1 Физический смысл дробной производной Аннотация Известно, что большинство физических процессов описываются динамическими системами, в которых учитываются производные дробных порядков. Широкое применение дробных интегралов и производных сдерживается отсутствием их четкого физического истолкования, такого, например, как у обыкновенного интеграла и обыкновенной производной. В классической геометрии нет промежуточных объектов между точкой ( n 0 ) и отрезком прямой ( n 1), между отрезком прямой и квадратом ( n 2 ) и так далее. Целые показатели размерности бывают только у неподвижных пространств. Это предельный идеальный случай, который мы можем представить себе только теоретически, ведь реальное пространство – время без движения не существует. Зачастую дробные показатели размерности считают противоестественными. Такой взгляд стал возможным лишь из-за того, что показатели размерности в большинстве физических процессов мало отличаются от целых чисел ввиду малых скоростей движения реальных физических объектов. Дробные степени в показателях размерностей возникают также при описании фрактальных (разномасштабных, подобных целому) сред. В фрактальной среде, в отличие от сплошной среды, случайно блуждающая частица удаляется от места старта медленнее, так как не все направления движения становятся для нее доступными. Замедление диффузии в фрактальных средах настолько существенно, что физические величины начинают изменяться медленнее первой производной и учесть этот эффект можно только в интегрально – дифференциальном уравнении, содержащем производную по времени дробного порядка. В статье делается попытка дать наглядное геометрическое и простое физическое истолкование дробным производным. 1. Геометризация физики. Будем исходить из того, что пространство и время – это диалектические противоположности. Диалектическое единство пространства и времени образует материю. Чем больше в материи пространства, тем меньше в ней времени, и наоборот. Одномерная материя образована одномерным пространством и одномерным временем; двумерная материя образована двумерным пространством и двумерным временем и т. д. Эта важнейшая симметрия оставалась до сих пор незамеченной, главным образом из-за того, что многомерность времени никак не проявляется, если рассматриваются процессы, происходящие в пространстве одного какого-либо измерения. Многомерность времени проявляется при сравнении процессов, происходящих в пространствах различной размерности. Многомерность времени вытекает из закона сохранения материи, основанном на всем предшествующем опыте физики и утверждающем, что количество материи не изменяется при любых пространственно-временных преобразованиях. Никому еще не удалось дать определение понятиям «пространство» и «время», а вот дать определение понятию «материя» мы уже можем: материя – это физическая величина, равная произведению количества содержащегося в ней пространства на количество содержащегося в ней же времени: M n S n T n соnst (1.1) Примем за геометрическую модель не искривленного одномерного пространства прямую линию. В этом случае примером одномерного искривленного пространства 2 переменной кривизны может служить, например, гипербола. Важно, что такое пространство не может существовать вне бесконечного не искривленного пространства – плоскости. Поверхность шара – это уже модель двумерного равномерно искривленного замкнутого пространства, и такое пространство может существовать только в абсолютном ньютоновом трехмерном не искривленном пространстве. Выделим из трехмерного пространства x, y, z (рис.1) элементарное количество (квант) пространства S 3 x y z (рис.1,а), которому соответствует элементарное количество времени T 3 t x t y t z . Количество трехмерной материи в трехмерном кванте материи: M 3 S 3 T 3 Прибегнем к мысленному эксперименту. Начнем двигать S 3 вдоль оси x. При некоторой V <с (рис.1,в) размер x сократится, согласно специальной теории относительности в K СТО 1 V 2 / c 2 12 число раз. Размер t x , напротив, увеличится в такое же число раз: t x/ t x / K СТО . Количество трехмерной материи из-за сокращения коэффициентов K СТО в уравнении материи (1.1) не изменится и останется равным его количеству в неподвижном кванте материи: x y z t x t y t z x / y z t x/ t y t z M 3 V=C e, n=1 V<C, 0<n<1 z V<C V=C, n=0 f d, 1<n<2 g V<C Δz Δy V=C Δx y a, n=3 x b, 2<n<3 c, n=2 Рис.1 Геометрические модели многомерных пространств Пр1стр При V c (рис.1,с) элементарное трехмерное пространство превратится в двумерное. С позиций нестандартного анализа, полученное нами двумерное пространство имеет бесконечно малую, но постоянную толщину. При достижении V c в кванте трехмерного пространства совершается фазовый пространственно-временной переход, сущность которого состоит в том, что в полученном двумерном пространстве как бы срабатывает «запорное устройство» и последующее уменьшение скорости движения не 3 возвращает трехмерный квант в первоначальное состояние. Двумерная пленка остается двумерной пленкой. Явление имеет много общего с рассмотренным нами в § 1 явлением гравитационной неустойчивости среды. Пространственно-временные преобразования имеют наглядную аналогию в классической физике. Представим себе водяной пар с температурой выше 100 градусов. Молекулы пара могут как угодно перемещаться в пространстве и обладают максимально возможной степенью свободы. Начнем охлаждать пар. При температуре 100 градусов пар превратится в воду. Молекулы пара потеряют одну степень свободы, они не могут удаляться на любое расстояние друг от друга. Физики скажут, что в паре совершился фазовый переход первого рода. Продолжим охлаждение. При температуре ноль градусов вода превратится в лед. Молекулы воды займут строго определенное положение в кристаллической решетке и лишатся еще одной степени свободы. Физики опять скажут, что совершился фазовый переход первого рода, но на этот раз – в воде. Точно так же и с пространством совершаются пространственно-временные преобразования, только происходят они не при изменении температуры, а при достижении пространством скорости света, и «замораживаются» не степени свободы, а число измерений пространства. Ничтожная, с точки зрения неподвижного наблюдателя, толщина пленки двумерного пространства обеспечивает соблюдение закона сохранения материи и одинаковое протекание процессов в пространствах различного числа измерений. Несмотря на то, что коэффициенты K СТО в уравнениях материи сокращаются, мы не имеем права продолжать мысленный эксперимент. Во-первых, мы исчерпали все возможности одномерного времени, а во-вторых, мы достигли предельной скорости. Преобразования для системы K / , движущейся по оси x системы K в трехмерном пространстве со скоростью V, принимают вид: V t W x 2 x V t c ; y y/ ; z z/ ; t / (1.2) x/ 2 1/ 2 2 1/ 2 V V 1 W 2 1 W 2 c c Интересно, что формулы (3.2) были получены самим Лоренцем уже через 7 лет после создания Эйнштейном специальной теории относительности, однако, объяснить физический смысл коэффициента W он не смог. В настоящее время формулы (1.2) используются в так называемой расширенной специальной теории относительности. При W = 1 формулы (1.2) дают преобразования Лоренца и специальную теорию относительности. При W = 0 формулы (1.2) дают преобразования Галилея и механику Ньютона. Из (1.1) следует, что (1.3) dx dt 1 , Что позволяет нам завершить полную геометриацию физики: dn f m f nm (1.4) n dt m n mn (1.5) f dt f t dn f m f dx n f m mn dx n f (1.6) mn (1.7), x В формулах (1.4) … (1.7) f n и f m - физические величины, имеющие размерность n и m в абсолютной системе измерения физических величин. 4 2. Абсолютная система измерения физических величин. В основу построения абсолютной системы измерения физических величин положена формула (2.1), вытекающая из (1.1): 1 T (2.1) L Где L и T - единицы измерения времени и расстояния в системе СИ. В абсолютной системе измерения физических величин можно все величины выразить либо в метрах, либо в секундах. Например, чтобы выразить все величины в метрах, надо в формулу равномерного движения S V (2.2) t подставить размерности S ~ L1 , t ~ T 1 1 / L1 L1 . В результате получаем размерность скорости в абсолютной системе измерения физических величин: L1 V ~ 1 L2 L Подбирая физические формулы таким образом, чтобы в них входила лишь одна физическая величина неизвестной размерности, можно вычислить размерности всех физических величин в абсолютной системе единиц измерения. Так, например, размерность L1 имеют: длина, частота, угловая скорость, градиент скорости, объемный расход, электрический заряд, поток электрического смещения, напряженность магнитного поля, абсолютная магнитная проницаемость, температура, и т.д. Размерность L2 имеют: площадь, угловое ускорение, скорость, масса, удельный вес, динамическая вязкость, индуктивность, магнитная проводимость, и т.д. Размерность L3 имеют: объем, ускорение, объемная плотность энергии, давление, кинематическая вязкость, напряженность гравитационного поля, Коэффициент диффузии, электрическое сопротивление, удельная теплоемкость, газовая постоянная, и т.д. Размерность L4 имеют: импульс, поверхностное натяжение, плотность потока энергии, момент инерции, потенциал гравитационного поля, напряженность электрического поля, удельное электрическое сопротивление, магнитный поток, магнитный момент контура с током, удельное количество теплоты, и т.д. Размерность L5 имеют: сила, постоянная планка, момент импульса, действие, электрическое напряжение, теплопроводность, и т.д. Размерность L6 имеют: энергия, работа, момент силы, количество теплоты, и т.д. Размерность L7 имеет мощность. Размерность L0 имеет плоский и телесный угол. Анализ абсолютной системы измерения физических величин показывает, что механическая сила, постоянная Планка, электрическое напряжение и энтропия имеют одинаковую размерность: L5 . Это означает, что законы механики, квантовой механики, электродинамики и термодинамики – инвариантны. Например, второй закон Ньютона и закон Ома для участка электрической цепи имеют одинаковую формальную запись: (2.3) F m a ~ L5 L2 L3 5 2 3 (2.4) U I R~ L L L При больших скоростях движения во второй закон Ньютона (2.4) вводится переменный безразмерный множитель специальной теории относительности: K СТО V2 1 c2 1/ 2 5 Если такой же множитель ввести в закон Ома (2.4) , то получим: U (2.5) R K СТО I Согласно (2.5) закон Ома допускает появление сверхпроводимости, так как K СТО при низких температурах может принимать значение, близкое к нулю. Абсолютная система измерения играет в физике такую же роль, какую в химии играет периодическая система элементов Менделеева. Если бы в физике с самого начала применялась абсолютная система измерения физических величин, то явление сверхпроводимости наверняка было бы предсказано вначале теоретически, а уже потом обнаружено экспериментально, а не наоборот. Инвариантность физических законов объясняется тем, что размерности физических величин образуют математическую группу. Можно показать, что размерности образуют операционные множества, в которых действуют процедуры умножения, а также выполняются условия замкнутости, имеются тождественный и обратный элементы, и они обладают свойством ассоциативности, то есть выполняются четыре обязательные для групп аксиомы. Теория групп призвана найти все логические следствия из этих аксиом. Теория групп – это наведение порядка в математическом языке. Уравнения различных разделов физики могут принадлежать одной и той же группе, поэтому становится возможным вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу и распространить полученные законы на решение какойлибо частной задачи любого из разделов физики. Это экономит средства и открывает новые возможности физики. Физические элементы в группе обладают важным свойством, состоящим в том, что производная по времени от физической величины меньшей размерности является физической величиной большей размерности, а интеграл по времени от физической величины большей размерности есть физическая величина меньшей размерности. Например, в механике интеграл от мощности – это энергия, от энергии – сила, от силы – импульс, от импульса – ускорение, от ускорения – скорость, а от скорости – расстояние. В электродинамике производная от величины заряда – это электрический ток, от тока – электрическое сопротивление, от сопротивления – магнитный момент, от магнитного момента – электрическая сила, от силы – электрическая энергия, а от энергии – электрическая мощность. 3.Физический смысл дробной производной. Однако (1.2) – это формулы линейной динамики. В теории многомерных пространств мы будем применять нелинейную динамику, в которой релятивистский корень К СТО 1 W V 2 / c 2 пространств Г 3 / 2 КТМП n Г Z 1/ 2 заменяется коэффициентом теории многомерных (3.1) Где Г Z - гамма-функция , а линейная динамика (1.2) заменяется нелинейной динамикой с дробными производными: Г k 1 k n dn k x x (3.2) Г k n 1 dt n Гамма-функция распространяет свое действие на дробные, отрицательные и даже комплексные значения аргумента z (рис.3). 6 Г Z 4 3 2 Г 3 / 2 0,886 1 0 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 z 1.5 Рис.2 Гамма-функция действительного переменного Рассмотрим гамма-функцию для вещественного аргумента при z 0 (рис.3). Г Z / Г 3 / 2 x x0 / x n 5 4 Г Z Г 3 / 2 x0 x 1V 2 / c2 3 2 А n К ТМП x 0 =1 Г 3 / 2 Г Z КСТО = x0 / x 0 1 2 3 4 1 0,5 0,38 0 0,38 0,72 0,85 V z V /c V Рис.3 Физический смысл дробной производной Сначала строим функцию 7 Г Z (3.3) Г 3 / 2 В отличие от Г Z , график функции Г Z Г 3 / 2 несколько вытянут по оси ординат, а минимум его совмещен с прямой Г Z =1. Затем по формуле красного смещения z строим шкалу относительных скоростей 2 V 1 z 1 (3.4) c 1 z 2 1 Здесь мы просто придаем переменной z конкретный физический смысл: (3.5) z 0 называемый параметром красного смещения, и равный относительному увеличению длины волны принимаемого электромагнитного сигнала. Теперь строим функцию Г Z (3.3) Г 3 / 2 В отличие от Г Z , график функции Г Z Г 3 / 2 несколько вытянут по оси ординат, а минимум его совмещен с прямой Г Z =1. Строим на том же графике кривую x0 x (3.4) 1V 2 / c2 Сразу же заметим, что релятивистская формула с квадратным корнем – это формула линейной динамики. Кроме того, что она весьма приближенно описывает процесс сокращения линейных размеров микрочастиц, она содержит в знаменателе скорость света, что вызвало необоснованное запрещение сверхсветовых скоростей. Гамма функция выгодно отличается от релятивистского корня еще и тем, что она определена на всей числовой оси и даже на всей комплексной плоскости. При z 2,2 или, что то же самое, при V / c 0,53 ошибки от применения релятивистского корня не превышают 11%, но при V / c 0,91 релятивистская формула занижает фактическое сокращение размеров уже в 10 раз. Заметим, что формула дробной производной (3.2) есть всего лишь одна из формул полностью геометризированной физики (1.4) … (1.7), а именно – это формула (1.6), если под n понимать не только целые, но и дробные числа. Скорость в точке А (рис.3) может быть равна нулю или скорости света или вообще с n . Если V0 0 , то при движении вправо, будет производиться дифференцирование по расстоянию или интегрирование по времени. Размерность дифференцируемой функции будет плавно увеличиваться, а размерность интегрируемой функции – плавно уменьшаться и в точке и z размерности станут равны k 1 у интегрируемой и k 1 у дифференцируемой функции. dn f m f m1 (3.5) n dx m n m 1 (3.6) f dt f t 8 Если в точке А скорость V0 с , то при движении влево производится интегрирование по расстоянию или дифференцирование по времени. Скорость будет плавно увеличиваться до скорости света , а размерность интегрируемой функции в точке z 0 будет увеличиваться до k 1 и уменьшаться до k 1 у дифференцируемой функции. . f m dx n f m 1 (3.7) x dn f m f dt n m 1 (3.8) Заключение Геометрическая сущность дробной производной состоит в том, что дробная производная показывает, во сколько раз количественно уменьшается движущаяся физическая величина по сравнению с неподвижной. Например, при n Г 3 / 2 / Г Z 1 / 2 отрезок, движущийся со скоростью V / c 0,55 уменьшается в размерах в 2 раза. Что математически записывается как d 1/ 2 x x1 / 2 dx 1 / 2 Физический смысл дробной производной состоит в том, что дробная производная показывает, во сколько раз движущаяся физическая величина качественно отличается от неподвижной. Отрезок из предыдущего примера уже не отрезок, но еще не точка. Отрезком он был при n Г 3 / 2 Г Z 1 , а точкой он станет при n Г 3 / 2 / Г Z , то есть при V / c . !9.07.2012. В.И.Костицын