Способы нахождения обратной матрицы

Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A
даёт в результате единичную матрицу E:
AA − 1 = A − 1A = E
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, т.е. её
определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и сингулярных матриц обратных
матриц не существует.
Свойства обратной матрицы



, где det обозначает определитель.
(AB) − 1 = B − 1A − 1 для любых двух обратимых матриц A и B.
(AT) − 1 = (A − 1)T где * T обозначает транспонированную матрицу.


(kA) − 1 = k − 1A − 1 для любого коэффициента
.
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, где x — искомый
вектор, и если A - 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае размерность
пространства решений больше нуля.
Способы нахождения обратной матрицы
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться
одним из следующих способов:
[править] Метод Гаусса
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице
методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же
операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет
завершено, вторая матрица окажется приведена к виду A-1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из
элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на
главной диагонали, кроме одной позиции):
.
.
Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой.
Сложность алгоритма - O(n4).
[править] С помощью союзной матрицы
C * - союзная матрица;
(C * )T - матрица, полученная в результате транспонирования союзной матрицы;
Полученная матрица A-1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности
алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n2)Odet.
[править] Использование LU/LUP-разложения
Если матрица A невырождена то для нее можно расчитать LUP-разложение PA = LU.
Пусть PA = B, B − 1 = D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1L − 1.
Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD = L − 1 и
DL = U − 1. Первое из этих равенств представляет собой систему из n2 линейных уравнений
для
из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц).
Второе представляет также систему из n2 линейных уравнений для
из которых
известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они престаляют
собой систему из n2 равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить
все n2 элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)-1 = A-1P-1 = B-1 = D. получаем
равенство A-1 = DP.
В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D
но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.
Сложность алгоритма - O(n3).