Мищенко (тезисы)x

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ
КОНСТАНТАМИ МАТЕРИАЛОВ
А.В. Мищенко, Ю.В. Немировский
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет, 630009,
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН,
630090, Новосибирск, Россия, E-mail: mavr@hnet.ru, nemirov@itam.nsc.ru
Рассмотрен метод решения задач неустановившейся ползучести многослойных
стержней на основе модели, содержащей начальный скачок деформации ползучести
(1)
c (t , T , )  (0)
c (T , )  (T , )t .
В частном случае при исключении первого слагаемого получаем широко
распространенную модель установившейся ползучести. Начальную деформацию и
постоянную скорость деформации аппроксимируем степенными зависимостями
n (T )
n (T )
(0)
, (T , )  B (T ) 
(2)
c (T , )  B (T )
с четырьмя функциональными параметрами, определяемыми на основе опытных данных.
Результаты обработки некоторых из них приведены в [1]. На рис. 1 пунктиром показаны
линии (1), построенные по результатам обработки эксперимента [2]. В случае
относительно небольшой протяженности или отсутствия второй стадии ползучести
линии (1) могут рассматриваться как аппроксимации кривых ползучести в целом.
ε, %
1
0.8
0.6
15
14
12
10
0.4
0.2
t, час
0
0
100
200
300
400
500
600
700
Рис. 1. Деформации ползучести стали ЭИ-69 при температуре 700оС и различных напряжениях
(кгс/мм2). Точки – эксперимент, сплошные линии - модель (4), штриховые линии – модель (1).
Расчет стержня Бернулли на основе модели (1) состоит из двух этапов: расчета
стержня в состоянии начального скачка ползучести и ползучести с постоянной
скоростью. Параметры деформированного состояния стержня в момент времени t
определяются как   (0)    t ,   [u, v, , 0 , ] . В силу однотипности аппроксимаций
(2) оба расчета выполняются по одинаковым (с точностью до обозначений) выражениям.
Так в состоянии начального скачка деформации для s-слойного стержня получим
 А.В. Мищенко, Ю.В. Немировский, 2013
1
k  sgn(c(0) )0 c(0)
1/ n, k (T )
B,k (T )
s
N   K k [ f N ( yk 1 )  f N ( yk )]
k 1
Kk 
bk 0
(0) B,k
1/ n , k
,
f N ( y) 
1/ n , k (T )
(0)
(0)
(0)
c  0   y ,
,
s
M   K k [ f M ( yk 1 )  f M ( yk )]
(3)
k 1
1 n , k
n,k
1  n,k

n, k
f M ( y)  f N ( y)  y 
1  2n, k

(0)
0

(0)
y
n , k
,
 (0)

 0(0)  y   .




(0)
При замене в (3) параметров B,k , n ,k на B,k , n,k , функций (0)
на (0c ) ,
0 , 
(c) получим соотношения для расчета ползучести с установившейся постоянной
скоростью.
Для оценки результатов расчета по модели (1) используем описание процесса
ползучести на основе теории упрочнения c c (T )  f (, T ) . Проинтегрировав и приняв
степенную функцию напряжения, получим закон

( x, y, T , t )  sgn()0 [(1   k ) Bk t ]
1
nk
  ( x, y )
1 k
nk
,
(4)
для которого в (3) следует принять
1 k
nk
bk 0
1
0  y nk ,
Kk 
, f N ( y) 
1/ nk
1   k  nk
[(1   k ) Bk t ]

nk
 0

f M ( y)  f N ( y)  y 
 y  .


 1   k  2nk  
Дополнив систему равенств (3) дифференциальными статическими
геометрическими соотношениями
N   qx , Q  q y , M   Q  mz  Nv , u   0 , v    ,   
и
получим замкнутую систему уравнений для решения начально-краевой задачи расчета
длительно нагруженного стержня. В общем случае она требует численного решения по
пространству конструкции и времени.
Расчеты стержневых систем целесообразно выполнять итерационным способом на
основе двухуровневой процедуры. Во внешней процедуре организуется шаговый процесс
по времени, а во внутренней - решается краевая задача с использованием вместо (3)
линеаризованных физических зависимостей. Для их получения напряжение
представляется в эквивалентном виде   E ()  , с переменным секущим модулем
E () . Для деформации на i -м шаге внутренней процедуры, получим квазилинейный
аналог системы (3):
(4)
[0i ] D[Ai 1]  [i ] DS[i 1]  N [i ] ,
[0i ] DS[i 1]  [i ] DI[i 1]  M [i ]
с секущими жесткостными характеристиками сечений D[i 1] ( x) . Опуская индекс номера
итерации i , для них получим
s
D ( x, (0) )   K k [ f  ( yk 1 )  f  ( yk )] , [ A, S , I ] ,
k 1
2
(0)
f A ( y)  sgn(c(0) )n,k (0)
y
0 
1/ n , k

n, k
f S ( y)  f A ( y)  y 
 1  n, k
Kk 
,
bk 0
1/ n
B, k  , k
,
 (0)

 0(0)  y   ,






  
2n,k  (0)
n,k  (0)
f I ( y)  f A ( y)  y 2 
 0(0)  y   y 
 0(0)  y    .
  1  2n,k  

1  n,k  



  
Для стержня, показанного на рис. 2, изготовленного из стали ЭИ-69 [2], на рис. 3
показаны графики изменения максимального прогиба во времени при различной
температуре.
y
q=0,25F/l
y
h
F
z
h
l
Рис. 2.
Схема
стержня
b
Штриховыми линиями показаны результаты расчетов, выполненных по модели (1),
а сплошными – по (4). При длительной эксплуатации модель (1) удовлетворительно
согласуются с (4).
v_max, мм
12
10
T=670
8
T=620
6
T=570
4
Рис. 3. Изменение
максимального
прогиба. Сплошная
линия - модель (4),
штриховая линия –
модель (1).
2
t, сут
0
0
50
100
150
200
Рассмотренный здесь подход к решению задач ползучести на основе моделей с
параметрами, функционально зависящими от температуры, позволяет расширить круг
решаемых задач при использовании ограниченного набора экспериментальных данных;
рассматривать задачи при неоднородном термо-силовом воздействии. Применение
модели (1) со скачком деформации является оправданным при длительной эксплуатации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мищенко А. В. Модель ползучести металлов с начальным скачком деформации и функциональными
константами материала / А.В. Мищенко, Ю.В. Немировский // Изв. вузов. Авиационная техника, 2009. –
№ 1. – с. 20 – 24.
2. Никитина Л. П. Прочность стали типа ЭИ-69 при повышенных температурах / Исследования жаропрочной
стали типа ЭИ-69. – М: МашГИЗ, 1947. – с. 131 – 156.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, номер проекта 11-08-00186а
3