Матрицы - Томский государственный университет систем

Матрицы
и действия над ними.
Шульц Денис Сергеевич
ассистент кафедры ПМИ ФДО ТУСУР
План занятия.

Понятие матрицы

Виды матриц

Операции над матрицами
– сложение (вычитание)
– умножение на число
– произведение матриц
Понятие матрицы.
 a11

 a 21
A
...

a
 m1
a11 , a12 ...
a12
a 22
....
am2
- элементы матрицы
первый индекс - номер строки,
второй индекс - номер столбца.
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Квадратная матрица.
Если m = n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
 a11

 a 21
a12 

a 22 
матрица второго порядка
 a11

 a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
матрица третьего порядка
Главная диагональ матрицы.
Элементы матрицы с одинаковыми индексами – это элементы
главной диагонали
Диагональная и единичная
матрицы.
Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной
диагонали, называются диагональными матрицами:
 a11 0 ... 0 


 0 a 22 ... 0 
 ... ... ... ... 


0 ... a nn 
0
Если все ненулевые элементы диагональной матрицы равны 1, то матрица
называется единичной и обозначается буквой Е:
1

0
E 
...

0
0 ... 0 

1 ... 0 
... ... ...

0 ... 1 
Треугольная матрица.
Если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали = 0,
матрица называется треугольной
или
Матрица-столбец.
Матрица-строка.
Матрица, состоящая из одной строки (столбца), называется матрицейстрокой (матрицей-столбцом).
A  a11 a12 
Матрица-строка
 a11 
B  a21 
a31 
Матрица-столбец
Транспонирование матрицы
 a11

a
A   21
...

a
 m1
a12
a 22
....
am2
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Исходная матрица A
Переставляем строки со столбцами с сохранением их номеров
 a11

a
AT   12
...

 a1n
... a m1 

a 22 ... a m 2 
.... ... ... 

a 2 n ... a mn 
a 21
Транспонированная матрица
Операции над матрицами.
Сложение (вычитание)
Умножение на число
Произведение
Сложение матриц.
Сложение (вычитание) производится над матрицами только
одинаковых порядков.
Суммой (разностью) матриц А и В называется матрица,
элементы которой равны сумме (разности) соответствующих
элементов матриц А и В.
1  2

A  
5 8 
  3 4

B  
 11 2 
1  (3)  2  4    2 2 
  

C  A  B  
8  2   16 10 
 5  11
Умножение матрицы на число.
Чтобы умножить матрицу на число, следует умножить на это
число каждый элемент матрицы.
 10  5 1 


A 2
0 3
  3  1 8


B  3 * A  ???
 10 * 3  5 * 3 1 * 3   30  15 3 

 

B  3* A   2*3
0 * 3 3 * 3   6
0
9
  3 * 3  1 * 3 8 * 3   9  3 24 

 

Произведение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В возможно, если:
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
 1 0 5

A  
 2 7 8
 1  1


B  0 2 
7 3 


Возможно ли произведение A*B
???
Произведение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В возможно, если:
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
 1 0 5

A  
 2 7 8
2х3
 1  1


B  0 2 
7 3 


3х2
число столбцов матрицы А = 3
число строк матрицы В = 3
Произведение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В возможно, если:
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
 1 0 5

A  
 2 7 8
2х3
 1  1


B  0 2 
7 3 


3х2
число столбцов матрицы А = 3
число строк матрицы В = 3
Произведение A*B существует и его можно найти
Произведение матриц.
 1 0 5

A  
 2 7 8
 1  1


B  0 2 
7 3 


2х3
3х2
A*B ≠ B*A
Матрица C = A*B имеет размер 2х2
Матрица D= B*A существует ли? И если да, то какого размера
будет матрица D?
Произведение матриц.
 1 0 5

A  
 2 7 8
 1  1


B  0 2 
7 3 


2х3
3х2
A*B ≠ B*A
Матрица D= B*A существует ли? И если да, то какого размера
будет матрица D?
число столбцов матрицы B = 2
число строк матрицы A = 2
Матрица D = B*A имеет размер 3х3
3х2
2х3
Произведение матриц.
 1 0 5

A  
 2 7 8
 1  1


B  0 2 
7 3 


2х3
3х2
A*B ≠ B*A
Матрица D= B*A существует ли? И если да, то какого размера
будет матрица D?
число столбцов матрицы B = 2
число строк матрицы A = 2
Матрица D = B*A имеет размер 3х3
3х2
2х3
Экономическая задача.
Количество отгружаемой продукции:
Магазин 1
Магазин 2
Магазин 3
Молокозавод №1
20
35
15
Молокозавод №2
13
25
8
Доставка единицы продукции стоит:
Молокозавод №1, №2
Магазин 1
40 ден.ед
Магазин 2
60 ден.ед
Магазин 3
110 ден.ед
Ежедневные транспортные
расходы каждого завода
?
Составляем матрицы
Отгружаемая молокозаводами продукция в магазины:
 20 35 15 

A  
 13 25 8 
Стоимость доставки единицы продукции в магазины:
 40 


B   60 
110 


Затраты на перевозки:
Шаг №1: умножаем 1-ую строку матрицы А на столбец B
Шаг №2: умножаем 2-ую строку матрицы А на столбец B
Затраты на перевозки:
Шаг №1: умножаем 1-ую строку матрицы А на столбец B
Шаг №2: умножаем 2-ую строку матрицы А на столбец B
Затраты на перевозки:
Результат:
Вебинары «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Февраль 2013 г.
№
Тема вебинара
1
Матрицы и действия над ними.
2
Определители и их свойства. Способы вычисления
определителей.
3
Вычисление определителей старших порядков.
Дата проведения
05.02.13 в 14:30
(время московское)
16.02.13 в 10:00
(время московское)
28.02.13 в 14:30
(время московское)
ОБЩИЙ-НОВОСТИ-РАСПИСАНИЕ ВЕБИНАРОВ:
http://fdo.tusur.ru/forum/index.php?showtopic=5832
ДИСЦИПЛИНЫ-МАТЕМАТИКА-ЦИКЛ ВЕБИНАРОВ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
http://fdo.tusur.ru/forum/index.php?showtopic=7008
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
sds@pmii.tusur.ru