перпендикулярные прямые, а 1 и b 1

Ученицы 11 класса
Средней школы № 2
Еремеевой Екатерины
Перпендикулярность прямых в пространстве.
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
Построение перпендикулярных прямой и
плоскости.
 Свойства перпендикулярных прямой и
плоскости.
Две прямые называются перпендикулярными, если они
пересекаются под прямым углом.
Т е о р е м а 1. Если две пересекающиеся прямые
параллельны соответственно двум перпендикулярным
прямым, то они тоже перпендикулярны.
С
αа
А а
b
Bb
А
ВВ
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a и b –
перпендикулярные прямые, а1 и b1 –
параллельные им пересекающиеся
прямые. Докажем, что прямые а и b
перпендикулярны.
Если прямые a, b, а1, b1 лежат в одной
плоскости, то они обладают указанным
α1
а1
в теореме свойством, как это известно
С1 b1
из планиметрии.
B
А1
1
Рис.1
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной
плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α,
а прямые а1 и b1 – в некоторой плоскости α1 (рис.1). По теореме
I плоскости α и α1 параллельны. Пусть С – точка пересечения
прямых a и b, а С1 – точка пересечения прямых a1 и b1. Проведем
в плоскости параллельных прямых а и а1 прямую, параллельную
прямой СС1. Она пересечет прямые а и а1 в точках А и А1.
В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную
прямой СС1, и обозначим через B и B1, точки ее пересечения с
прямыми b и b1. Четырехугольники САА1С1 и СВВ1С1−
параллелограммы, так как у них противолежащие стороны
параллельны. Четырехугольник АВВ1А1 также параллелограмм.
У него стороны АА1, ВВ1 параллельны, потому что каждая из
них параллельна прямой СС1. Таким образом, четырехугольник
лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые
АА1 и ВВ1. А она пересекает параллельные плоскости а и а1 по
параллельным прямым АВ и A1B1.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны
равны, то АВ = А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1. По третьему признаку
равенства треугольников треугольники ABC и А1В1С1 равны.
Итак, угол A1C1B1, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а1 и b1
перпендикулярны. Теорема доказана.
Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в
пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение. Пусть а −
прямая и А − точка на ней
(рис. 2). Возьмем любую точку
X вне прямой а и проведем
через эту точку и прямую a
плоскость α (теорема II). В
плоскости α через точку А
можно провести прямую b,
перпендикулярную прямой а.
а
•X
А
b
Рис.2
а
Прямая, пересекающая
плоскость, называется
перпендикулярной этой плоскости,
если она перпендикулярна любой
прямой, которая лежит в данной
плоскости и проходит через точку
пересечения (рис. 3).
α
Рис.3
Т е о р е м а 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной
плоскости.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть а − прямая,
перпендикулярная прямым b и c в
плоскости α. Тогда прямая а
проходит через точку А
пересечения прямых b и с (рис. 4).
Докажем, что прямая а
перпендикулярна плоскости α.
Проведем произвольную
прямую х через точку А в
плоскости α и покажем, что она
перпендикулярна прямой а.
Проведем в плоскости α
произвольную прямую, не
проходящую через точку А и
пересекающую прямые b, с и х.
Пусть точками пересечения
будут В, С и X.
а
А1
α
А
С
с
b
Х
А2
Рис.4
B
х
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны
равные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2
равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по
условию теоремы и медианой по построению (АА1 = АА2). По
той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный.
Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по
третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников А1ВС и А2 ВС следует
равенство углов А1ВХ, А2ВХ и, следовательно, равенство
треугольников А1ВХ и А2ВХ по первому признаку равенства
треугольников. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих
треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2
равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также
высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По
определению прямая а перпендикулярна плоскости α. Теорема
доказана.
Задача(2). Докажите, что через данную точку прямой можно
провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.
Решение. Пусть а − данная
прямая и А − точка на ней (рис. 5)
в них через точку А прямые b и с,
перпендикулярные прямой а.
Плоскость α, проходящая через
эти прямые, перпендикулярна
прямой а по теореме 2.
Докажем, что эта
плоскость единственна.
Допустим, что, кроме плоскости
α, существует другая плоскость
α', проходящая через точку А и
перпендикулярная прямой а (рис.
6). Пусть В − точка плоскости α',
не лежащая в плоскости α.
а
А
с
b
α
Рис.5
Проведем через точку В и
прямую а плоскость. Она
пересечет плоскости α и α ' по
различным прямым b и b',
перпендикулярным прямой а. А
это, как мы знаем,
невозможно, так как на
плоскости через данную точку
прямой проходит только одна
перпендикулярная ей прямая.
Итак, плоскость, проходящая
через точку А и
перпендикулярная прямой а,
единственна.
а
А
B
b'
α'
b
α
Рис.6
Задача (3). Докажите, что через данную точку плоскости можно
провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.
Решение. Пусть а − данная
плоскость и А − точка на ней
(рис.7). Проведем в
плоскости α через точку А
две прямые b и с. Проведем
через точку А
перпендикулярные им
плоскости. Они пересекутся
по некоторой прямой а,
перпендикулярной прямым b
и с. Следовательно, прямая
а перпендикулярна
плоскости α.
а
А
α
b
с
Рис.7
Докажем, что эта прямая
единственна. Допустим, что,
кроме прямой а, существует
другая прямая а', проходящая
через точку А и перпендикулярная
плоскости α (рис. 8). Проведем
через прямые а и а' плоскость.
Она пересечет плоскость α по
некоторой прямой b,
перпендикулярной прямым а и а'. А
это, как мы знаем, невозможно.
Итак, прямая, проходящая через
данную точку плоскости и
перпендикулярная этой
плоскости, единственна.
а'
а
A
α
b
Рис.8
Т е о р е м а 3. Если плоскость перпендикулярна одной из
двух параллельных прямых, та она перпендикулярна и другой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а1 и а2 − две параллельные
прямые и α − плоскость, перпендикулярная прямой а1 (рис. 9).
Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2.
Проведем через точку А2 пересечения
прямой а2 с плоскостью α произвольную
a2
прямую х2 в плоскости α. Проведем в
плоскости α через точку А1
a1
пересечения прямой а1 с α прямую х1,
параллельную прямой х2. Так как прямая
а1 перпендикулярна плоскости α, то
прямые а1 и х1 перпендикулярны. А по
A2 X
2
теореме 1 параллельные им
A1 X1
b
пересекающиеся прямые а2 и x2 тоже
α
перпендикулярны. Таким образом,
прямая а2 перпендикулярна любой
Рис. 9
прямой х2 в плоскости α. А это значит,
что прямая а2 перпендикулярна
плоскости α. Теорема доказана.
Задача (4). Докажите, что через любую точку А можно
провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α.
Решение. Проведем в
плоскости α две пересекающиеся
прямые b и с (рис. 10). Через точку
их пересечения проведем плоскости
β и γ, перпендикулярные прямым b и
с соответственно. Они
пересекаются по некоторой прямой
а. Прямая а перпендикулярна
прямым b и с, значит, и плоскости α.
Проведем теперь через точку А
прямую d, параллельную а. По
теореме 3 она перпендикулярна
плоскости α.
a
β
‫ץ‬
A
α
b
c
Рис.10
Теорема 4. Две прямые, перпендикулярные одной и той
же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть а и
b − две прямые, перпендикулярные
плоскости α (рис. 11). Допустим,
что прямые а и b не параллельны.
Выберем на прямой b точку С,
не лежащую в плоскости α.
Проведем через точку С прямую
b',параллельную прямой а. Прямая b‘
перпендикулярна плоскости α
(теорема 3). Пусть В и В' − точки
пересечения прямых b и b' с
плоскостью а. Тогда прямая ВВ'
перпендикулярна пересекающимся
прямым b и b'. А это невозможно.
Мы пришли к противоречию.
Теорема доказана.
а
С
b
b'
В'
α
В
Рис.11