Модуль 1Числа. Признаки делимости. Дроби. Арифметические

Числа. Признаки делимости. Дроби. Арифметические действия.
Проценты. Формулы сокращенного умножения. Пропорции.
МОДУЛЬ 1
ЧИСЛА.
Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте
предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...).
Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно
запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать,
что N ={1,2,3,....}
Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит
из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа
(противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа
обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, чтоZ={1,2,3,....}.
Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m — целое число,
а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская
буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. Также в качестве примеров
рациональных чисел можно привести:
,
,
.
Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для
измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел
обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя
рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это
числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с
рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление
логарифмов),
но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это
,
,
.
Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:
Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее
высказывание:
То есть множество натуральных чисел входит во множество целых чисел.
Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А множество
рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это
высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ.
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2,
то есть является чётной. Например, 12, 14, 10020, 900092 делятся на два.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так
как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке единицу). Например, 12,
123, 1992 – делятся на 3, так как сумма цифр в каждом числе делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр
делится на 4. Например, 116, 224, 99892 делятся на 4, так как числа из двух
последних цифр этих чисел также делятся на 4.
Чтобы узнать, делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц
прибавить к десяткам — если сумма делится на 2, значит, число делится на 4
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то
есть равна 0 или 5). Например, 15, 100, 1005 – делятся на 5.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Например, 81, 441, 12321 делятся на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные
места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее
на число, делящееся на 11. Например, 121, 1331, 3663, 1375 – у всех этих чисел
сумма чисел на четных местах равна сумме чисел на нечетных и поэтому они
делятся на 11.
ДРОБИ.
Обыкновенная дробь – это число вида , где
m и n – натуральные числа. Число m
называется числителем дроби, а число n – её
знаменателем.
Любое натуральное число m представимо в
виде обыкновенной дроби .
Дроби бывают сократимые и несократимые,
а также правильные и неправильные
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ. СОКРАТИМЫЕ И
НЕСОКРАТИМЫЕ ДРОБИ.
Две дроби
Например,
и
называются равными, если ad = bc.
, так как 1 · 4 = 2 · 2.
Из этого следует основное свойство дроби:
при натуральных числах a, b и m всегда верно
,
поскольку равенство a · b · m = b · a · m тождественно выполняется. То
есть, если числитель и знаменатель данной дроби умножить или
разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь,
равная данной.
Основное свойство дроби позволяет выполнить операцию
по сокращению дроби – замены дроби другой, равной ей дробью, с
меньшими числителем и знаменателем. Например:
.
Сокращение дроби можно выполнить тогда и только тогда, когда
числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами, т.е их
НОД (наибольший общий делитель) > 1.
Если же числитель и знаменатель данной дроби – взаимно простые
числа, то дробь сократить нельзя. Например,
дроби.
– несократимые
ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ.
Обыкновенная дробь
называется правильной, если её числитель
меньше её знаменателя, то есть m < n.
Обыкновенная дробь
называется неправильной, если её числитель
меньше её знаменателя, то есть m > n.
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы
натурального числа и правильной дроби. Это следует из того, что любое
натуральное число можно представить в виде c остатком означает
представить его в виде a = bq + r, где 0 ≤ r ≤ |b|, b > 0, a, b, q, r –
натуральные числа. Если разделить обе части равенства на b, то
получится
, т.е. неправильная дробь представима в виде
суммы натурального числа и правильной дроби.
Например,
или
.
ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ
ЗНАМЕНАТЕЛЮ
Для выполнения операций сравнения, сложения и вычитания дробей
необходимо привести эти дроби к общему знаменателю.
Путь даны две дроби
и
. Тогда общий знаменатель для них – это
такое число, на которое будет делиться на b и d – то есть общее кратное
их знаменателей. Чаще всего стараются в качестве общего знаменателя
дробей использовать наименьшее общее кратное их знаменателей – т.е.
НОК (b, d). Для того, чтобы получить из исходных дробей
и
новые
дроби с новым знаменателем НОК (b, d), нужно умножить числитель и
знаменатель каждой дроби на так называемые «дополнительный
множитель».
Для первой дроби – это число
число
, а для второй
.
В результате получатся новые дроби
и
. Причем b · m = d · n =
НОК (b,d). То есть дроби имеют один и тот же знаменатель.
Пример.
Нам требуется сравнить две дроби
и
. Приведем эти дроби к
общему знаменателю НОК(5,7) = 35. Для этого умножим числитель и
знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 7. А
числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель
5.
Тогда мы получим
и
.
Теперь эти дроби имеют общий знаменатель и можем сравнить
их:
.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ ДРОБЯМИ
Сложение дробей
Для того, чтобы сложить дроби с одинаковым знаменателем,
необходимо сложить их числители. Знаменатель при этом останется
прежним.
Если знаменатели дробей разные, то их нужно привести к общему
знаменателю, а затем сложить.
Вычитание дробей
Для того, чтобы вычесть из одной дроби другую с тем же знаменателем,
необходимо вычесть из числителя первой дроби числить второй.
Знаменатель при этом останется прежним.
Если знаменатели дробей разные, то их нужно привести к общему
знаменателю, а затем вычесть.
Умножение дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен
произведению числителей перемножаемых дробей, а знаменатель равен
произведению их знаменателей.
Деление дробей
Частное двух дробей равно дроби, в числителе которой произведение
числителя первой дроби и знаменателя второй, а в знаменателе
произведение знаменателя первой дроби и числителя второй.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. КОНЕЧНАЯ И
БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ.
Десятичная дробь – это способ записи действительного числа с
помощью десятеричной позиционной системы счисления. Десятичные
дроби бывают конечные и бесконечные.
Конечная десятичная дробь – это дробь, знаменатель которой равен 10n,
которая записывается с помощью десятеричной позиционной системы
счисления. Например:
,
,
Бесконечная дробь содержит бесконечное количество знаков. Любую
обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной
дроби. Это легко продемонстрировать при вычислении значения дроби в
десятеричной системе счисления путем деления «в столбик». Например:
или
Бесконечные десятичные дроби с повторяющимися группами цифрам
называются периодическими. Для целей сокращения повторяющаяся
группа цифр (период) записывается в скобках начиная с того места,
откуда начинается повторяющаяся последовательность.
и
Если период начинается сразу после запятой, как в нашем примере, то
дробь называется чисто периодической. Если же период не начинается
сразу после запятой, а ему предшествуют несколько цифр, то такая
десятичная дробь называется смешанной периодической. Например:
Как перевести бесконечную периодическую десятичную дробь в
обычную.
Примем за 𝑥 = 0,037037037 … = 0, (037)
Далее: 1000𝑥 = 370,037037037 … = 370, (037)
Умножать x надо на такое число, кратное 10, чтобы при вычитании
получилось целое число, то есть периодичность должна уйти:
1000𝑥 − 𝑥 = 370
999𝑥 = 370
370
1
𝑥=
=
999 27
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
𝑎±𝑏
𝑎±𝑏
3
2
= 𝑎2 ± 2𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏2
= 𝑎3 ± 3𝑎2 ∙ 𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑎 − 𝑏
𝑎3 ± 𝑏3 = 𝑎 ± 𝑏 ∙ 𝑎2 ∓ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏2
2
𝑎 ± 𝑏 = 𝑎2 + 𝑏 ± 2𝑎 𝑏
ПРОПОРЦИЯ.
Пропорция – это равенство отношений числовых величин.
Пусть даны четыре отличных от нуля числа a, b, c и d, причем a : b = c :
d.
Тогда соотношение a : b = c : d называют пропорцией. Числа a и d
называются крайними членами пропорции, а числа b и c – средними
членами.
Пропорцию можно записать и в следующем виде:
. Величина
k, которая характеризует соотношения, называется коэффициентом
пропорциональности.
Основное свойство пропорции заключается в том, что из равенства a : b
= c : d следует равенство a · d = b · c. Иначе говоря, произведение
крайних членов пропорции равно произведению средних членов
пропорции.
ПРОЦЕНТЫ.
Процент (от латинского pro centum – с сотни) — это одна сотая доля.
Процент обозначается знаком % и относится к какой либо целой вещи.
Количество процентов как правило обозначает величину какой-либо
доли, удельное содержание, пропорцию по отношению к основному
объекту.
Например, 5% от 100 мячей – это 5 мячей, 10% от 10 яблок – это 1
яблоко.
100% от 1 кг – это 1 кг.
Проценты всегда можно выразить в виде десятичной дроби. Если есть
запись вида «N%», то с математической точки зрения это эквивалентно
«умножить на 0,01·N»