10.Комплексные числа

Комплексные числа
Комплексным числом называется
число вида
z  x  y  i,
где x и y – вещественные числа.
z  x  yi
называется алгебраической формой
записи комплексного числа.
Число x называется действительной частью,
y–мнимой частью комплексного числа z.
Это записывают следующим образом:
x  Rez,
y  Im z.
• Если x  0 , то число
чисто мнимым.
z называют
• Если y  0 , то получается z  x  0  i
вещественное число.
• Два комплексных числа z  x 
и z  x  yi
называются
сопряженными.
yi
Два комплексных числа
z2  x2  y2i
z1  x1  y1i
равны друг другу, если x1  x2 и y1  y2 ;
комплексное число z считается
равным нулю, если x=y=0.
и
Всякое комплексное число можно
изобразить точкой на плоскости, т.к.
каждому z соответствует
упорядоченная пара вещественных
чисел (x;y).
Модуль комплексного числа
Число x 2  y 2 называется модулем
комплексного числа z  x  yi и
обозначается z .
Тригонометрическая форма
комплексного числа.
z  rcos  i sin  
r x y
2
2
 y
  arctg  
x
Показательная форма
комплексного числа
z  r e
 i
r x y
2
2
 y
  arctg  
x
Действия над комплексными
числами
z1  z 2  x1  x2    y1  y2   i
z1  z2  x1  x2    y1  y2   i
Действия над комплексными
числами
z1 z 2  x1  iy1 x2  iy 2  
 x1 x2  iy1 x2  ix1 y2  i y1 y2 
2
 x1 x2  y1 y2   x1 y2  x2 y1 i
z  z   x  yi    x  yi  
x yi x y
2
2 2
2
2
Действия над комплексными
числами
z1 x1  y1i  x1  y1i  x2  y2i 



z2 x2  y2i  x2  y2i  x2  y2i 
x1 x2  y1 x2i  x1 y2i  y1 y2i


2
2
x2  y2
2

xx

1 2
 y1 y2    x2 y1  x1 y2 i
2
2
x2  y2
Действия над комплексными
числами
i1
z1  z2  r1  e r2  e
i2
 r1r2  e
i(1 2 )
z1 r1  e
r1 i  


e
i 
z 2 r2  e
r2
i 1
1
2
2

z1  z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2  
 r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
z1 r1 cos1  i  sin 1 


z 2 r2 cos 2  i  sin  2 
r1
 cos1   2   i  sin 1   2 
r2
Формулы Муавра
z  r  cos n  i sin n 
n
n
n
  2kπ 
   2kπ
z  r  cos
 i sin

n
n 

n
k  0, 1, 2,...,n  1