Перпендикулярные прямые в пространстве

Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве называют взаимно перпендикулярными, если
они пересекаются под прямым углом.
Если прямая а перпендикулярна прямой b, то пишут аb.
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
третьей, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и ac. Докажем, что
bc.
Возьмем точку О на прямой b и через нее проведем прямую с1,
параллельную прямой с.
Угол между прямыми b и c равен углу между пересекающимися прямыми
b и с1. Так как b║a и с║c1, то угол между прямыми b и с равен углу между
прямыми а и с, т.е. равен 90о. Отсюда следует, что bс.
Теорема доказана
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство. Пусть прямые а и b параллельны и прямая а
перпендикулярна плоскости α. Докажем, что прямая b также перпендикулярна
плоскости α. Рассмотрим произвольную прямую k в плоскости α.
Так как аα, то ak. Поскольку прямые а и b параллельны, то bk. Таким
образом, прямая b перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е.
bα.
Теорема доказана.
Теорема. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они
параллельны.
Доказательство. Пусть прямые а и b перпендикулярны плоскости α.
Докажем, что прямая а и b параллельны. Допустим, что прямая b не
параллельна прямой а.
Через произвольную точку О прямой b проведем прямую b1, параллельную
прямой а.
Прямая b1 перпендикулярна плоскости α. Если точки В и В1 – точки
пересечения прямых b и b1 с плоскостью α, то прямая ВВ1 перпендикулярна к
прямым b и b1, что невозможно.
Теорема доказана.