метод координат в пространстве Калинина

Метод координат
Метод координат – это универсальный метод. Он
обеспечивает тесную связь между алгеброй и
геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые
плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь
разделенными.
В некоторых случаях метод координат дает
возможность строить доказательства и решать
многие задачи более рационально, красиво, чем
чисто геометрическими способами.
Основные понятия и формулы
и
Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его
концов считается началом, а какой концом
Координаты вектора ― коэффициенты единственно
возможной линейной комбинации базисных векторов в
выбранной системе координат, равной данному вектору. На
плоскости координаты вектора v относительно данного базиса
(a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор
имеет однозначно определенные координаты относительно
любого базиса.
Вектор нормали плоскости – это любой вектор,
перпендикулярный плоскости. Иногда его трудно увидеть или
построить. Для нахождения вектора нормали достаточно знать
координаты трех точек плоскости M,N,P, не лежащих на одной прямой.
В этом случае находим координаты двух векторов плоскости
Основные формулы:
А) Расстояние между точками
Г) Угол между прямой и плоскостью
Б) Угол между прямыми
В) Угол между плоскостями
Д) Уравнение плоскости
Ах + Ву + Сz + D=0
Ввод системы координат для различных фигур с
ребром, равным единице
Шестиугольная правильная
призма с ребром равным единице
F1
D1
E1
А1
С1
B1
E
D
F
А
B
С
E1 (0;0;1)
D1 (0;1;1)
3 1
F1 ( ; ;1)
2 2
3 3
С1 ( ; ;1)
2 2
А1 ( 3;0;1)
B1 ( 3;1;1)
E (0;0;0)
D(0;1;0)
3 1
F ( ; ;0)
2 2
3 3
С ( ; ;0)
2 2
А( 3;0;0)
B ( 3;1;0)
Правильная четырехугольная пирамида
z
1 1 2
S( ; ;
)
2 2 2
Треугольная правильная призма
D (0;0;0)
С (0;1;0)
z С (0;0;1)
1
y
x
А(1;0;0)
В(1;1;0)
1 3
B1 ( ; ;1)
2 2
А1 (1;0;1)
С (0;0;0)
y
x
А(1;0;0)
1 3
B( ; ;0)
2 2
Решение задач.
Задача №1
В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены
прямые AC и BD1. Найдите координаты
направляющих векторов этих прямых.
Решение. Поскольку длина ребер куба в условии
не указана, положим AB = 1. Введем систему координат
с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль
прямых AB, AD и AA1 соответственно. Единичный
отрезок равен AB = 1.
Теперь найдем координаты направляющего вектора для
прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0)
и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора
AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть
направляющий вектор.
Теперь разберемся с прямой BD1. На ней также есть две
точки: B = (1; 0; 0) и D1 = (0; 1; 1). Получаем
направляющий вектор BD1 = (0 − 1; 1 − 0;
1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Ответ:
AC = (1; 1; 0);
BD1 = (− 1; 1; 1)
Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1,
сторона основания 4, боковое ребро 12. Найти угол между AB1
и плоскостью BDD1
Задача 2
B1 (0;0;12)
AB1 ^ BDD1 = (4;4;12) = AB1^ n
C1
n = OC
A1
D1
B (0;0;0)
12
4
4
4
А
OC
-2;-2;0
(-4) *(-2)+0*2+12*0
cos α =
(√ (-4)2 +02+122) * √ (-2)2 + 22+02 )
D(4;4;0)
C
8
√5
O
4
-4;0;12
C(0;4;0)
n
O(2;2;0)
А(4;0;0)
AB1
D
10
4 √10 * 2 √2
Ответ: α = arccos
1
√5 * √ 2 * √ 2
√5
10
1
2 √5
Домашнее задание
№1 В правильной шестиугольной призме
A…F1 все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BD1
№2 В единичном кубе А…D1 найдите
расстояние от точки А до плоскости ВDA1