Лекция 1. Размерности физических величин и пи

Лекция 1. Размерности физических величин и
пи-теорема.
Как известно, значения физических величин зависят от выбора системы измерения
(например, значение длины в километрах не равно значению длины в метрах). Пусть
S1 , S2 — две системы измерения, a — физическая величина. Тогда каждому значению
a1 величины a в системе S1 соответствует значение a2 величины a в системе S2 ,
причем естественно потребовать, чтобы прямое и обратное соответствие были непрерывны.
На практике часто ограничиваются более узким классом систем измерения. А именно,
рассматриваются положительные величины и такие системы измерения, что переход
от одной системы к другой осуществляется линейно (например, измерение длины
в километрах, метрах или сантиметрах). Более точно это означает, что если a —
физическая величина, то для любых двух систем измерения S1 и S2 найдется λ =
λ1→2 (a) > 0 со следующим свойством: если a1 — значение a в системе S1 , a2 —
значение a в системе S2 , то a2 = λa1 (λ не зависит от a1 ).
Нам понадобится понятие размерности одних физических величин относительно
некоторого набора других. Приведем сначала примеры из школьной физики. Пусть
в системе измерения S1 расстояние L измеряется в метрах, время T — в секундах,
масса M — в граммах, а в системе S2 расстояние измеряется в километрах, время —
1
1
в минутах, масса — в килограммах. Тогда λ1→2 (L) = λ1→2 (M ) = 1000
, λ1→2 (T ) = 60
.
Скорость v в первой системе измеряется в м/с, в S2 — в км/мин; энергия E в S1
измеряется в г · м2 /с2 , во второй — в кг · км2 /мин2 . Если в первой системе скорость
60
равна 1 м/с, а энергия — 1 г · м2 /с2 , то во второй системе скорость равна 1000
км/мин,
2
60
2
2
а энергия — 1000·10002 кг · км /мин . Тем самым,
λ1→2 (L)
λ1→2 (M )λ1→2 (L)2
λ1→2 (v) =
, λ1→2 (E) =
.
λ1→2 (T )
λ1→2 (T )2
При этом говорят, что скорость и энергия имеют размерность относительно расстояния,
времени и массы вида
[L]
[M ] · [L]2
[v] =
, [E] =
[T ]
[T ]2
(это символическая запись, которая часто встречается в учебниках физики).
Дадим теперь формальное определение размерности.
Пусть p1 , . . . , pn — набор физических величин, называемых основными, f : (0, +∞) →
(0, ∞) — непрерывная функция. Скажем, что физическая величина a имеет размерность
вида
[a] = f ([p1 ], . . . , [pn ]),
(0.1)
если для любых двух систем измерения S1 и S2 (которые определяются основными
величинами) выполнено
λ = f (λ1 , . . . , λn ),
(0.2)
где λ = λ1→2 (a), λj = λ1→2 (pj ), j = 1, n. (Формула (0.1) — это обозначение, а не
действие функции f на набор чисел).
1
Теорема 1. Функция f может быть только степенным одночленом, т.е. найдутся
такие α1 , . . . , αn ∈ R, что
[a] = [p1 ]α1 . . . [pn ]αn .
Доказательство. Рассмотрим три системы измерения: 0, 1 и 2. Тогда λ0→2 (a) =
λ0→1 (a)λ1→2 (a), λ0→2 (pj ) = λ0→1 (pj )λ1→2 (pj ), j = 1, n. Из определения размерности
следует, что
f (λ0→1 (p1 )λ1→2 (p1 ), . . . , λ0→1 (pn )λ1→2 (pn )) = f (λ0→2 (p1 ), . . . , λ0→2 (pn )) =
= λ0→2 (a) = λ0→1 (a)λ1→2 (a) = f (λ0→1 (p1 ), . . . , λ0→1 (pn ))f (λ1→2 (p1 ), . . . , λ1→2 (pn )).
В силу произвольности выбора систем измерения, получаем, что для любых положительных
x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn выполнено
f (x1 y1 , . . . , xn yn ) = f (x1 , . . . , xn )f (y1 , . . . , yn ).
Положим
ϕ(s1 , . . . , sn ) = ln f (es1 , . . . , esn ), s1 , . . . , sn ∈ R.
Тогда
ϕ(s1 + t1 , . . . , sn + tn ) = ϕ(s1 , . . . , sn ) + ϕ(t1 , . . . , tn ), s1 , . . . , sn , t1 , . . . , tn ∈ R.
Отсюда и из непрерывности f следует, что функция ϕ линейна. В самом деле, нужно
показать, что для любого λ ∈ R выполнено ϕ(λs) = λϕ(s), s ∈ Rn . Из аддитивности
выводятся следующие утверждения:
1. ϕ(0) = 0,
2. ϕ(−s) = −ϕ(s),
3. ϕ(ms) = mϕ(s), m ∈ N,
4. ϕ(qs) = qϕ(s), q ∈ Q.
Отсюда и из непрерывности ϕ получаем, что ϕ(λs) = λϕ(s) для всех λ ∈ R.
Тем самым, найдутся такие α1 , . . . , αn ∈ R, что
ϕ(s1 , . . . , sn ) = α1 s1 + · · · + αn sn .
Значит,
f (x1 , . . . , xn ) = exp
à n
X
!
αj ln xj
= xα1 1 . . . xαnn .
j=1
Если [a] = 1, то величина a называется безразмерной.
Пусть физические величины a1 , . . . , an имеют размерность относительно основных
величин p1 , . . . , pm . По доказанной выше теореме,
[aj ] = [p1 ]βj1 . . . [pm ]βjm , j = 1, m.
Скажем, что размерности системы величин a1 , . . . , an зависимы (независимы), если
система векторов (βj1 , . . . , βjm ) ∈ Rm , j = 1, n, является линейно зависимой (соответственно
линейно независимой). Заметим, что если a1 , . . . , an независимы, то для любых положительных
2
c1 , . . . , cn найдется система измерения, в которой aj принимает значение cj , 1 6 j 6
n. В самом деле, прологарифмировав (0.2) для каждого aj , получаем, что
ln λ1→2 (aj ) =
m
X
βjk ln λ1→2 (pk ), 1 6 j 6 n.
k=1
В силу линейной независимости векторов (βj1 , . . . , βjm ), для любых µ1 , . . . , µn ∈ R
m
P
можно подобрать σ1 , . . . , σm ∈ R так, чтобы µj =
βjk σk , 1 6 j 6 n. Отсюда
k=1
следует утверждение.
Пи-теорема.
Пусть a1 , . . . , an , a — некоторые физические величины, имеющие размерность
относительно основных физических величин p1 , . . . , pm . Предположим, что значения
a и a1 , . . . , an связаны равенством
a = f (a1 , . . . , an ),
(0.3)
при этом функция f одна и та же для всех систем измерения. Оказывается, что это
соотношение эквивалентно некоторому равенству между безразмерными физическими
величинами, при этом их число меньше, чем в (0.3).
Теорема 2. Пусть a1 , . . . , ak — максимальная подсистема величин с независимыми
размерностями в a, a1 , . . . , an . Тогда найдутся безразмерные величины Π, Πk+1 , . . . , Πn
и функция F такие, что (0.3) эквивалентно равенству
Π = F (Πk+1 , . . . , Πn ) .
(0.4)
Доказательство. Так как a1 , . . . , ak — максимальная подсистема величин с независимыми
размерностями, то
[al ] = [a1 ]βl1 . . . [ak ]βlk , l = k + 1, . . . , n,
[a] = [a1 ]β1 . . . [ak ]βk
для некоторых βl1 , . . . , βlk , β1 , . . . , βk . Введем безразмерные величины
Πl =
al
aβ1 l1
. . . aβklk
, l = k + 1, . . . , n,
Π=
a
aβ1 1
. . . aβkk
.
Подставив эти выражения в (0.3), получаем
³
´
βk+1,1
βk+1,k
βn,k
βn,1
−β1
−βk
Π = a1 . . . ak f a1 , . . . , ak , a1
. . . ak
Πk+1 , . . . , a1 . . . ak Πn ,
т.е.
Π = F0 (a1 , . . . , ak , Πk+1 , . . . , Πn ).
При этом функция F0 одна и та же для всех систем измерения. Покажем, что F0 не
зависит от a1 , . . . , ak , и тогда получим (0.4). Зафиксируем значения Πk+1 , . . . , Πn и
положим
Π = F0 (1, . . . , 1, Πk+1 , . . . , Πn ).
Пусть c1 , . . . , ck — произвольный набор положительных чисел. Так как a1 , . . . , ak
независимы, то найдется такая система измерения, в которой значения aj равны cj .
Так как Π, Πk+1 , . . . , Πn являются безразмерными и F0 не зависит от выбора системы
измерения, то Π = F0 (c1 , . . . , ck , Πk+1 , . . . , Πn ). Значит, F0 (c1 , . . . , ck , Πk+1 , . . . , Πn ) =
F0 (1, . . . , 1, Πk+1 , . . . , Πn ).
3
Пи-теорему удобно применять для подбора формул. Сначала рассмотрим два
простых примера из механики. Пусть тело массы m совершает колебания на пружине
с коэффициентом жесткости k. Как известно, период его колебаний не зависит от
амплитуды x0 . Оказывается, это можно объяснить исходя из соображений размерности.
В самом деле, период колебаний однозначно определяется по m, k иqx0 , т.е. T =
k
f (m, k, x0 ). Величины m, k и x0 независимы, [k] = [m]/[T 2 ]. Значит, T m
является
q
k
безразмерной величиной. Применяя пи-теорему, получаем,что T m
= const.
Аналогично
показать, что для маятника длины l период колебаний имеет
q ¡ можно
¢
x0
l
вид T = g ϕ l (x0 — амплитуда) и не зависит от массы груза.
Соображения размерности бывает полезно применять и для подбора специальных
решений уравнений в частных производных.
Задача. Найти фундаментальное решение уравнения теплопроводности:
∂a
∂ 2a
= ν 2 , a|t=0 = δ(x).
∂t
∂x
(0.5)
Здесь t является временем, x — координатой.
Схема решения (пропущенные выкладки предлагается провести самостоятельно).
Чтобы левая и правая части уравнения имели одну и ту же размерность, нужно,
2
чтобы [ν] = [x]
. Из вида граничных условий можно понять, какую размерность
[t]
должна иметь величина a:1 взяв безразмерную величину ξ = x/L, где L — фиксированное
1
значение длины, получаем, что a|t=0 = δ(Lξ) = L1 δ(ξ), т.е. [a] = [L]
. Равенство
1
δ(Lξ) = L δ(ξ) получается следующим образом: для пробной функции ϕ имеем
Z
Z
Z
Z
1
1
1
1
ϕ(ξ)δ(Lξ) dξ =
ϕ(ξ)δ(Lξ) dLξ =
ϕ(x/L)δ(x) dx = ϕ(0) =
ϕ(ξ)δ(ξ) dξ.
L
L
L
L
R
R
R
R
Итак, нам нужно найти
¡ νt ¢ зависимость вида a = f (t, x, ν). Применяя пи-теорему,
получаем,
что
ax
=
F
. Для решения уравнения удобнее взять подстановку a =
x2
³ 2´
√1 ψ x
(чтобы вторая производная по x имела более простой вид). Подставляем
νt
νt
это в (0.5), обозначаем z =
x2
νt
и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
1
− ψ(z) − zψ 0 (z) = 4zψ 00 (z) + 2ψ 0 (z).
2
Одно из его решений имеет вид ψ(z) = Ce−z/4 , откуда a(t, x) =
C находится из граничного условия.
1
2
√C e−x /4νt .
νt
Константа
Эти рассуждения имеют физический уровень строгости, однако нам этого достаточно, чтобы
подобрать хотя бы одно решение уравнения.
4