Алгебра и теория чисел

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Маслянкин В.И.
Для очной формы обучения
ВСЕГО
лекции
53
семинары
52
Всего аудиторных занятий
самостоятельная работа
200
105
95
Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной
образовательной программы:
Целые и комплексные числа; многочлены над произвольным полем вычисление
корней многочлена, алгебраические уравнения; определители; общая теория систем
линейных уравнений; действия над матрицами; квадратичные формы; дробнорациональные функции; основы теории групп; векторные пространства; линейные
отображения и операторы; евклидовы и унитарные пространства; алгебры.
Целью изучения дисциплины является формирование у студентов представления о:
терминологии и основных понятиях высшей алгебры; основных принципах и подходах к
решению систем линейных уравнений; матричных операциях; многомерных
пространствах и преобразованиях; билинейных и квадратичных формах; решении
типовых задач. Создание у студентов базы, необходимой для освоения дисциплин,
использующих алгебраические понятия (математический анализ, топология и геометрия,
программирование, физика, математическая экономика и т.п.)
Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: курс
математики в объёме средней школы;
В результате изучения дисциплины каждый студент должен:
- иметь представление о:
 системах счисления;
 алгебраических операциях, кольцах и полях.
- знать:
 терминологию и основные понятия высшей алгебры;
 методы решения задач высшей алгебры;
- уметь:
 вычислять значения элементарных функций комплексных переменных;
 находить корни кубических многочленов и рациональные корни рациональных
многочленов произвольной степени;
 разлагать рациональные дроби на простейшие;
 исследовать системы линейных уравнений и находить их решения;
 вычислять ранги матриц и определители n-го порядка;
 находить базис линейного пространства и осуществлять переход к новому
базису;
 находить собственные вектора и собственные значения линейных операторов;
 приводить квадратичные формы к каноническому виду.
Основные виды занятий: лекции и практические занятия.
Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы.
Основной вид рубежного контроля знаний: контрольные работы, зачет и экзамен.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Введение. Множества чисел
Множества целых, рациональных и вещественных чисел. Числовые кольца и поля.
Комплексные числа как пары действительных чисел. Точки плоскости. Алгебраическая
форма комплексного числа.
Тема 1. Комплексные числа
Операции над комплексными числами. Тригонометрическая форма комплексного
числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Формулы Эйлера. Формула Муавра.
Корни комплексного числа. Корни из единицы. Функции комплексного переменного.
Тема 2. Многочлены
Многочлены, операции над многочленами. Наибольший общий делитель. Взаимно
простые многочлены. Алгоритм Евклида. Корни многочленов. Теорема Безу. Метод
Горнера. Основная теорема алгебры. Формулы Виетта. Рациональные дроби. Корни
многочленов. Квадратное уравнение. Формулы Кардано. Рациональные корни
целочисленных многочленов. Кольцо многочленов.
Тема 3.Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений: совместные, несовместные, определенные,
неопределенные, однородные. Решение системы. Матрица. Вектор. Квадратная,
транспонированная, симметричная и кососимметричная, треугольная матрицы. Сложение
и умножение матриц. Метод Гаусса. Определители второго и третьего порядков. Правило
Крамера.
Тема 4. Определители n-го порядка
Перестановки и подстановки. Определители n-го порядка. Свойства определителей.
Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителей
по строке (столбцу). Определители кососимметричной матрицы, матрицы с нулевым
угловым минором, треугольной матрицы и определитель Вандермонда.
Тема 5. Вектора
Векторные пространства. Операции над векторами. Линейная зависимость векторов.
Теоремы о линейной зависимости векторов. Разложение векторов. Ранг системы векторов.
Ранг и коранг матрицы. Теорема о ранге, способы определения ранга. Присоединенная и
обратная матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.
Тема 6. Системы уравнений
Теорема Кронекера - Капелли. Решение систем линейных уравнений. Системы
однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Связь между решениями
однородной и неоднородной системами уравнений. Решение системы линейных
уравнений в общем виде.
Тема 7. Квадратичные формы
Квадратичные формы. Линейные преобразования квадратичных форм. Канонический
вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Ранг и
нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции. Положительно определенные
квадратичные формы. Условия Сильвестра. Распадающиеся квадратичные формы.
Тема 8. Линейные (аффинные) пространства
Линейные (аффинные) пространства. Размерность пространства. Изоморфизм
конечномерных линейных пространств. Связь между базисами. Преобразование
координат при смене базиса. Линейные преобразования неизвестных. Сложение и
умножение матриц.
Тема 9. Евклидовы пространства
Евклидовы пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Теорема Пифагора.
Изоморфизм евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы.
Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. Неравенство Коши – Буняковского.
Ортогонализация многочленов. Многочлены Лагранжа. Тригонометрические многочлены.
Построение ортонормированного базиса. Унитарные пространства.
Тема 10. Линейные операторы (преобразования)
Линейные операторы (преобразования). Обратное преобразование. Ядро и образ
преобразования. Инвариантные подпространства. Собственные значения и векторы.
Характеристический многочлен. Подобные матрицы. Сопряженное пространство.
Самосопряженные (эрмитовы) операторы.
Тема 11. Преобразования
Унитарные
преобразования.
Нормальные
преобразования.
Ортогональные
преобразования. Симметрические преобразования. Приведение квадратичной формы к
главным осям. Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
А.Г.Курош, Курс высшей алгебры, 17-е изд., СПб, Лань, 2008, 432 стр.
И.М.Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, 8-е изд, Издательство: Книжный дом
Университет (КДУ), 2009, 320 стр.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк, Линейная алгебра, Серия: Классический
университетский учебник, Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2005 г., 280 стр.
Д.К.Фаддеев, Лекции по алгебре: Учебное пособие. 5-е изд., СПб, Лань, 2007, 416
стр.
Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский, Задачи по высшей алгебре, 17-е изд., стер, СПб,
Лань, , 2008, 288 стр.
П.Б., Кикоть Линейная алгебра: Что надо знать. Как решать задачи. Типовой
расчет, Издательство: МГИУ, 2007, 172 стр.
Дополнительная:
1. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, Методы теории функций комплексного переменного,
СПб, Лань,, 2002, 749 стр.
2. И. М.Виноградов, Основы теории чисел:. 12-е изд., стер, СПб, Лань, 2009, 176 стр.
3. А.И.Кострикин, Ведение в алгебру. Часть I . Основы алгебры, ФИЗМАТЛИТ, 2009,
272 стр.
4. Кострикин А.И., Ведение в алгебру. Часть Часть II . Линейная алгебра,
ФИЗМАТЛИТ, 2009, 368 стр.
5. А.И.Мальцев, Основы линейной алгебры. 5-е изд., стер, СПб, Лань, 2009, 480 стр.
6. А.С.Крюковский, Д.В.Растягаев, Математика. Часть I, М., РосНОУ, 1997, 50 стр.
7. Г.С.Шевцов, Линейная алгебра 2-е изд., исп. и доп., М., Гардирики, 1999, 269 стр.
8. Г. С. Шевцов, Линейная алгебра: Теория и прикладные аспекты, Финансы и
статистика, 2003 г. 576 стр.
9. Э.Л.Балюкевич, Г.Я.Горбовцов и др., Линейная алгебра, М., МЭСИ, 1988., 112 стр.
10. Е.И.Компанцева, Линейная алгебра: Издательство: Феникс, 2008, 170 стр.
11. И. В Проскуряков., Сборник задач по линейной алгебре: 12-е изд., стер., СПб, Лань,
2008, 480с.
12. Д.В.Беклемищев, Л.А.Беклемишева, А.Ю.Петрович, И.В.Чубаров, Сборник задач
по аналитической геометрии и линейной алгебре: 2-е изд., перераб., ФИЗМАТЛИТ,
2008, 496 стр.
13. Крючков Н.И., Крючкова В.В., Сборник заданий по алгебре, Издательство:
Academia, 2007, 192 стр.