Методы решения одномерных стохастических краевых задач

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ПОЛЗУЧЕСТИ
Н. Н. Попов
Самарский государственный технический университет, Самара, Россия
В настоящее время в условиях повышения требований к надежности и прочности
элементов конструкций весьма актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела стал учет стохастических неоднородностей материала, которые обусловлены
различными технологическими и структурными факторами. Эта проблема является
особенно важной для элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, поскольку известно, что опытные данные по деформации ползучести, полученные при
испытаниях на стандартных образцах, имеют значительный разброс.
В данной работе построено аналитическое решение стохастической нелинейной
краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы, находящейся под
действием внутреннего давления q. Задача рассматривается в цилиндрических координатах для случая плоского деформированного состояния, в предположении, что стохастические свойства материала трубы описываются при помощи случайной функции
одной переменной (радиуса r). Определяющие соотношения ползучести принимаются в
соответствии с нелинейной теорией вязкого течения в стохастической форме [1]
n 1
n
1  3
(1)
    r  c       r  1  U  r   ,
2  2 
где σ φ и σ r – компоненты тензора напряжений, ε φ и ε r – компоненты тензора дефор-
маций, c и n – постоянные материала. С помощью случайной однородной функции
U (  )  U   0, U 2   1  описываются флуктуации реологических свойств материала,
а число α ( 0  α  1) играет роль коэффициента вариации этих свойств,  – символ
математического ожидания; точка обозначает дифференцирование по времени.
К определяющим соотношениям ползучести (1) присоединяются уравнение равновесия для напряжений
d r  r   

 0,
dr
r
условие совместности деформаций, сформулированное для скоростей деформаций
(2)
d 
    r  0
(3)
dr
и граничные условия  r (a)  q ,  r (b)  0 , где a и b соответственно внутренний и
внешний радиусы трубы.
Решение системы уравнений (1) – (3) сводится к статистически нелинейному
уравнению второго порядка относительно радиального напряжения σ r (штрихом обозначается дифференцирование по r )
r
r 1  U (r )   r 
n2
r
1  U (r )   r  U (r ) r  0 .
n
n
(4)
1
Используя метод разложения радиального напряжения в ряд по степеням малого
параметра α в уравнении (4)  r   r 0    k rk ,  r    r 0 ,  rk   0, k  1, 2,3,...,
k 1
можно получить систему статистически линейных дифференциальных уравнений
n2
n2
r
r r0 
 r0  0 , r r1 
 r1   U  r0 ,
n
n
n
n2
r
k 1
r rk 
 rk   U   rk 1  U  rk  2  U 2 rk 3    1 U k 1 r0  , k  2,3, 4, ,


n
n
из которой можно найти составляющие радиального напряжения с любой степенью
точности.
Найдены средние значения и дисперсии случайного поля напряжений и скоростей
деформаций с учетом членов до четвертого приближения метода малого параметра. При
этом предполагалось, что случайная функция U (  ) , задающая поле возмущений реологических свойств материала, распределена по нормальному закону с корреляционной
 
функцией K (  )  e
 cos    1 sin    ,   r2  r1 , γ  0 , где γ и β – постоянные
величины, определяемые по опытным данным из условий наилучшей аппроксимации.
Проведен статистический анализ случайного поля напряжений и скоростей деформаций в зависимости от показателя нелинейности и степени неоднородности материала. Получено, что для слабонеоднородных материалов ( α  0,1 ÷0,3) вклад, вносимый в решение четвертым приближением незначителен, и можно ограничиться третьим
приближением. Для материалов с существенной неоднородностью ( α  0, 4 ÷0,5) неучет
членов четвертого порядка малости может привести к необоснованному завышению
показателей прочности и надежности цилиндрических элементов конструкций.
Также рассматривается в условиях ползучести всестороннее растяжение усилиями p бесконечной пластины из стохастически неоднородного материала, ослабленной
круговым отверстием радиуса a. Задача решается в полярной системе координат для
случая плоского напряженного состояния, в предположении, что стохастические свойства материала пластины описываются при помощи случайной функции одной переменной (радиуса). Определяющие соотношения ползучести, взятые в соответствии с
нелинейной теорией вязкого течения, принимаются в стохастической форме [2]
 r  0,5cs n1  2 r     H  r  ,   0,5cs n1  2    r  H  r  , H (r )  1  U  r  ,
(5)
где s 2   r2   2   r  – интенсивность напряжений. Граничное условия и условие на
бесконечности имеют вид
 r ( a )  0 ,  r ( )  p .
(6)
Случайная функция U (r ) , задающая флуктуации реологических свойств материала,

была взята в виде U (r )  0 J 0 (r )  2   k J k (r ) , где k – независимые случайные велиk 1
чины с математическим ожиданием k   0 и дисперсией  k2   1 , J k (r ) – функция
Бесселя I рода целого порядка.
Путем введения новых переменных s и  по формулам  r  2s cos  / 3 ,
   2s cos    / 3 / 3 , краевая задача (2), (3), (5), (6) сводится к системе стохастических нелинейных дифференциальных уравнений
2


d
dH cos    / 3 3 cos   n sin  H
 sin  cos 

,
dr
dr
r
,
(7)
2
2
s
cos



/
3
H


ds
dH
(cos 2   n sin 2  ) H
 s sin 2 

dr
dr
r

с граничным условиям  ( a )  и условием на бесконечности s()  p .
2
Линеаризация системы уравнений (7) проводилась на основе первого приближения метода малого параметра. Линейная система решалась численно методом Адамса
пятого порядка[3].
В результате статистического анализа случайного поля напряжений получено, что
дисперсия тангенциального напряжения   принимает наибольшее значение на конту(cos 2   n sin 2  ) H
ре отверстия, а дисперсия радиального напряжения  r на этом контуре равна нулю.
При удалении от контура отверстия дисперсии напряжений достаточно быстро приближаются к постоянным значениям, совпадающим с их значениями для бесконечной
пластины без отверстия. В таблице приведены значения коэффициента вариации
D
  0 100% , где D – дисперсия тангенциального напряжения   , на границе от
верстия r  a в зависимости от степени нелинейности ползучести материала n и степени неоднородности материала  .
n

0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
2
4
6
8
5,45
3,47
2,03
1,44
1,12
10,9
6,94
4,06
2,88
2,24
16,35
10,41
6,03
4,32
3,36
21,8
13,88
8,12
5,76
4,46
27,25
17,35
10,15
7,20
5,60
Максимальный разброс напряжений (по правилу трех сигма) характеризуется
утроенным коэффициентом вариации. Так, например, при n  2 и   0.3 максимальный разброс тангенциального напряжения около среднего значения равен 31,23%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Должковой А.А., Попов Н.Н., Радченко В.П. Решение стохастической краевой
задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // ПМТФ. – 2006. – Т. 47. – № 1. – С. 161–171.
2. Попов Н.Н. Ползучесть стохастически неоднородной пластины с круговым отверстием // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки. – 2008. –
№ 2 (17). – С. 126–132.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т.1. – М.: Наука, 1975. – 632 с.
3