Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод

Ребята, давайте остановимся на такой теме как система уравнений.
Определение. Если нужно найти пару чисел (x;y), таких что они
одновременно удовлетворяют рациональным уравнениям: p(x;y)=0 и
u(x;y)=0, то принято говорить, что они образуют систему уравнений:
Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу
двум нашим уравнениям.
Решить систему – это значит найти все ее решения, или убедиться,
что общих решений у исходных уравнений нет.
Решение обычно записывают в круглых скобках, и представляет
собой пару чисел. Например (2;5).
Для решения систем уравнений используют различные методы:
метод подстановки, метод сложения, замены переменой и графический
метод. Все способы решения мы с вами изучим позже.
Переменные в системе можно обозначать любыми буквами,
чаще всего обозначают латинскими буквами, но стоит помнить, что первой
записывают переменную, которая встречается раньше в алфавите.
Решим пару систем уравнений графическим методом:
Решение:
а) Построим два графика уравнений на одной координатной плоскости:
Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и
радиусом равным пяти.
Графиком второго уравнения будет прямая, проходящая через точки (0;5) и (-1;4).
Как мы видим, наши графики
пересекаются в двух точках:
(-5;0) и (0;-5), эти точки и будут
решениями системы уравнений.
Решить систему уравнений:
Решение.
Давайте так же построим два графика. Оба графика мы с вами прекрасно знаем.
Первый график – парабола, а второй гипербола.
Как видно, наши графики
пересекаются в точке (1;0), это и
будет ответом.
Графический метод не всегда является хорошим методом решения систем
уравнений, не всегда можно построить график уравнения и не всегда два
графика пересекаются в хороших точках, то есть решение может получится
дробным, тогда точность решения уже будет зависеть от масштаба.
Ребята, теперь давайте перейдем к теме неравенства и их системы.
Решением рационального неравенства u(x;y)>0 – называется пара
чисел (x;y), такая, что неравенство становится верным числовым
выражением.
Например, рассмотрим неравенство 2х+2y>0 при х=1 и y=1
наше неравенство верно.
Тогда пара чисел (1;1) – решение нашего неравенства. Но, наша пара чисел,
лишь только частное решение, а как, же найти общее решение?
Для решения неравенств с двумя переменными, оказалось, удобно
строить графики.
Давайте посмотрим как можно решить наше неравенство, с помощью
графика: 2х+2y>0
Графиком уравнения 2х+2y=0 – будет прямая проходящая через начало
координат и точку (-1;-1). Давайте построим наш график:
Приведем исходное неравенство к виду
y>-x, тогда, очевидно, решением
неравенства будет вся область находящаяся
выше нашей прямой.
.
После того, как построили график уравнения, для решения
неравенства требуется определить область выше или ниже нашего
графика, можно взять из каждой области некоторую точку и
проверить, верно, ли неравенство в данной точке, если верно, то
выбираем область, относящуюся к данной точке.
.
Пример. Решить неравенство:
Построим график функции
Нам остается выбрать область
выше или ниже графика.
Проверим точку (-1;-1) – точка ниже
нашего графика.
Тогда очевидно, что решением
будет область выше графика,
убедимся в этом, подставим точку
(1;4). 4>3 – на самом деле верное
числовое выражение.
.
Если требуется найти два числа x и y, которые
удовлетворяют сразу двум неравенствам, то говорят, что надо
решить систему неравенств с двумя переменными:
Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет
сразу двум нашим неравенствам.
.
Пример.
Решить систему неравенств:
Решение:
Давайте решим графическим методом, построим два графика
уравнений.
Построим график первого неравенства:
нам осталось выбрать область
выше или ниже прямой проходящей
через точки (0;-3) и (1;-1). Проверим
точку (2;2) которая выше нашей
прямой.
2>1 – значит, нам надо выбрать
область выше прямой.
.
Построим график второго неравенства:
–
осталось
выбрать
область выше или ниже
прямой проходящая через
Проверим точку (2;2): 2>-5, значит, точки (0;-1) и(1;-3).
следует выбрать область выше нашей
прямой.
Тогда решением неравенства,
будет область пересечения
решений:
.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Решить систему уравнений графическим методом:
а)
б)
2. Решить неравенство графическим методом:
3. Решить систему неравенств графическим методом: