Елизарова Т.Г. - mpamcs 2012

Международная молодёжная конференция-школа
«СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ»
23 августа 2012 г.
Объединенный институт ядерных исследований , г. Дубна
Истомина Мария Александровна
Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН,
Москва
Численный алгоритм для решения уравнений
магнитной гидродинамики в приближении мелкой
воды
План доклада
• Введение
• Уравнения магнитной гидродинамики в
приближении мелкой воды и способ их
регуляризации
• Численный алгоритм
• Примеры тестовых задач
Введение
• Четверушкин.Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая
система уравнений. М.: Макс Пресс. 2004.
• Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственновременном осреднении. М.—Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2009.
• Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета
вязких течений. М.: Научный мир, 2007. (англ. перевод -- Quasi-Gas
Dynamic Equations. Springer 2009)
• http://elizarova.imamod.ru/
• Елизарова Т.Г., Устюгов С.Д. Квазигазодинамический алгоритм
решения уравнений магнитной гидродинамики. Одномерный случай.
Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша №1 за 2011 г.
• Елизарова Т.Г., Устюгов С.Д. Квазигазодинамический алгоритм
решения уравнений магнитной гидродинамики. Многомерный
случай. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша №30 за 2011 г.
Уравнения магнитной гидродинамики в приближении
мелкой воды











h  ( hu x )

0,
t
x
 ( hu x )  ( hu 2x )  ( hBx2 )  gh 2
b



(
)   gh
,
t
x
x
x
2
x
 ( hu y )  ( hu x u y )  ( hBx B y )


0,
t
x
x
 ( hBx )
0,
t
 ( hB y )  ( hB y u x )  ( hBx u y )


0,
t
x
x
 ( hBx )
 0.
x
Осреднение уравнений по времени промежутке (t , t  t )
f ( x, t )
1

t
t  t

f ( x, t ' )* dt '  f ( x, t )  
t
  h  hu x

 0,

x
 t
2
2
  hu

hu

hB
 gh 2
b
x
x
x




 g h
,
x
x
x 2
x
 t

  hu y  hu x u y  hBx B y
 0,
 t  x 
x

  hBx
 0,

 t
  hB y  hB y u x  hBx u y

 0,

x
 t
  hBx
 0.

 x
f ( x, t )
t
2

2
O( ), 2
t
h
h  h 
,
t
u x
u *x  u x  
,
t
u y
*
uy  uy 
,
t
Bx
*
Bx  Bx  
,
t
B y
*
By  By  
.
t
*
Регуляризованная система уравнений магнитной
гидродинамики в приближении мелкой воды







 h  jx

0,
j x  h ( u x  wx ),
t  x
2
 


g
h
wx  ( h u x2  h B 2x 
),
h x
x
x 2
 h u x  j xu x  h B 2x  g h 2 
ux 1 
1  g h2
2



 ( h u x ( u x

h B x
)) 
2
2
t
x
x
x
x
x h x
hx
 hu x
 hu x


2
 ( B x
)  ( g h
),
x
x
x
x
Регуляризованная система уравнений магнитной
гидродинамики в приближении мелкой воды
 hu y
t
 j yu x
 h Bx B y
 hu x






( B x ( B y

(h B y u x ) 
( h B x u y ))) 
x
x
x
x
x
x

j y  h ( u y  w y ),
 ( h Bx )
t
wy 
ux 1 

1  g h2
( h u y ( u x

(h B 2
)

x h  x ( 2 ))),
x
x h x
 
h x
( h B x B y  h u x u y ),
0,
 ( h B y )  ( j x B y )  ( j y Bx )
 hu x 
 hu x






( u x ( B y

( h By ux ) 
( h Bx u y ))) 
( u y Bx
).
t
x
x
x
x
x
x
x
x
Регуляризованная система уравнений магнитной
гидродинамики в приближении мелкой воды
 
 
 
hx
c зв ука
hx
c зв ука
hx
c зв ука
hx

 газодинами ческие течения,
 RT


hx
 гидродинамические течения,
| ux |  g h
hx
| ux |  B  g h
2
x

 гидродинамические течения с магнитным полем.
  0  1,   0.5
Разностная схема


2
2
2
2
2
2
g
h

g
h
 i 1 / 2 ( h u x ) i 1( h u x ) i ( h B x ) i 1( h B x ) i
i
i 1
w1, i1 / 2  h i1 / 2 (  x   x   x ),
h i  h i 1
h i1 / 2  h 2 h ,
h i 1 / 2  i 1 i ,

2
u 1, i  u 1, i 1
u1,i1 / 2  u 2 u , t   h
 условие Куранта.
1, i 1 1, i
| u |  B  gh
u1,i1 / 2  2 .
hˆ i h i j1, i 1 / 2  j1, i 1 / 2

0 ,
t
x
j 1, i 1 / 2 h i 1 / 2 ( u 1, i 1 / 2  w 1, i 1 / 2) ,
x
x
2
x
Распад неподвижного разрыва





Г / д перем. Сл ев а
h
1
ux
0
uy
0
Bx
1
By
0
Справ а
2
0
0
0.5
1
James A. Rossmanith A wave propagation method with constrained
transport for ideal and shallow water magnetohydrodynamics /
Ph.D. Dissertation, 2002
Результаты расчета для распада неподвижного
разрыва
t  0.4 сек ,
  0.5,
  0 .1 .
Результаты расчета для распада
неподвижного разрыва
Результаты расчета для распада неподвижного
разрыва
Распад слабого разрыва



B
x
By
Г / д перем. Слева
h
1
ux
0
uy
1
1
1
Справа
1 0.0001
0
1
 0.9999
0
1
1
1 0.0001*
1.( 0001)
1 0.0001
1 2*0.0001
1.0002
H. De Sterck Hyperbolic theory of the "shallow
water“ magnetohydrodynamics equations /
Physics of plasmas, 2001, vol. 8, №7
Результаты расчета распада слабого
разрыва
t  0.5 сек ,
  0.3,
  0 .1 .
Результаты расчета распада слабого
разрыва
Выводы
•
•
•
Метод применен к уравнениям мелкой воды с магнитным полем
Алгоритм считает в двух предельных случаях
Спасибо за внимание!