Обязательные вопросы к экзамену по курсу &#39

Обязательные вопросы к экзамену
по курсу «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Операции над векторами
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие вектора. Линейные операции над векторами, их свойства. Выражение координат суммы
векторов и произведения вектора на число.
Линейно зависимые системы векторов на плоскости и в пространстве. Геометрический смысл линейной
зависимости.
Базисы на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы. Разложение вектора по базису на
плоскости и в пространстве.
Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей.
Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей.
Смешанное произведение трех векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей.
Прямая и плоскость, прямая и плоскость в пространстве
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве, ортогональных данному вектору и
проходящих через данную точку.
Общее уравнение первого порядка на плоскости и в пространстве, его исследование.
Нормальное уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Приведение общего
уравнения первого порядка к нормальному виду.
Различные формы уравнений прямой в пространстве, переход из одной формы в другую.
Расстояние от точки до прямой на плоскости и от точки до плоскости в пространстве.
Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве, между плоскостями в пространстве, между
прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Определение координат проекции точки на прямую на плоскости, проекции точки на плоскость в
пространстве.
Определение координат пересечения прямой и плоскости в пространстве.
Кривые второго порядка
16.
17.
18.
19.
20.
Эллипс, вывод канонического уравнения, исследование формы эллипса. Директрисы и эксцентриситет.
Гипербола, вывод канонического уравнения, исследование формы. Директрисы, асимптоты и
эксцентриситет.
Парабола, вывод канонического уравнения, исследование формы.
Приведение общего уравнения второго порядка на плоскости к каноническому виду в случае
центральных кривых. Инварианты кривой.
Приведение общего уравнения второго порядка на плоскости к каноническому виду в случае
нецентральных кривых. Инварианты кривой.
Поверхности
21.
22.
23.
24.
25.
Цилиндрические поверхности. Уравнение цилиндрической поверхности. Цилиндры второго порядка.
Конические поверхности. Уравнение конической поверхности. Конусы второго порядка.
Поверхности вращения. Уравнение поверхности вращения относительно заданной оси. Поверхности
вращения второго порядка.
Канонические уравнения эллипсоидов и гиперболоидов, исследование их формы по каноническому
уравнению.
Канонические уравнения параболоида, исследование его формы по каноническому уравнению.
Матрицы и определители
26.
27.
28.
Прямоугольные матрицы, линейные операции над матрицами. Свойства линейных операций.
Операция транспонирования матриц, ее свойства. Сопряженные матрицы и их свойства.
Умножение матриц и свойства этой операции.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Определитель матрицы n-го порядка. Определитель транспонированной и сопряженной матриц.
Свойства определителя, связанные с перестановкой и линейными операциями над строками и
столбцами матрицы.
Разложение определителя по строке и по столбцу.
Теорема об определителе произведения матриц.
Обратная матрица и ее свойства. Вычисление обратной матрицы.
Обратимые матрицы, критерий обратимости.
Линейная зависимость и литейная независимость строк и столбцов матрицы. Критерий линейной
зависимости строк (столбцов).
Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.
Критерий равенства нулю определителя.
Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Элементарные преобразования матриц. Вычисление ранга матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений
40.
41.
Общее понятие системы линейных алгебраических уравнений. Решения системы, совместные и
несовместные системы, эквивалентность систем. Матричная запись системы линейных уравнений.
Теорема Крамера о решении системы линейных алгебраических уравнений.