Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Березовская средняя общеобразовательная школа «Геометрический смысл производной» Проект по алгебре Автор: Семяшкина Анна, учащаяся 10 «Б» класса. Руководитель: учитель Алгебры и геометрии Н.Н. Кочакова Берёзово 2013г. Цель: Задачи: Обобщить и систематизировать • Рассмотреть понятие знания по теме геометрического геометрический смысл смысла производной производной • Рассмотреть понятие геометрического смысла производной при решении конкретных задач • Собрать дидактический материал по данной теме Актуальность проекта • Тема «Геометрический смысл производной» встречается в ЕГЭ по алгебре (Часть В) • Работа над данным проектом поможет успешно справиться с заданиями такого типа. План работы • • • • Понятие производной; Геометрический смысл производной; Решение задач; Оформление памятки по решению заданий ЕГЭ. y x x x0 x x0 x y=f(x) В f(x) Приращение аргумента f f(x0) f f ( x) f ( x0 ) А f ( x) f ( x0 ) f Приращение функции x O x0 x f ( x0 x) f ( x0 ) f x x x Разностное отношение y l y=f(x) В f(x) f f А f(x0) O l – секущая - угол наклона x y= kx+b x x0 f tg k x x x – угловой коэффициент прямой Геометрический смысл производной состоит в том, что производная в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной в точке х0 и тангенсу угла наклона касательной. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения: x x x0 1 (3) 2 f f ( x) f ( x0 ) 6 2 4 Найдем значение производной: f 4 2 x 2 Ответ: 2 На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения: x x x0 5 0 5 f f ( x) f ( x0 ) 2 2 0 Найдем значение производной: f 0 0 x 5 Ответ: 0 Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке. Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки: Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума. Ответ:-3 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки. Перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем: Поскольку на интервале (− 1,5; 5,3) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала: −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Вывод • Я систематизировала и обобщила знания по теме «Геометрический смысл производной».