СОДЕРЖАНИЕ 1. КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 2. ФОРМУЛЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 3. КООРДИНАТЫ ВЕРШИН МНОГОГРАННИКОВ 4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ z D1(0;а;a) C1(а;a;a) А1 (0;0;a) B1 (a;0;a) y D (0;а;0) А a C (а;a;0) a x (0;0;0) a В (a;0;0) 3 Вспомним основные формулы Если известны координаты точек А и В: Аx А ; у А ; z A , BxB ; y B ; z B , то 1. Координаты вектора АВ: 2. Длина вектора АВ: АВx B x A ; y B y A ; z B z A АВ x B x A 2 y B y A 2 z B z A 2 3. Координаты середины отрезка АВ: М xМ ; у М ; z М хМ х А хВ у уВ z zВ ; уМ А ; zМ А 2 2 2 1. Формулы и методы решения. 1.1. Угол между прямыми. Вектор а ха ; уа ; z а лежит на прямой а, Вектор в хв ; ув ; z в лежит на прямой в. Косинус угла между прямыми а и в: cos x а xв у а у в z а z в х а у а z а хв у в z в 2 2 2 2 2 2 1.2. Угол между прямой и плоскостью. Прямая а образует с плоскостью угол 90 . Плоскость задана уравнением: ах+ву+сz+d=0 и nа; в; с - вектор нормали, Синус угла определяется по формуле: sin xа а у а в z а с ха у а z а а 2 в 2 с 2 2 2 2 1.3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость задана уравнением: а1 х в1 у с1 z d 0 и ее вектор нормали n а1 ; в1 ; с1 плоскость задана уравнением а2 х в2 у с2 z d 0 и ее вектор нормали n а 2 ; в 2 ; с 2 . Косинус угла между плоскостями: cos а1 а 2 в1 в 2 с1 с2 а1 в1 с1 а 2 в 2 с2 2 2 2 2 2 2 1.4. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние h от точки М xМ ; у М ; z М до плоскости , заданной уравнением ах+ву+сz+d=0 определяется по формуле: h а хМ в у М с z М d а2 в2 с2 1.5. Если отрезок АВ, концами которой служат точки Аx А ; у А ; z A , BxB ; y B ; z B разделен точкой Сx; у; z в отношении , то координаты точки С определяются по формулам: х х А х В у у В z z В ;у А ;z А 1 1 1 2. Координаты вершин многогранников 2.1. Координаты вершин единичного куба. А0;0;0 А1 0;0;1 В 1;0;0 , В1 1;0;1 D 0;1;0 D1 0;1;1 С 1;1;0 С1 1;1;1 2.2. Координаты вершин правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1. А0;0;0 А1 0;0;1 В 1;0;0 , В1 1;0;1 1 3 1 3 С ; ;0 С1 ; ;1 2 2 2 2 2.3. Координаты вершин правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1. 3 3 3 3 А0;0;0А1 0;0;1В1;0;0, В1 1;0;1С ; ;0 С1 ; ;1 2 2 2 2 1 3 1 3 D 1; 3;0 D1 1; 3;1 Е 0; 3;0 Е1 0; 3;1 F ; ;0 F1 ; ;1 2 2 2 2 2.4. Координаты вершин правильной треугольной пирамиды (тетраэдра), все ребра которой равны 1 А0;0;0 , В 1;0;0 , 1 С ; 2 1 D ; 2 3 ;0 2 3 2 ; 6 6 2.5. Координаты вершин правильной четырехугольной пирамиды , все ребра которой равны 1 А0;0;0 , В 1;0;0 , С 1;1;0 , D 0;1;0 1 1 2 S ; ; 2 2 2 2.6. Координаты вершин правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 3 3 А0;0;0, В1;0;0, С ; ;0 , D 1; 3;0 , 2 2 1 3 Е 0; 3;0 , F ; ;0 2 2 3. Примеры решения задач 3.1. В единичном кубе найти угол между прямыми АВ1 и ВС1 Введем систему координат и найдем координаты точек А, В, В1 , С1 z вспомним? Находим координаты направляющих векторов прямых АВ1 и ВС1 по формуле 1. y вспомним? АВ1 1;0;1, ВС1 0;1;0 х Косинус угла между прямыми АВ1 и ВС 1 определяется по формуле 1.1: cos 1 0 0 1 11 12 12 12 12 Ответ : 60 вспомним? 1 , 60 2 3.2. В правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью ВСС1 Введем систему координат и находим координаты нужных точек. вспомним? 1 2 z Найдем координаты вектора AF- ; 3 ;0 2 Плоскость ВСС1 совпадает с плоскостью грани ВВ1С1С ; зададим ее с помощью точек y 3 3 В1;0;0 , В1 1;0;1, С ; ;0 2 2 Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости ВСС1 В 1;0;0 ВСС1 а d 0 d -a х c0 B 1;0;1 ВСС1 a с d 0 1 a 3 3 3 3 b С ; ;0 ВСС1 а b d 0 3 2 2 2 2 Уравнение плоскости ВСС1 примет вид aх - а у а 0или 3х у 3 0 3 Вектор нормали : n 3;1;0 Синус искомого угла: sin 3 1 3 1 00 2 2 3 2 2 2 1 3 1 0 0 2 2 3 ; Ответ : 60 2 2 вспомним? 3.3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью SAD, где Е- середина ребра SC Координаты точки Е определим по формуле 3: z вспомним? 3 3 2 1 3 2 и ВЕ ; ; Е ; ; 4 4 4 4 4 4 Пусть уравнение плоскости ADS ax+by+cz+d=0 y Из того, что А 0;0;0 , D0;1;0 S 1 ; 1 ; 2 ADS вспомним? 2 2 2 х 1 1 2 d 0 следует, что d=0, b+d=0 и : а b c 2 2 2 Отсюда получим, что а 2с, b 0, d 0 и уравнение плоскости ADS примет вид: 2сх сz 0, или 2 х z 0 . Вектор нормали n 2 ;0;1 Синус угла между прямой ВЕ плоскостью ADS определим по формуле 1.2 sin 3 2 1 2 - 0 1 4 4 4 2 2 2 2 1 3 4 4 4 2 2 0 2 12 2 3 вспомним? Ответ : 2 3 3.4. В единичном кубе А… D1 найти расстояние от точки А до прямой ВD1 Находим координаты точек А0;0;0 В1;0;0 D1 0;1;1 , вектора ВD 1 1;1;1 Искомое расстояние есть длина перпендикуляра АК. Если отрезок ВD разделен точкой K(x;y;z) в отношении λ , то координаты точки К определяются по формуле 1.5: z Вспомним? y К х х 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ;у ;z K ; ; ; ; АК 1 1 1 1 1 1 1 1 1 т.к. АК ВD1 AK BD1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 0 K ; ; , AK ; ; 1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 AK 4 1 1 9 9 9 6 6 9 3 Ответ : 6 3 Вспомним? 3.5. В правильной шестиугольной призме А...F1 , все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости BFE1 z 1 3 Координаты точек А 0;0;0 В1;0;0 и Е1 0; 3;1 , F - ; ;0 2 2 Подставив координаты точек B, F и E в общее уравнение 1 плоскости получим систему уравнений: 3 1 В ВFE1 a b d 0 2 2 1 3 3 1 F ; ;0 ВFE1 a b d 0 2 2 2 2 х E 0; 3;1 BFE1 b 3 c 1 d 0 1 Откуда d -a, c -2a, b a 3 y Уравнение плоскости примет вид: ax 3ay 2az a 0, или x 3 y 2 z 1 0 Вектор нормали: n 1; 3;2 Вычислим расстояние h от точки А до плоскости BFE по формуле 1.4: h 1 0 3 0 2 0 1 12 3 2 2 2 1 2 4 Ответ : 2 4 1 8 ? 3.6. В единичном кубе А...D1, найти расстояние между прямыми АВ1 и ВС1 z При параллельном переносе на вектор ВА прямая ВС 1 отображается на прямую АD . Таким образом, плос1 кость AB D содержит прямую АВ и параллельна 1 1 1 прямой ВС . Расстояние между прямыми АВ1 и ВС1 находим как1расстояние от точки В до плоскости AB1D1 y х Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости AB D . 1 1 Так как А0;0;0 АВ1D1 d 0 B 1;0;1 AB1D1 a c 1 D 0;1;1 A1B1D1 b c 1 Уравнение плоскости запишется как –сx-сy+cz=0, или х+у+z=0.. Вектор нормали n1;1;1 Расстояние h от точки B1;0;0 до плоскости AB D находим по формуле 1.4 1 1 1 1 1 0 1 0 1 3 h 2 3 3 12 12 1 вспомним? Ответ : 3 3