О применении эндохронного подхода в нелинейной механике

О ПРИМЕНЕНИИ ЭНДОХРОННОГО ПОДХОДА В НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ
ДЕФОРМИРУЕМОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Г. Д. Федоровский
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
1. Введение. Известно большое количество способов описания деформирования
реологически сложных сплошных сред. К основным, наиболее фундаментальным теориям
нелинейной вязкоупругости наследственного (интегрального) типа, следует отнести пять:
кратно-интегральную концепцию Волтерра-Фреше; моноинтегральный, с нелинейным
ядром, подход Больцмана-Персо; базирующуюся на связи функции деформации с
напряжением линейным интегральным соотношением теорию Работнова; концепцию
Москвитина, являющуюся развитием теории Работнова, основанную на аналогичной
связи функции деформации и функции напряжения; эндохронный способ, – с
использованием «обобщенного», собственного, внутреннего времени в моноинтегральном
представлении.
Обилие подходов может быть объяснено, с одной стороны, незавершенностью
решения проблемы описания нелинейного поведения сред, а с другой стороны, –
нетривиальным и разнообразным поведением сред, которое приводит к необходимости
поиска различных путей. Каждый подход обладает своими достоинствами и
недостатками.
Развивающаяся в настоящее время «эндохронная» концепция позволяет
унифицировать механические свойства сред при различных физико-химико-механических
воздействиях: температуры, радиации, старения, механической нелинейности и т.п. Дает
путь модификации других теорий посредством получения параметров эндохронного
подхода для них – введения масштабов обобщенного времени в виде «простой» и
«сложной» функции, как и функционалов. Предоставляет возможность расширить
способы описания. Такой путь делает доступным проведение унифицированного,
единообразного сравнения различных теорий по параметрам эндохронной концепции.
В наших работах были получены эндохронные модификации нелинейных уравнений
вязкоупругости Больцмана-Персо, технических теорий ползучести с функциями Бейли и
Нортона, уравнений вязкоупругости Работнова и Москвитина, уравнения линейной и
нелинейной повреждаемости с опорной функцией Журкова, – с надбарьерным и
подбарьерным (туннельным) переходами.
2. Теории нелинейной вязкоупругопластичности. Рассмотрим наиболее

распространенный подход, когда в шкале (пространстве) обобщенного времени 
уравнение изотермической нелинейной ползучести (пластичности) имеет вид
наследственного квазилинейного интегрального соотношения с «памятью»
t
 ( t )  P     P(     ) (  )d ,
(1)
0
а «обратное» нелинейное уравнение релаксации также имеет аналогичный квазилинейный
вид в шкале обобщенного времени:
t
 ( t )  R     R(     )(  )d .
(2)
0
Здесь t ,  и  – лабораторное время, деформация и напряжение, P  и R  – операторы
ползучести (пластичности) и релаксации, P и R – их функции;   и   – обобщенное
время.
В случае совпадения времен ползучести (пластичности) и релаксации
  
(3)
(физически это естественно) уравнения (1) и (2) взаимно обратимы и их функции P и R
могут быть вычислены одна по другой – по любому из линейных соотношений
t
t
0
0
P R  R P   P(    )R (  )d   R(    )P (  )d  1 .


При «простом» механо-временном соответствии (ограничимся рассмотрением
напряженно-временного соответствия) обобщенное время
  ( t )   g   (  )d ,   ( t )      ( t )    (  )   g   (  )d ,
t
t
0

(4)
где g  (  ) – масштаб времени по напряжению («простая» функция напряжения). При
приложении постоянного напряжения  ( t )  H ( t ) 0 ( H – единичная функция
Хевисайда,  0  const ,  l – предел линейной ползучести (пластичности))
  ( t )  g  (  0 )t , g  (  )  1 при    l .
Простое напряженно-временное соответствие используется для различных сред
чаще всего. Наиболее часто применяемые технические теории нелинейной ползучести
можно привести к квазилинейному виду (1) с «простым» масштабом времени g  (  ) .
Проведенные в широкой области изменения параметров эксперименты для многих
материалов показали, что на самом деле даже при умеренных деформациях среды
обладают «сложным» масштабом времени – сложной функцией лабораторного времени и
напряжения g  ( t , ) , даже в режиме нагружения  ( t )  H ( t ) 0 .
В случае немонотонного процесса  ( t ) для соотношения (1) в наших работах
введено
t
t




      G  t   , (  )d    g  t   , (  ) 
g  t   , (  ) 
 d ,


(5)
g  ( t , )  1 при t  0 или    l . В случае  ( t )  const      g  ( t   , )( t   ) , т.к.
выражение под знаком интеграла становится полным дифференциалом.
Для описания ускоренного или замедленного отклика введены вместо масштабафункции G  ( t , ) построенный по иерархическому принципу (через g  ( t , ) , G (t ,  ) и
т.д.) масштаб-функционал G  , представляющий собой произведение масштаба G  ( t , )
и масштаба-функционала g ~ (  ) , – корректирующий G  :

G  ( t , , )  G  ( t , )  g ~ (  ) , g ~ (  )  1   q  (  ) (  )d , q  ( 0 )  0 .
(6)
0

На участках, где   0 , G  g . Функция q (t ) может зависеть от знака  , то есть
иметь вид q  q  t ,sign( ) . Для описания ускоренного отклика величина масштабафункционала g ~ (  ) должна быть больше единицы, а для замедленного – меньше.
При  ( t )  H ( t ) 0  ( t )  P(   ) 0 ,    g  ( t , )  t .
В случае ступенчатой нагрузки  ( t )  H ( t )  H ( t  t1 ) 0
 ( t )  Pg  ( t , 0 )t   Pg  ( t  t1 , 0 )( 1  q ( t1 ) 0 )( t  t1 ) 0 .
Отметим, что обобщенное время и масштаб-функционал обладают «памятью» (см.
(4) и (6)), т.к. учитывают предысторию воздействий на среду.
Степень «сложности» масштаба g  ( t , ) может быть различной. При сравнении
этого масштаба для модифицированных нами по эндохронной концепции теорий Работнова и Москвитина следует более высокая «сложность» масштаба второй теории.
Показано, что при сведении нелинейного уравнения вязкоупругости Больцмана-Вольтерра-Персо к виду с обобщенным временем достаточно применение G  (5). Что касается
масштаба-функционала, то он может базироваться как на линейном функционале (6), так
и нелинейном.
Для обобщенного (собственного) времени теории пластичности Валаниса получить
его масштаб в явном виде не удается.
По поводу соотношения (3) следует заметить, что оно является дополнительным
уравнением, связывающим  и  . Практика расчетов показала, что это соотношение
удобно для практического нахождения (вычисления) масштаба по деформации через
масштаб по напряжению и наоборот.
О «простом», «сложном» и «функциональном» масштабировании времени по
температуре в неизотермических условиях деформирования упомянуто во введении.
Наиболее часто используется первый вид. Нужно отметить, что во втором случае
обобщенное время следует определять в неизотермическом процессе по формуле (5),
заменив в ней  на T . В ряде наших работ рассмотрен способ «функционального»
масштабирования.
3. Критерии повреждаемости (разрушения, достижения предела текучести и
достижения физического (фазового, структурного) перехода. Базирующиеся на
интеграле Бейли эндохронного типа критерии прочности и отсутствия текучести в форме
повреждаемости, имеют вид
t G  , (  ), f d
d

 1.
 q m(  )
0  q m(  )
0

 q ( t )   qm t  
Здесь

– повреждаемость,
m
– оператор повреждаемости,


0
0
m   , ,e,e, A, I
( A(  )    (  )e( )d – работа (энергия), I(  )   ( )d – импульс), m q(  ) – кривая
длительной прочности ( q  c ) (длительной текучести (пластичности) ( q  p )),
наступления физического перехода ( q  f ). Обобщенное время  q и масштаб могут
соответствовать описанным в п. 2 настоящей работы.
Рассмотрена модифицированная путем введения обобщенного времени
кинетическая теории прочности Журкова. Численный анализ для различных режимов
показал удовлетворительность такого подхода. Масштаб времени по температуре оказался
«сложным»: g T ( t ,T ) .