ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 В.Н. Демидов Тема работы: Точечные и интервальные (доверительные) оценки параметров нормально распределенной случайной величины. Цель работы: Научиться определять точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии нормально распределенных случайных величин. Задание: Построить точечную и двустороннюю интервальную оценку для истинного значения измеряемой величины (при известной и неизвестной дисперсии); построить точечную и двустороннюю интервальную оценку для точности измерений (при известном и неизвестном значении измеряемой величины) по заданной совокупности результатов эксперимента x1 , x2 , , xn . Теоретическая часть Доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины. Допустим, что все n измерений x1 , x2 , , xn величины a взаимно независимы и произведены с одинаковой точностью (которая предполагается известной, например, по результатам предыдущих измерений), и ошибки измерений подчиняются стандартному нормальному распределению. Тогда случайный интервал , x uq x uq n n есть доверительная оценка величины a с мерой надежности 1 , т. е. P x u q a x uq 1 . n n 1 Здесь x n n x - точечная оценка измеряемой величины, u q - квантиль стандартного i i 1 нормального распределения уровня q 1 / 2 , определяемый из решения уравнения uq 1 / 2 , x t2 1 exp dt - функция стандартного нормального распределения, где x 2 2 - уровень значимости. Если точность измерений не известна, то сначала вычисляется оценка среднеквадратичной ошибки 1 s n 1 n x x 2 i , i 1 а затем строится доверительный интервал s s , x t q ,n1 x t q ,n1 , n n (1) где t q ,n 1 - квантиль уровня q 1 / 2 распределения Стьюдента с n 1 степенями свободы, определяемый как корень уравнения Fn1 t q ,n1 q 1 / 2 ; Fn1 x - функция распределения Стьюдента с n 1 степенями свободы. Если для оценки среднеквадратичной ошибки используется смещенная оценка дисперсии 1 S n n x x 2 i , i 1 то доверительный интервал (1) для параметра a записывается в виде S S , x t q ,n1 x t q ,n1 . n 1 n 1 Доверительный интервал для точности измерений. 2 Доверительные интервалы (при доверительной вероятности p 1 ) для дисперсии нормально распределенной случайной величины при известном и неизвестном значении величины a имеют соответственно вид: n 2 n 2 2 2 c R2 , p cL ,p и n 1s 2 d R2 , p 2 n 1s 2 , d L2, p где 1 2 n Квантили c уравнений: 2 L ,p ,c 2 R ,p n x a и d 2 i i 1 2 L ,p ,d 2 R ,p , 1 s n 1 2 n x x . 2 i i 1 распределения «хи-квадрат» находятся как корни , 2 2n1 d L2, p , 2 2n cL2 , p , 2 2n1 d R2 , p 1 2 2n cR2 , p 1 при n и n 1 степенях свободы соответственно. Важно помнить, что интервальные оценки не должны зависеть от самого оцениваемого параметра. Порядок выполнения задания 1. Присвойте переменной ORIGIN значение равное единице, а переменной n - указанное в задании число, равное количеству элементов эмпирической выборки. 2. Введите (с использованием функции READPRN(“путь к файлу”)) вектор выборочных значений. 2 2 3. Вычислите точечные оценки x , s и S . 4. Определите 95%-ные доверительные интервалы для Вычислите длины доверительных интервалов. a при известной и неизвестной дисперсии. 5. Определите 95%-ные доверительные интервалы для при известной и неизвестной величине a . Вычислите длины доверительных интервалов. 6. Повторите вычисления п.п.4 – 5 при ином значении доверительной вероятности, например, p 0.99 . 2 Сравните полученные результаты. 7. Разделите выборку на две части (взяв, например, первые n / 2 значений в качестве первой выборки, оставшиеся значения – в качестве второй выборки). Проделайте вычисления п.п.3 – 6 для каждой из двух выборок. Сравните результаты для частичных выборок и для полной выборки. 8. Сохраните рабочий документ.