Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет»
Кафедра алгебры и геометрии
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по УР Университета
________________В.А. Немонтов
“ ___ ”__________ 2008 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Алгебра
для специальности (направления) 010101 “Математика”
вид обучения ___очное ______________________________________________
(очное, очно-заочное, заочное)
Учебный план курса
Количество часов
(всего по госстандарту -- 250 часов)
Вид занятий
Всего
Распределение по семестрам
1 семестр
3 семестр
Лекции
85
51
34
Практические (семинары)
85
34
51
Рейтинг-контроль (кол-во)
6
3
3
Курсовая работа (кол-во)
1
-
1
во)
2
2
-
Коллоквиумы (кол-во)
1
1
-
Экзамены
2
1
1
Зачеты
2
1
1
Контрольные работы (кол-
Владимир 2008 г.
Выписка из госстандарта
ОПД.Ф.02
Алгебра
Понятие группы, кольца и поля; поле комплексных чисел; кольцо
многочленов; деление многочленов с остатком; теорема Безу; кратность корня
многочлена, ее связь со значениями производных; разложение многочлена на
неприводимые множители над полями комплексных и действительных чисел;
формулы Виета; наибольший общий делитель многочленов, его нахождение с
помощью алгоритма Евклида; кольцо многочленов от нескольких переменных;
симметрические многочлены.
Группа подстановок; четность подстановки; циклические группы;
разложение группы на смежные классы по подгруппе; теорема Лагранжа.
Системы линейных уравнений; свойства линейной зависимости; ранг
матрицы; определители, их свойства и применение к исследованию и решению
систем линейных уравнений; кольцо матриц и группа невырожденных матриц.
Векторные пространства; базис и размерность; подпространства; сумма и
пересечение подпространств; прямые суммы; билинейные и квадратичные
формы; приведение квадратичной формы к нормальному виду; закон инерции;
положительно определенные квадратичные формы; критерий Сильвестра;
ортонормированные базисы и ортогональные дополнения; определители Грама и
объем параллелепипеда.
Линейные операторы; собственные векторы и собственные значения;
достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к
диагональному виду;
понятие
о
жордановой
нормальной форме;
самосопряженные и ортогональные (унитарные) операторы; приведение
квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду.
Аффинные системы координат; линейные многообразия, их взаимное
расположение; квадрики (гиперповерхности второго порядка); их аффинная и
метрическая классификация и геометрические свойства;
Примеры групп преобразований: классические линейные группы, группа
движений и группа аффинных преобразований, группы симметрии правильных
многоугольников и многогранников в трехмерном пространстве; классификация
движений плоскости и трехмерного пространства.
2. ВВЕДЕНИЕ
2. 1. Значение курса в подготовке специалистов
Курс алгебры одна из самых значимых дисциплин в подготовке
математика-профессионала. Особую значимость он приобретает в
век тотальной компьютеризации и компьютерных технологий
обработки информации.
2.2. Цель преподавания дисциплины
Целью данной дисциплины является ознакомление студентов с
важнейшими концепциями алгебры – а) системы линейных
уравнений, б) матричная алгебра, в) понятие алгебры и линейных
пространств, г) понятие группы, д) комплексные числа, е)
многочлены,
250
2.3. Задачи изучения дисциплины
Одна из центральных задач изучения дисциплины -- умение
применять полученные теоретические знания для решения
практических задач.
2.4. Рекомендация по изучению дисциплины.
Данная дисциплина содержит большое число абстрактных понятий.
Их усвоение возможно только при систематическом обучении и
прорешивании большого числа стандартных задач.
3. Тематический план курса
№
темы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Название темы
Распределение часов
(ауд.)
ВсеЛек- Практ
го
ции
ическ
ие
зан.
1 семестр
Системы линейных уравнений
8
4
4
Матричная алгебра.
16
8
8
Определители.
Линейные пространства
20
10
10
Линейные операторы
16
8
8
Билинейные и квадратичные
12
6
6
формы
Аффинные пространства
16
8
8
3 семестр
Алгебраические системы
20
10
10
Комплексные числа
16
8
8
Многочлены
16
8
8
Группы
20
10
10
Кольца, поля
15
8
7
ИТОГО
170
85
85
Контр. раб.,
коллокв.,
дом. задания
Контр.раб.
Внеаудит
орная
СРС
(час)
5
6
Коллоквиум
8
6
5
Контр. раб
8
Контр. раб
Контр. раб
8
6
6
8
9
80
4. Содержание дисциплины
4.1. Теоретический курс
1. Системы линейных уравнений.
Основные определения. Элементарные преобразования систем.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородные
системы.
2. Матричная алгебра. Определители.
Матрицы, строки, столбцы. Операции над матрицами (сложение,
умножение, транспонирование); их свойства. Определение и
основные свойства определителей. Определитель произведения
матриц. Методы вычисления определителей. Правило Крамара.
3. Линейные пространства
Определение и примеры линейных пространств. Зависимость и
независимость, базис. Подпространства и прямые суммы. Фактор
пространства. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
Скалярное произведение. Нормированные, банаховы и
евклидовы пространства. Ортонормированные базисы.
4. Линейные операторы
Линейные отображения. Матрица линейного оператора.
Собственные числа и собственные вектора. Диагонализация
линейного оператора. Симметрические операторы.
Ортогональные операторы. Жорданова нормальная форма
матрицы.
5. Билинейные и квадратичные формы
Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Приведение
квадратичной формы к диагональному виду. Закон инерции;
положительно определённые квадратичные формы.
6. Аффинные пространства
Понятие аффинного пространства. Аффинная система
координат. Линейные многообразия, их взаимное расположение.
Гиперповерхности второго порядка.
7. Алгебраические системы
Операции и отношения на множестве. Понятие алгебраической
системы с заданной сигнатурой. Подсистемы, декартовы
произведения и фактор системы. Морфизмы алгебраических
систем. Изоморфизмы. Моноиды, полугруппы. Группы. Кольца,
поля.
8. Комплексные числа
Поле комплексных чисел С. Операция сопряжения. Модуль и
аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и
показательная формы записи. Комплексная экспонента. Решение
алгебраических уравнений над С. Алгебраическая замкнутость
поля С.
9. Многочлены
Кольцо многочленов от одной переменной. Евклидовость кольца
многочленов. разложение многочленов на неприводимые
множители. Формулы Виетта. Кольцо многочленов от нескольких
переменных. Симметрические многочлены.
10. Группы
Определение и примеры групп. Порядок группы и элемента
группы. циклические группы. Смежные классы, теорема
Лагранжа. Группа подстановок, четность подстановки, теорема
Кэли. Группы симметрий правильных многоугольников и
многогранников. Конечно-порождённые абелевы группы.
11. Кольца, поля
Определение и примеры ассоциативных колец и полей. Тела,
тело кватернионов. Делители нуля, нильпотентные элементы
кольца, радикал. Конечные кольца и поля. Расширения полей,
алгебраические расширения полей. Понятие о теории Галуа.
4.2. Перечень тем практических (семинарских занятий)
1. Системы линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений. Элементарные
преобразования систем. Метод Гаусса. Однородные системы.
2. Матричная алгебра. Вычисление определителей.
Операции над матрицами (сложение, умножение,
транспонирование); их свойства. Решение СЛАУ правилом
Крамара.
3. Линейные пространства
Примеры линейных пространств. Построение базиса.
Подпространства и прямые суммы. Фактор пространства.
Вычисление ранга матрицы. Вычисление скалярного
произведения. Построение ортонормированных базисов.
4. Линейные операторы
Линейные отображения. Вычисление матрицы линейного
оператора. Вычисление собственных чисел и собственных
векторов. Диагонализация линейного оператора. Приведение
к жордановой нормальной форме.
5. Билинейные и квадратичные формы
Приведение квадратичной формы к диагональному виду.
6. Аффинные пространства
Примеры аффинных пространств. Вычисление аффинных
координат. Определение взаимного расположения
подпространств. Построение гиперповерхности второго
порядка.
7. Алгебраические системы
Вычисления в алгебраческих системах. Подсистемы,
декартовы произведения и фактор системы. Морфизмы
алгебраических систем. Изоморфизмы. Моноиды, полугруппы.
Группы. Кольца, поля.
8. Комплексные числа
Вычисления в поле комплексных чисел. Операция сопряжения.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и
показательная формы записи. Комплексная экспонента.
Решение алгебраических уравнений над С.
9. Многочлены
Вычисления в кольце многочленов. Евклидовость кольца
многочленов. Разложение многочленов на неприводимые
множители. НОД и НОК многочленов. Формулы Виетта.
Симметрические многочлены.
10.
Группы
Примеры групп. Порядок группы и элемента группы.
Построение смежных классов по подгруппе. Вычисления в
группе подстановок, четность подстановки. Группы симметрий
правильных многоугольников и многогранников. Разложение
конечно-порождённых абелевых групп.
11.
Кольца, поля
Вычисления в кольцах вычетов. Тело кватернионов. Делители
нуля, нильпотентные элементы кольца, радикал. Конечные
кольца и поля. Расширения полей, алгебраические
расширения полей. .
4.3. Перечень тем лабораторных занятий
1. Решение систем линейных уравнений приближенными
методами.
2. Вычислительная линейная алгебра (обратная матрица,
собственные числа и собственные вектора)
3. Построение кривых и поверхностей второго порядка.
4. Вычисления в кольцах вычетов. Применение к кодированию
5. Вычисления в кольце многочленов.
6. Вычисления в классических группах.
4.4. Курсовые проекты
1. Решение систем линейных уравнений приближенными
методами.
2. Вычислительная линейная алгебра (обратная матрица,
собственные числа и собственные вектора)
3. Построение кривых и поверхностей второго порядка.
4. Вычисления в кольцах вычетов. Применение к кодированию
5. Вычисления в кольце многочленов.
6. Вычисления в классических группах.
4.5. Использование технических средств и
вычислительной техники.
Используются персональные компьютеры с программами
Maple и MatCard и малая вычислительная техника
5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Выдается домашнее задание по темам
Системы линейных уравнений.
Матричная алгебра.
Линейные пространства
Линейные операторы
Билинейные и квадратичные формы
Аффинные пространства
Алгебраические системы
Комплексные числа
Многочлены
10.
Группы
11.
Кольца, поля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Проверяется домашнее задание преподавателем ведущим
практическое занятие и выставляется оценка по двубальной
системе (зачет, если не менее 75% задания сделано, в
противном случае незачет)
6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М. И. Каргаполов, Ю. Н. Мерзляков. Основы теории групп. М.,
Наука, 1982
2. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М., Наука, 1977
3. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра. М., Из-во МГУ,
1980
4. Сборник задач по алгебре (под редакцией. А.И. Кострикина) М.,
Наука. 1987
5. Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., 2002 г.
Рабочую программу составил профессор кафедры высшей
математики ВлГУ
Н.И. Дубровин.
Рабочая программа составлена согласно ГОС специальности
010101 «Математика», утвержденному в 2000 году, применительно к
учебному плану специальности 010101, утвержденному ректором
ВлГУ в 2007 году
Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры
алгебры и геометрии 17 марта 2008 года (протокол № 8/03 ).
Зав. кафедрой ________________ Н.И. Дубровин
Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании учебнометодической комиссии специальности 010101 “Математика”
“_____”_______________ 200__ г., протокол № _______
Председатель учебно-методической комиссии ______________
Рабочая программа переутверждена
«__ »______ 200_ года
(№
протокола
________
от
на кафедре высшей математики
«__»
_________
200__года)
Зав. кафедрой АиГ______________
Рабочая программа переутверждена
«__ »______ 200_ года
(№
протокола
________
от
на кафедре высшей математики
«__»
_________
200__года)
Зав. кафедрой АиГ______________
Рабочая программа переутверждена
«__ »______ 200_ года
(№
протокола
________
от
Зав. кафедрой АиГ______________
на кафедре высшей математики
«__»
_________
200__года)