
“Exponementa.ru” Для студентов : задачи с решениями, справочник по
математике, консультации. Для преподавателей: возможность разместить на
сайте методические разработки. Книги и справочники по Mathcad, Matlad,
Maple.
8. http://mathem.h1.ru/ -Математика On- Line – здесь Вы можете найти
формулы по математике, геометрии, высшей математике и т.д
9. http://zadachi.mccme.ru:8103/ - информационно-поисковая система
“Задачи” . Благодаря системе поиска Вы можете найти здесь любую задачу
на ваш вкус. Учителя смогут быстро подобрать несколько задач для
проверочной работы для своих учеников . При этом ко всем задачам
прилагается решения и чертежи, что делает эту базу идеальным средством
для самостоятельного изучения наук.
10. http://karataev.hotmail.ru/ Полезные материалы по математике и
программированию.
11. http://mschool.kubsu.ru – библиотека электронных учебных пособий по
математике.
12 http://ilib.mccme.ru/#begin – интернет – библиотека
13. http://edu.of.ru/profil/default.asp - интеренет-поддержка профес.
развития педагогов
14. http://zadaci.mccme.ru/easy - информационно-поисковая система
<<задачи>>
15. http://scholar.urc.ac.ru:8002/courses/Tehnology/index.html.ru - курс
дистанционного обучения для учителей.
16. http://it-n.ru – новейшие информационные технологии
17. http://edu.1september.ru – педагогический университет первого сентября
18. http://ru.wikipedia.org – электронная энциклопедия
19. http://yandex.ru – поисковая система
20. http://ict.edu.ru – Портал “Информационно – коммуникационные
технологии в образовании” входит в систему федеральных образовательных
порталов и нацелен на обеспечение комплексной информационной
поддержки образования в области современных информационных и
телекоммуникационных технологий, а также деятельности по применению
ИКТ в сфере образования.
21. http://sci-lib.com/mathematics - обзор последних новостей математики,
включающей в себя как теоретические открытия так и алгоритмические
разработки. Все математические новости расположены по датам.
22. http://mathhelpplanet.com – Обсуждение и решение задач по математике,
физике, химии, экономике.
23. http://mathematics.ru - В разделе можно найти учебный материал по
различным разделам математики – алгебра, планиметрия, стереометрия,
функции и графики и другие. Программы “Алгебра on-line”и”eSolver” тренажеры по решению алгебраических уравнений. Раздел МАТЕМТИКА в
ИНТЕРЕНЕТЕ содержит обзор Интернет-ресурсов по математике и постоянно
обновляются.
24. http://free-match.ru - только самое полезное и интересное.
25. http://college.ru – подготовка к ЕГЭ
26. http://bymath.net – средняя математическая интернет-школа, в которой
вы можете учиться, не выходя из дому.
27. http://window.edu.ru – электронный ресурс <<Единое окно доступа к
образовательным ресурсам.>>
28. http://fcior.edu.ru – электронный ресурс <<Федеральный центр
информационно-образовательных ресурсов>> .