Свойства выпуклых функций Свойства выпуклых функций

ТВЕРСКОЕ СУВОРОВСКОЕ ВОЕННОЕ УЧИЛИЩЕ
МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОД МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ИКТ
Научно-исследовательская работа
«Применение некоторых свойств выпуклых
функций к решению уравнений»
Автор: Фаллер Егор Сергеевич,
обучающийся 11 класса
Научный руководитель:
Жукова Людмила Павловна,
преподаватель математики
Тверь 2014
Объект исследования
Выпуклые функции и их свойства.
Предмет исследования
Приемы решения уравнений, основанные на свойствах выпуклой
функции.
Гипотеза
Свойства выпуклых функций могут успешно применяться
при решении некоторых видов уравнений.
Цель
Изучение определений и свойств выпуклых функций и показ
приемов их применения при решении некоторых видов уравнений.
Задачи
изучить
определения
выпуклых
функций,
их
геометрическую интерпретацию;
изучить свойства выпуклых функций;
сделать сравнительный анализ решения одного из
уравнений различными методами;
показать
приемы
решения
различных
уравнений
(рациональных,
показательных,
показательно-степенных,
тригонометрических) на основании свойств выпуклых
функций;
показать приемы решения уравнений на основании
определения выпуклых функций.
ПЕРВЫЙ ЭТАП ИССЛЕДОВАНИЯ
Изучение определений и свойств выпуклых функций
Определение 1. Функция , непрерывная на некотором
промежутке , называется выпуклой вниз, если для любых точек
и из промежутка выполняется неравенство
 x1  x2  f  x1   f  x2 
f

2
 2 
Определение 2. Функция , непрерывная на некотором
промежутке , называется выпуклой вверх (вогнутой), если
для любых точек и из этого промежутка выполняется
неравенство
 x1  x2  f  x1   f  x2 
f

2
 2 
Определение 3.
Функция , заданная на некотором
промежутке вещественной оси, называется выпуклой вниз,
если для любых чисел 𝑥1 , 𝑥2 ; из этого промежутка и любого
числа 𝛼 ∈ 0; 1 выполнено неравенство
𝑓 𝛼𝑥1 + 1 − α x2 ≤ 𝛼𝑓 𝑥1 + 1 − 𝛼 𝑓 𝑥2 .
СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Если функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) выпуклы, то любая
их линейная комбинация
a𝑓 𝑥 + 𝑏𝑔(𝑥)
с
положительными 𝑎 и 𝑏 коэффициентами ,
также
выпукла.
Если функция 𝑓(𝑥) имеет на (a; b) производную 𝑓(𝑥),
то функция 𝑓(𝑥) выпукла на (a; b) тогда и только тогда,
когда производная 𝑓(𝑥) не убывает на (a; b).
СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Пусть функция f  x  является строго выпуклой вниз на
промежутке X , u , v  X , u  u1  v1  v и u  v  u1  v1 . Тогда справедливо
неравенство
f  u1   f  v1   f  u   f  v 
Геометрически это означает, что если
выполнены
условия
теоремы,
то
середина отрезка BC - точка F лежит
выше середины отрезка ЕD - точки G,
ибо ордината точки F равна половине
𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 , ордината G 𝑓 𝑢1 + 𝑓 𝑣1 .
половине
СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 2. Если функция
f  x  является строго выпуклой на
промежутке X , функции u  u  x  , v  v  x  , u1  u1  x  , v1  v1  x  такие, что
при всех x из ОДЗ уравнения
f  u   f  v   f  u1   f  v1 
(1)
их значения u  x  , v  x  , u1  x  , v1  x  содержатся в X и выполнено
условие
u  v  u1  v1 ,
(2)
то уравнение (1) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
u  x   u1  x  , u  x   v1  x  .
(3)
ВТОРОЙ ЭТАП ИССЛЕДОВАНИЯ
Изучение приемов решения уравнений на основании свойств выпуклых
функций
Пример 1. Решить уравнение
5
5
1 + 1 − 𝑥 2 + 1 − 1 − 𝑥 2 = 2.
Замечание: это уравнение можно решить несколькими способами.
1 способ
( введение новых переменных и переход к системе уравнений).
5
5
Р е ш е н и е. Здесь 𝑥 ≤ 1. Пусть 1 + 1 − 𝑥 2 = 𝑢,
1 − 1 − 𝑥 2 = 𝑣. Тогда 𝑢 и 𝑣
𝑢 + 𝑣 = 2,
являются решениями системы
𝑢2 +𝑣 2 = 2.
Путем долгих преобразований получаем, что данное уравнение равносильно
5
системе
5
1 + 1 − 𝑥 2 = 1,
1 − 1 − 𝑥 2 = 1,
Ответ: 1; −1.
откуда х = ±1.
2 способ ( решение с помощью неравенства Бернулли).
Теорема (неравенство Бернулли):
1) если ℎ > −1, то при любом натуральном 𝑝 выполняется (1 + ℎ)𝑝 ≥ 1 + 𝑝ℎ.
𝑝 > 1,
2) если ℎ > −1 и
то (1 + ℎ)𝑝 ≥ 1 + 𝑝ℎ.
𝑝 < 0,
3) если ℎ > −1 и 0 < 𝑝 < 1, то (1 + ℎ)𝑝 ≤ 1 + 𝑝ℎ.
Замечание. Равенство достигается тогда и только тогда, когда 𝑝 = 1 или ℎ =
0.
5
1+ 1−
𝑥2
5
+ 1 − 1 − 𝑥 2 = 2.
Р е ш е н и е. Представим левую часть уравнения в виде суммы степеней:
5
𝑥2
5
𝑥2
1
1
𝑥 2 )5 +(1 −
𝑥 2 )5 .
1+ 1−
+ 1− 1−
= (1 + 1 −
1−
Так как основание степени с дробным показателем неотрицательно, то 0 ≤
1
1−
≤ 1. Тогда для выражения (1 ± 1 −
выполняются условия:
1
1 − 𝑥 2 > −1 и − 1 − 𝑥 2 > −1, при этом 0 < 5 < 1. Применим неравенство
Бернулли:
𝑥2
𝑥 2 )5
1
𝑥 2 )5 ≤
1
5
1
Так как 5 ≠ 1, то равенство возможно, если
− 1.
Ответ: 1; −1
𝑥 2 )5 ≤
1
(1 + 1 −
1+ 1−
и (1 − 1 −
1 − 5 1 − 𝑥 2.
Рассмотрим сумму
1
1
1
1
2
2
5
(1 + 1 − 𝑥 ) +(1 − 1 − 𝑥 )5 ≤ 1 + 5 1 − 𝑥 2 + 1 − 5 1 − 𝑥 2 = 2.
1
𝑥2
1 − 𝑥 2 = 0. Тогда 𝑥 = 1 или 𝑥 =
3 способ (решение на основании свойств выпуклых функций ).
5
1+ 1−
𝑥2
5
+ 1 − 1 − 𝑥 2 = 2.
Р е ш е н и е.
Пусть f  x   5 х , u  1  1  х2 , v  1  1  х2 , u1  v1  1 . Тогда данное
уравнение записывается в виде f  u   f  v   f  u1   f  v1  .
Так как функция f  x  является строго выпуклой вверх на  0;   ,
а также выполнены все условия теоремы 2, то данное уравнение равносильно
уравнению
1  1  х 2  1.
Отсюда следует, что х  1 .
Ответ: 1; -1.
ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВАНИИ
СВОЙСТВ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим уравнение вида
4
a  х  4 x b  d ,
(4)
где a, b, d — данные числа, a  b , d  0 .
Этот класс уравнений имеет вид (1), выполнено условие (2) (если уравнение
имеет решение) и функция
f  x  4 х
является строго выпуклой на
промежутке  0;   .
Рассмотрим уравнение вида
4
где a, b, d — данные числа,
xa  4 xb  d ,
(5)
a  b . Если уравнение (5) имеет решение,
то оно может быть представлено в виде (1) и выполнено условие (2).
Пример 2. Решите уравнение
4
77  х  4 20  х  5 .
Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения есть отрезок 77  х  20 . Пусть u  77  x ,
4
4
v  20  x , тогда u  v  97  81  16  34  24. Возьмём u1  3 , v1  2 и из
теоремы 2 следует, что уравнение на ОДЗ равносильно совокупности двух
уравнений
77  х  81 , 77  х  16 .
Отсюда получаем, что х  4 , х  61 .
Ответ: х  61 , х  4 .
Пример 3. Решите уравнение
4
х  35  4 х  45  2 .
Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения есть промежуток х  45 . Попробуем представить
уравнение в виде
4
х  35  4 v  4 х  45  4 v1
таким образом, чтобы выполнялось условие (2) и
4
v1  4 v  2 .
Легко
догадаться, что v  1 , v1  81 . Поэтому по теореме 2 уравнение на ОДЗ
равносильно уравнению
х  35  81 ,
откуда следует, что х  46 .
О т в е т : х  46 .
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА
Сложность применения этого метода при решении уравнений состоит в «угадывании» представления числа d в уравнении (4) в виде
4
и1  4 v1 (причем
и1  v1  a  b ), а в уравнении (5) в виде 4 v1  4 v ( a  v  b  v1 ).
Однако стоит отметить и преимущество этого способа. Из него следует, что
уравнение (4) не может иметь более двух решений, т.к. оно равносильно по
ОДЗ совокупности уравнений а  х  u1 , а  х  v1 , а уравнение (5) – более
одного решения, так как оно на ОДЗ равносильно уравнению х  a  v1 .
ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ,
ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ, ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННЫХ,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
НА ОСНОВАНИИ СВОЙСТВ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 4. Решите уравнение
2х  23х2  4х
2
2
1
 23х х .
2
2
2
Р е ш е н и е. Пусть f  x   x2n , u  х 2 , v  3х  2 , u1  2 х  2 , v1  3 х  х . Так
как функция f  x  является строго выпуклой вниз на R и выполнено условие
(2), то уравнение равносильно совокупности уравнений
2 х 2  2  х 2 , 3х  х 2  х 2 .
Следовательно, его решениями будут: 0,
3
2
Ответ: х  0 , х  , х   2 .
3
, 2 .
2
Пример
Решитеуравнение
уравнение
Пример
15.5.Решите
2


 2  arcsin 2 x   2  arccos 2 x   15 .
Р е ш е н и е. Пусть f  x    2  х2 , u  arcsin x , v  arccos x , u1  v1 

4
, тогда
уравнение может быть записано в виде (1). Так как функция f  x  является
строго выпуклой вверх на   ;   , u  x  , v  x  , u1  x  , v1  x  содержатся в
этом сегменте при любом допустимом х и выполнено условие (2)


arcsin
x

arccos
x


 , то данное уравнение равносильно уравнению
2

arcsin x 
Следовательно, x 
Ответ: x 
2
.
2
2
.
2

4
.
ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
НА ОСНОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ
Теорема 3. Пусть функция
f  x  является строго выпуклой вниз на
промежутке X и u , v  1    u  X . Тогда равенство
f  v  1    u    f  v   1    f u 
(6)
справедливо в том и только в том случае, если либо u  v , либо   0 , либо
  1.
Пример
Решите уравнение
уравнение
Пример16.
5. Решите


 х2  х  3  8 х8   х  3 .
4
4
Р е ш е н и е. Пусть f  x   х4 , u  х 2 , v  3  х ,  
1
, тогда уравнение
2
6 Поскольку функция f  x  является строго выпуклой
запишется в виде (8).
вниз на R, то по теореме 3 исходное уравнение равносильно уравнению
х2  3  х
и, значит, его решениями будут х 
Ответ: х 
1  13
.
2
1  13
.
2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследование показало, что в ряде случаев приведенный метод
дает красивое, короткое решение. Однако он имеет ряд трудностей,
которые заключаются в решении лишь определенного вида
уравнений, сложности «угадывания» некоторых замен на отдельных
этапах решения, о чем указано в работе.
Надеюсь, что нам удалось доказать выдвигаемую гипотезу, о том,
что свойства выпуклых функций действительно могут применяться
при решении некоторых видов уравнений.
Хотелось бы отметить, что для каждого уравнения можно найти
свой, оптимальный метод решения. Отдавая в ряде случаев
предпочтение методу применения свойств выпуклых функций, стоит
подчеркнуть, что к наибольшему успеху приводит овладение
различными методами решения уравнений при условии глубокого
понимания их достоинств и недостатков.
СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ