Босова_Якутск_3 - Методобъединение учителей информатики

Математические основы
школьной информатики
Босова Людмила Леонидовна
akulll@mail.ru
Фундаментальное ядро содержания
общего образования
Информатика – это научная дисциплина о
закономерностях протекания информационных
процессов в различных средах, а также о
методах и средствах их автоматизации.
Особого внимания заслуживают
междисциплинарные связи математики и
информатики. Это ни в коей мере не
конкурирующие дисциплины.
При этом информатика – это не часть
математики, хотя ряд понятий может быть
одновременно отнесён к компетенции обеих
дисциплин. Более продуктивно рассматривать
математику и информатику как дисциплины, в
определённой мере дополняющие друг друга.
Фундаментальное ядро.
Математические понятия
Преобразование информации по формальным правилам.
Алгоритмы. Способы записи алгоритмов; блок-схемы.
Логические значения, операции, выражения.
Алгоритмические конструкции (имена, ветвления, циклы).
Разбиение задачи на подзадачи. Вспомогательные алгоритмы.
Обрабатываемые объекты: цепочки символов, числа, списки,
деревья, графы.
Алгоритмы: Евклида, перевода из десятичной системы счисления и
обратно, примеры алгоритмов сортировки, перебора (построения
выигрышной стратегии в дереве игры).
Вычислимые функции, формализация понятия вычислимой
функции, полнота формализации. Сложность вычисления и сложность
информационного объекта. Несуществование алгоритмов, проблема
перебора.
Математика и информатика. 5-6
классы
Математические основы
информатики. 5 класс
Линия алгоритмизации
• Кодирование информации. Метод координат
• Преобразование информации по заданным
правилам
• Преобразование информации путём
рассуждений
• Разработка плана действий и его запись
• Планируем работу в графическом редакторе
• Создаём анимацию
• Выполняем вычисления с помощью
программы Калькулятор
Преобразование информации
путём рассуждений
Руслан
Никита
Саша
Рассуждаем
У Ани флешка синяя, у Маши - не синяя,
у Вари – не белая.
Аня
Маша
Варя
Предположим, что верно сказано о цвете флешки Ани: «У Ани
флешка синяя». Тогда верно сказано и о цвете флешки Маши – «не
синяя». Это противоречит условию.
Рассуждаем
У Ани флешка синяя, у Маши - не синяя,
у Вари – не белая.
Аня
Маша
Варя
Предположим, что верно сказано о цвете флешки Маши – «не
синяя»; следовательно, у неё может быть красная или белая флешка.
Так как высказывание о цвете флешки Вари («не белая») ошибочно,
то у неё должна быть именно белая флешка. Тогда у Маши должна
быть красная флешка. В этом случае Ане достаётся синяя флешка, что
противоречит условию.
Рассуждаем
У Ани флешка синяя, у Маши - не синяя,
у Вари – не белая.
Аня
Маша
Варя
Предположим, что верно высказывание о цвете флешки Вари – «не
белая». Тогда должно быть верно и то, что у Маши синяя флешка, а у
Ани не синяя.
Следовательно, у Маши синяя флешка, у Вари – красная, а у Ани –
белая.
Планируем работу в
графическом редакторе
Калькулятор
Математические основы
информатики. 6 класс
Информационное моделирование
•
•
•
•
Круги Эйлера. Схемы состава
Математические модели
Табличные модели
Графики и диаграммы
Линия алгоритмизации
•
•
•
•
•
Что такое алгоритм
Исполнители вокруг нас
Формы записи алгоритмов
Тиры алгоритмов
Управление исполнителем Чертёжник
В детском саду 52 ребёнка. Каждый из них любит
конфеты или мороженое. Половина детей любит
конфеты, а 20 человек – конфеты и мороженое.
Сколько детей любит мороженое?
Сколько детей любит только мороженое?
26, любят К
20, любят К и М
?, любят М
?, любят только К
?, любят только М
52
Схема состава
На одном из сеансов в кинотеатре присутствовали
только ученики (мальчики и девочки) из 5-х и 6-х
классов. Некоторые из них взяли с собой попкорн,
другие - лимонад. Среди зрителей не было ни девочек
из 6-го класса, ни девочек с лимонадом из 5-го класса.
Пятиклассников было 25, а шестиклассников - 17.
Мальчиков было 32. Зрителей с попкорном было 28.
Пятиклассников с лимонадом было на 2 больше, чем
шестиклассников с лимонадом.
Сколько мальчиков из 6 класса
запаслись
попкорном?
Зрители
Пятиклассники
Девочки
Шестиклассники
Мальчики
Девочки
Мальчики
С лимонадом
С лимонадом
С лимонадом
С лимонадом
С попкорном
С попкорном
С попкорном
С попкорном
Согласно условию задачи не было
ни девочек из 6-го класса, ни девочек с лимонадом из 5-го класса:
Зрители
Пятиклассники
Девочки
С попкорном
Шестиклассники
Мальчики
С лимонадом
Мальчики
С лимонадом
С попкорном
С попкорном
19
Так как девочек из 6 класса не было, то все
шестиклассники были мальчиками и их было 17:
Зрители
Шестиклассники,
17
Пятиклассники
Девочки
С попкорном
Мальчики
С лимонадом
С попкорном
Мальчики, 17
С лимонадом
С попкорном
Так как мальчиков было 32, то среди них было 15 пятиклассников
(32-17). Всего пятиклассников было 25, значит, девочекпятиклассниц было 10, причём все они были с попкорном.
Зрители
Пятиклассники,
25
Девочки, 10
С попкорном, 10
Шестиклассники,
17
Мальчики, 15
С лимонадом
С попкорном
Мальчики, 17
С лимонадом
С попкорном
Если зрителей с попкорном 28, то с лимонадом – 14. А так
пятиклассников с лимонадом было на 2 больше, чем шестиклассников с
лимонадом то из уравнения х+х+2=14 получаем, что пятиклассников с
лимонадом - 8, а шестиклассников с лимонадом - 6.
Зрители, 42
Пятиклассники,
25
Девочки, 10
С попкорном, 10
Шестиклассники,
17
Мальчики, 15
С лимонадом, 8
Мальчики, 17
С лимонадом, 6
С попкорном, 11
С попкорном, 7
Ответ: Мальчиков-шестиклассников с попкорном было 11.
Графы
В классе 4 одноместные парты. Сколькими
способами можно рассадить на них двух
вновь прибывших школьников? Изобразите
соответствующий граф.
Графы
Миша запланировал купить: карандаш,
линейку, блокнот и тетрадь. Сегодня он
купил только два разных предмета. Что мог
купить Миша, если считать, что в магазине
были все нужные ему учебные принадлежности. Изобразите соответствующий
граф.
Исполнители
http://www.niisi.ru/kumir/
Математические основы
информатики. 7 класс
• Двоичное кодирование
• Измерение информации
• Оценка количественных параметров
информационных объектов и процессов:
– объём памяти, необходимый для хранения
информации;
– время передачи информации;
– информационный объём графических файлов;
– информационный объём текстовых файлов;
– информационный объём звуковых файлов.
Работа со степенями двойки
• Ученики 7–9 классов не достаточно уверенно
? работают со степенями двойки, а
соответствующий навык крайне важен для
решения задач, связанных с оценкой
количественных параметров информационных
объектов и процессов.
• Если на уровне школы согласовать действия
! учителей математики и информатики, то
теоретически изученная в курсе математики
тема «Степень с натуральным показателем и её
свойства» может быть успешно закреплена при
решении практических задач уже на уроках
информатики.
Решения типовых задач
Подробно рассмотрены примеры решений
типовых задач по каждой изучаемой теме.
Аналогичные задачи предлагаются в рубрике
«Вопросы и задания» для самостоятельного
решения
!
Работа со степенями двойки – слабое место.
Математические основы
информатики. 8 класс
§1.1. Системы счисления
Общие сведения о системах счисления
Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления
Правило перевода целых десятичных чисел в систему
счисления с основанием q
Двоичная арифметика
«Компьютерные» системы счисления
Математические основы
информатики. 8 класс
§1.2. Представление информации в компьютере
Представление целых чисел
Представление вещественных чисел
§1.3. Элементы алгебры логики
Высказывание
Логические операции
Построение таблиц истинности для логических выражений
Свойства логических операций
Решение логических задач
Логические элементы
Математические основы
информатики. 8 класс
Математические основы
информатики. 8 класс
В какой системе счисления десятичное число
37110 выглядит как 173?
Пусть основание искомой системы х.
Тогда:
173х=1·х2+7·х+3
х2+7·х+3=371
х2+7·х-368=0
Х=16
?
Математические основы
информатики. 8 класс
Сколько единиц в двоичной записи числа
4324+32234-1?
?
Преобразуем исходное выражение:
4324+32234-1=22·324+25·234-1=
= 2648+21170-1=
=10…0+10…0-1=
648 нулей
1170 нулей
=10…010..0-1=
648 нулей
=10..001…1
648 единиц
Ответ: Всего
649 единиц
Математические основы
информатики. 8 класс
Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот
решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини
высказали следующие утверждения: Афродита: «Я самая
прекрасная». Афина: «Афродита не самая прекрасная». Гера: «Я
самая прекрасная». Афродита: «Гера не самая прекрасная». Афина:
«Я самая прекрасная». Парис предположил, что все утверждения
прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других
богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из
богинь?
?
Математические основы
информатики. 8 класс
Произведение истинных слагаемых истинно:
(ДМ + БХ )(АМ + ВБ)(ВТ + БМ)(ВБ + ГЧ)(ГЧ + АТ)= 1.
Будем последовательно раскрывать скобки:
(ДМАМ + БХ АМ + ДМ ВБ+ БХ ВБ) (ВТ + БМ)(ВБ + ГЧ)(ГЧ + АТ)=1.
Сомножитель ДМАМ=0, так как не могут быть одновременно истинными
высказывания «Дима Мишин» и «Антон Мишин».
(БХ АМ + ДМ ВБ+ БХ ВБ) (ВТ + БМ)(ВБ + ГЧ)(ГЧ + АТ)= БХ АМВТ(ВБ +
+ГЧ)(ГЧ + АТ)= БХ АМВТ ГЧ(ГЧ + АТ)= БХ АМВТ ГЧ.
Так как дизъюнкция
истинного
и ложного
высказывания
истинна, а каждый
из друзей
Ответ:
Борис
— Хохлов,
Вадим
— Тихонов,
Гриша
—
один раз сказал правду, то можно записать:
Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.
ДМ + БХ = 1; АМ + ВБ = 1; ВТ + БМ = 1; ВБ + ГЧ = 1; ГЧ + АТ. = 1.
Математические основы
информатики. 9 класс.
Моделирование и формализация
§2.1 Моделирование как метод познания
Модели и моделирование
Этапы построения информационной модели
Классификация информационных моделей
§2.2 Знаковые модели
Словесные модели
Математические модели
Компьютерные математические модели
§2.3 Графические модели
Многообразие графических информационных моделей
Графы
Деревья
Использование графов при решении задач
Математические основы информатики.
9 класс. Основы алгоритмизации
§3.1. Алгоритмы и исполнители
Понятие алгоритма
Исполнитель алгоритма
Свойства алгоритма
Возможность автоматизации деятельности человека
§3.2. Способы записи алгоритмов
Словесные способы записи алгоритма
Блок-схемы
Алгоритмические языки
Математические основы информатики.
9 класс. Основы алгоритмизации
§3.3. Объекты алгоритмов
Величины
Выражения
Команда присваивания
Табличные величины (массивы)
§3.4. Основные алгоритмические конструкции
Следование
Ветвление
Повторение
Математические основы информатики. 9
класс. Основы алгоритмизации
§3.5. Конструирование алгоритмов
Последовательное построение алгоритма
Разработка алгоритма методом последовательного
уточнения для исполнителя Робот
Вспомогательные алгоритмы
§3.6. Алгоритмы управления
Управление
Обратная связь
Математические основы информатики.
9 класс. Основы алгоритмизации
Алгоритмизация и
программирование
• Трудности при подборе задач по темам, связанным с
! алгоритмизацией и программированием.
• Как правило, ученикам 8–9 классов предлагаются
? задачи с математическим содержанием, которое ими
успешно забыто, так как пройдено в 6 классе
(деление с остатком, делители и кратные, признаки
делимости) или ещё только будет изучаться в курсе
геометрии 9 класса.
Алгоритмизация и
программирование
!
Необходимо учитывать, что подход к
определению тех или иных свойств одних
и тех же объектов на уроках математики и
информатики различен (например, при
рассмотрении признаков делимости).
Обратить на это внимание обучающихся –
задача учителя информатики.
Зона ответственности информатики
Московская городская олимпиада, 9-11 кл.
(2*R+2*d)+2*R+2*R+…
Важно
Одна из основных задач информатики состоит в том,
чтобы:
• проанализировать условие задачи, выделить
существенные признаки рассматриваемого объекта
(здесь основную роль играет познавательный
блок УУД);
• построить информационную модель (здесь важно
наличие предметных знаний из той области, к
которой относится данная задача);
• решить с её помощью поставленную задачу
(собственно, именно здесь требуются предметные
знания и умения по информатике, например, по
программированию).
Задача В9
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е,
Ж, И, К,Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном
направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город Л?
1
1+3=4
4
1+3+4=8
3
1
1+8+4=13
1
1
Задача В11
В терминологии сетей TCP/IP маской сети называется двоичное
число, определяющее, какая часть IP-адреса узла сети относится к
адресу сети, а какая — к адресу самого узла в этой сети. Обычно
маска записывается по тем же правилам, что и IP-адрес. Адрес сети
получается в результате применения поразрядной конъюнкции к
заданному IP-адресу узла и маске. По заданным IP-адресу узла и
маске определите адрес сети.
IP – адрес узла: 217.19.128.131
Маска: 255.255.192.0
При записи ответа выберите из приведенных в таблице чисел четыре
элемента IP-адреса и запишите в нужном порядке соответствующие
им буквы, без использования точек.
A
0
B
16
C
19
D
64
E
128
F
131
G
192
H
217
Задача В11
Адрес сети получается в результате применения поразрядной
конъюнкции к заданному IP-адресу узла и маске. По заданным IPадресу узла и маске определите адрес сети.
IP – адрес узла: 217.19.128.131
Маска: 255.255.192.0
255  11111111, 0  00000000
217.19.128.0
128 10000000
192 1???????
Ответ: HCEA
A
0
B
16
C
19
D
64
E
128
F
131
G
192
H
217
Задача В12
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической
операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции
«И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество
найденных
по ним страниц некоторого Найдено
сегментастраниц
сети Интернет.
Запрос
Фрегат &(Линкор | Эсминец)
Фрегат & Линкор
Фрегат & Линкор & Эсминец
(в тысячах)
275
123
2100
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Фрегат &Эсминец?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно,
так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за
время выполнения запросов.
Решение В12
Запрос
Фрегат &(Линкор | Эсминец)
Фрегат & Линкор
Фрегат & Линкор & Эсминец
Фрегат &Эсминец
Найдено страниц (в тысячах)
275
123
41
?
Эсминец
Линкор
IV
II
I
III
III + V + VII = 275
VII + III = 123
III = 41
V = 275 – 123 = 152
III + V = 152+41 = 193
V
VII
Ответ: 193
VI
Фрегат
Задача В13
У исполнителя Удвоитель
две команды, которым
присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. умножь на 2.
Первая из них увеличивает
на 1 число на экране, вторая
удваивает его. Программа
для Удвоителя – это
последовательность команд.
Сколько есть программ,
которые число 3
преобразуют в число 23?
Ответ: 22
4–1
5–1
6–2
7–2
8–3
9–3
10 – 4
11 – 4
12 – 6
13 – 6
14 – 8
15 – 8
16 – 11
17 – 11
18 – 14
19 – 14
20 – 18
21 – 18
22 – 22
23 - 22
Задача В15
Сколько существует различных наборов значений логических
переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, которые удовлетворяют
всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) /\ (x2 → x3) /\ (x3 → x4) = 1
(¬y1 \/ y2) /\ (¬y2 \/ y3) /\ (¬y3 \/ y4) = 1
(y1 → x1) /\ (y2 → x2) /\ (y3 → x3) /\ (y4 → x4) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений
переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, при которых выполнена
данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решение В15
Решение: (x1→x2)(x2→x3)(x3→x4)=1
Каждая импликация должна быть равна 1:
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
х1
х2
х3
y1
y2
y3
y4
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
х4
Преобразуем второе уравнение:
(¬y1\/y2)(¬y2\/y3)(¬y3\/y4)=(y1→y2)(y2→y3)(y3→y4)=1.
Рассуждая аналогично, получаем 5 наборов решений 2-го
уравнения.
Решение В15
Анализируем 3-е уравнение:
(y1 → x1) /\ (y2 → x2) /\ (y3 → x3) /\ (y4 → x4) = 1
y1 y2 y3 y4 Наборы решений 1-го уравнения, не превращающие 3
уравнение в 0
1 1 1 1 1111 – 1 набор
0
1
1
1
1111, 0111 – 2 набора
0
0
1
1
1111, 0111, 0011 – 3 набора
0
0
0
1
1111, 0111, 0011, 0001 – 4 набора
0
0
0
0
1111, 0111, 0011, 0001, 0000 - 5 наборов
Складываем 1+2+3+4+5 = 15 наборов
Ответ: 15 наборов
Интеграционные процессы
Математические
основы
информатики
Компьютерная
математика
Результаты образования будут использоваться в мире, насыщенном ИКТ;
благодаря ИКТ потребность в тех или иных результатах образования
радикально изменилась за последние полвека…
А.Л. Семенов