Множество рациональных и иррациональных чисел

Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа
которые мы используем при счете: 1,2,3,… Обозначают множество натуральных
чисел символом:
. Множество натуральных чисел бесконечно, причем для
любого натурального числа, всегда найдется число больше данного.
Если к натуральным числам прибавить 0, и все отрицательные числа -1,2,-3… то получается множество действительных чисел, которое принято
обозначать
Ввод отрицательных чисел был необходим для того чтобы из
меньших чисел можно было вычитать большие. Сумма, разность, произведение –
снова дают целые числа.
Если к множеству целых чисел, добавить множество всех обыкновенных
дробей
Первое упоминание о дробях появилось еще в древнем Египте, при
вычислении длин, веса и площадей люди столкнулись с тем, что не всегда
получается целое значение. Да и вообще дроби в узком смысле встречаются
практически везде, когда мы делим пирог на несколько частей, с математической
точки зрения мы получаем дроби. Множество дробей принято называть
множеством рациональных чисел и обозначать
.
Любое рациональное число может быть представлено в виде:
То есть любое целое число, разделив на натуральное число, мы получим
рациональное число. Деление на натуральное число в такой записи удобно, в том
смысле, что мы исключили операцию деления на ноль. Рациональных чисел
бесконечно много, но зато все эти числа можно перенумеровать.
Рассмотрев множества выше, мы видим, что каждое последующее
содержит в себе предыдущие:
Давайте рассмотрим три рациональных числа:
Каждое из этих чисел мы можем представить в виде бесконечной
десятичной дроби: 5=5.00000… , 0.385=0.38500…., разделив столбиком 2 на 3 так
же получим бесконечную десятичную дробь:
Таким образом любое
рациональное число мы можем представить в виде бесконечной дроби. Для
теоретической математики это имеет большое значение, а вот для практики и нам
с вами при решении задач большого смысла нет представлять обычную пятерку в
виде бесконечной десятичной дроби.
Если в десятичной записи числа повторяются одни и те же числа, то это
называется периодом, в нашем случае для числа
периодом
будет
число 6. Обычно период числа принято обозначать в скобках
. Сама дробь
в таком случае называется бесконечной десятичной периодической дробью.
Любое рациональное число можно записать в виде конечной
десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической
дроби. Обратная операция так же верна.
Пример. Представить в виде обыкновенной дроби:
а) 2,(24) б) 1,(147)
Решение. а) Пусть x=2,(24). Помножим наше число, так чтобы запятая
передвинулась вправо, ровно на период. 100х=224,(24)
Выполним следующую операцию:
100х-х=224,(24)-2,(24)
99х=222
б) Поступим так же.
х=1,(147), тогда 1000х=1147,(147).
1000х-х=1147,(147)-1,(147)
999х=1146
К сожалению, описать все числа с помощью множества рациональных
чисел не удалось. На прошлом уроке мы с вами познакомились с операцией
вычисления корня квадратного. Так длина гипотенузы прямоугольного
треугольника с катетами равными 1 и 2 равна
, но это число не может быть
представлено в виде несократимой дроби, а значит, не является рациональным.
Таким образом, нам необходимо расширить наше понимание о множествах чисел.
В математике не принято говорить, что число не рациональное, обычно
говорят, что такие числа иррациональные. По другому говоря иррациональное
число – неразумное число, в некотором смысле непонятное.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной
десятичной дроби, но в отличие от рациональных чисел никакого периода уже тут
не будет. То есть выделить порядок в записи хвостика числа не возможно. Вы
можете убедиться в этом сами, возьмите калькулятор и вычислите
…
Калькулятор вычислит приближенное значение, с точностью до того знака который
умещается на экран. Посмотрев на полученные числа, можно убедиться, что после
запятой явно ни какого порядка нет.
Иррациональным числом называют бесконечную непериодическую
дробь. Если
, где n,k ϵ , то есть n не является точным квадратом другого
натурально числа, то
иррациональное число.
Иррациональные числа встречаются довольно таки часто, одним из
самых ярких примеров является знаменитое и важное число . Если рассмотреть
совершенно любую окружность и разделить ее длину на диаметр то всегда,
получается . Было доказано, что это число иррациональное.
Операции над иррациональными числами проводить довольно таки
сложно, и даже в современной математике остались вопросы о роде многих чисел
и многие математики занимающиеся теорией чисел бьются над известными
проблемами иррациональных в течение сотен лет.
Но мы можем подвести некоторый итог:
1. Если складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на 0)
рациональные числа, то в ответе получится рациональное число.
2. Арифметические операции над иррациональными числами, могут
привести как к иррациональному числу, так и рациональному.
3. Если в арифметической операции участвуют как рациональные так и
иррациональные числа, то в результате получится иррациональное число.