УДК 532.5, 621.6 ОБСУЖДЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕННОГО ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ

УДК 532.5, 621.6
ОБСУЖДЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕННОГО ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
СТРУКТУРЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Семанишин Л.М.
Руководитель центра учебно-научного сопровождения
дистанционного и заочной учебы и последипломного образования
Украинского государственного университета финансов и международной торговли
Рассматривается задача эквивалентного упрощения выражений, полученных при решении
системы квазилинейных уравнений Навьє-Стокса. Предложен алгоритм упрощения, основанный
на применении теории цепных дробей.
Ключевые слова: интегральные преобразования, итерационная схема, конвективнодиффузионный перенос, цепные дроби, уравнения Навье-Стокса.
Розглядається задача еквівалентного спрощення виразів, що отримують при розв’язанні
системи квазілінійних рівнянь Нав’є-Стокса. Запропоновано алгоритм спрощення, що
ґрунтується на використанні теорії ланцюгових дробів.
Ключові слова: інтегральні перетворення, ітераційна схема, конвективно-дифузійний
перенос, ланцюгові дроби, рівняння Нав’є-Стокса, .
A problem of redusing of expresions, that are received while solving the system of Navier-Stokes
equations is discussed. An algorithm of equivalent reducing is proposed, Based on the theory of chain
fractions.
Key words: integral transforms, iterative procedure, convective-diffusion transform, NavierStokes equations, chain fractions.
Актуальность темы. Теперь нет сомнений в том, что без решения
экологических проблем невозможно дальнейшее развитие общества. Загрязнение
окружающей среды и другие негативные факторы влияния цивилизации на природу
создают угрозу не только существования растительного и животного мира, но и
жизни человека. Экологические проблемы охватывают достаточно широкий
диапазон вопросов, которые нуждаются немедленного разрешения, причем эти
вопросы должны решаться комплексно и на разных уровнях государственных,
общественных, региональных и международных структур. В случае проведения
такой работы очень важно определить приоритеты всех несметных проблем и
вопросов, которые возникают в наше время в отрасли экологии.
Теперь важнейшим аспектом гидроэкологических исследований, которые
включают и организацию экологического мониторинга, является проблема
получения комплексной гидроэкологической оценки и разработка экологического
прогноза состояния водных экосистем и качества естественных вод с дальнейшим
их регулированием (управлением), которое остановило бы дальнейшуюСерьезная
обеспокоенность вызывает именно состояние водных объектов и качества
естественных вод, поскольку многочисленные водоемы и водотоки есть основные
источники пресной воды, которая так необходима для разнообразных потребностей
всех отраслей хозяйства. Жизнь на Земле невозможна без воды, все живого не
может существовать без воды, и эта вода должна быть достаточно высокого
качества. С другой стороны вода есть хороший ростворитель большинству, в том
числе и токсичных, веществ, которые негативно влияют на биологические системы.
Процесс формирования качества поверхностных вод и состояние водных
экосистем зависит как от разных естественных факторов, так и от многих факторов
антропогенного и техногенного происхождения. В одних случаях влияние
антропогенных факторов не приводит к существенным изменениям в структуре и
функциональных особенностях водных экосистем, в других - действие таких
факторов приводит к существенному ухудшению основных показателей качества
воды и к деградации водных экосистем. Такая неоднозначность влияния
антропогенных факторов на естественные и, в частности, водные объекты что
процессы функционирования живых организмов и их сообществ, а также состояние
водных экосистем в целом зависит от структуры всех компонентов экосистемы, от
возможности к самоочистке и экологической емкости того или другого водного
объекта.
Метод математического моделирования исключительно эффективен для
количественной оценки и прогноза состояния экологических систем, их реакций на
многочисленные антропогенные влияния. Этот метод играет большую роль,
особенно когда конечной целью является не только описание и оценка состояния
естественной среды, но и регулирование (управление) с учетом фактического и
прогнозируемого состояния, экологического резерва (экологической емкости),
который должен служить оптимизации взаимоотношений сообщества с природой.
Анализ последних исследований и публикаций. Проблемам исследования
качества поверхностных вод и их математического моделирования уделяется
значительное внимание отечественных и зарубежных ученых. Значительный вклад в
решение этих проблем внесли Г.И. Марчук, М.З. Згуровський, В.В. Скопец,
М.Й. Железняк, О.А Самарский. Основной подход в этих трудах посвящен
использованию разностных схем для числового моделирования движения
поверхностных вод и распространения загрязнений. В то же время актуальным
является вопрос повышения эффективности и быстродействия решения
соответствующих математических моделей, которые основываются на числовоаналитических методах решения соответствующих краевых задач математической
физики. В этом направлении автором было предложено математическое
моделирование содержимого растворенного кислорода и биохимического
употребления кислорода в поверхностных водах [1], а процессов очистки водоемов
[2], оценка качества поверхностных вод представлено в работе [3], более сложным
является Моделирование радиационного загрязнения в открытых водоемах [4], а
процесса распространения загрязняющих веществ в мелких водоемах [5].
Полученные дальнейшие результаты исследование требуют проведении
практической апробации путем обсуждение предложенного подхода к определению
структуры решения системы уравнений гидродинамики.
Формулирование целей статьи. Автор поставил за цель осуществить
обсуждение предложенного подхода к определению структуры решения системы
уравнений гидродинамики.
Изложение основного материала статьи. В результате применения
численно-аналитического метода решения нелинейных уравнений в частных
производных [6] к решению системы уравнений гидродинамики (уравнений НавьеСтокса) в [7] получено решение для компонент скорости движения субстанции
u = [u x , u y , u z ]
(жидкостная или газовая среда) в таком виде (на первой итерации).
u x(1) ( x,
y, z, t ) =
u x(0) ( x,
y, z, t ) 
Nx N y Nz
X ( , x)Y (
i
i
j

(1)
i , j y ) Z k ( i , j , k z )[U 1i , j , k
 U 2i(1)
, j , k ]e
 i , j , k t
.
(1)
Согласно общей схемы итерационного процесса линейна часть решения
системы нестационарных уравнений гидродинамики, которая содержит и уравнения
Навье-Стокса, может быть представлена в виде ряда
i =1 j =1 k =1
u x(0) ( x,
Nx N y Nz
y, z , t ) =
  X
i =1 j =1 k =1
X u ( i , x)
Yu (i , j y)
ux
(0)
( i , x)Yu ( xi , j y ) Z u (xi , j ,k z )[U 1i(0)
, j , k  U 2 i , j , k ]e
x
xi , j , k t
x
.
(2)
Z u ( i , j ,k z )
x
Здесь
, x
, x
—собственные функции линейной части
краевой задачи на собственные значения и функции относительно компонент
скорости u x [8]. Числа N x , N y , N z определяют количество членов ряда, которые
учитываются в решении с учетом необходимой точности решения. Величины
U1i(0)
, j ,k
,
U 2i(0)
, j ,k
определяются начальными и граничными условиями соответствующей
краевой задачи.
По аналогии можно записать решение линейной части относительно
компонент скорости u y , u z :
u (0)
y ( x,
Nx N y Nz
y, z, t ) =
 X
i =1 j =1 k =1
u z(0) ( x, y, z , t ) =
Nx N y Nz
  X
uz
uy
(0)
(yi , x)Yu ( yi , j y ) Z u (yi , j ,k z )[V 1i(0)
, j , k  V 2 i , j , k ]e
y
 i , j , k t
y
(3)
(0)
(zi , x)Yu ( zi , j y ) Z u (zi , j ,k z )[W 1i(0)
, j , k  W 2 i , j , k ]e
z
.
z
 i , j , k t
.
(4)
Следующий этап состоит в определении интегральных преобразований о
произведения искомых функций в конвективной части квазилинейных уравнений
Навье-Стокса – u x u x /x , u y u x /y , u z u x /z в первом уравнении, u x u y /x , u y u y /y ,
u z u y /z
– во втором и u x u z /x , u y u z /y , u z u z /z в третьем уравнении системы. То же
относится и к уравнениям относительно температуры потока жидкости или газа и
концентрации примесей в потоке.
Произведение выражений вида (2), (3) и применение интегральных
преобразований по пространственным переменным приводит к выражениям вида
i =1 j =1 k =1
Nx N y Nz Nx N y Nz
U 3
i , j ,k e
xi , j , k t
V 3l ,m,n e
 l , m , nt
.
(5)
Реализация последующих итераций каждый раз приводит к удвоению сумм
относительно временной переменной t, что фактически делает невозможным
дальнейшее использование итерационной схемы.
В связи с этим в работе решается проблема эквивалентного упрощения
выражений вида (5) таким образом, чтобы унифицировать процесс получения
решения на каждой итерации с сохранением динамических свойств и сделать
возможным их дальнейшее использование для решения квазилинейной системы
i =1 j =1 k =1 l =1 m =1 n =1
уравнений Навье-Стокса.
В работе предлагается алгоритм эквивалентного упрощения, который
основывается на применении теории цепных дробей [8].
Применим к выражению (5) интегральное преобразование Лапласа. Имеем:
Nx N y Nz Nx N y Nz
Ri , j ,k ,l ,m,n
 p  x
i , j ,k
i =1 j =1 k =1 l =1 m =1 n =1
  l ,m,n
.
(6)
Рассмотрим сначала частичную сумму вида
N
Y ( p) =
 p 
Rn
n =1
.
(7)
n
Представим ее в виде дробно-рациональной функции
N 1
b p
n
n
Y ( p) =
n=0
N
a
.
np
n
(8)
Применение алгоритма эквивалентного упрощения [8] дает возможность
получить вместо (8) такое выражение.
n=0
Y ( p) 
b0  b1 p
.
a0  a1 p  a2 p 2
(9)
В пространстве оригиналов этому выражению соответствует функция
y(t ) = e t [ A1 (t )  B 2 (t )],
(10)
где
 cos t ,  > 0
cosh t ,  < 0.
1 (t ) = 
 sin t ,  > 0
sinh t ,  < 0.
 2 (t ) = 
Повторное применение алгоритма (8)--(9) до остальных составляющих ряда
(5) дает возможность получить выражение вида (10). Обоснование такого подхода –
компьютерное моделирование такого вида выражений и известный факт из теории
автоматического управления, суть которого сводится к тому, что любая устойчивая
система автоматического управления высокого порядка ведет себя так же, как
система управления второго порядка с запаздыванием.
Таким образом, можно записать, что
Nx N y Nz Nx N y Nz
U 3
i , j ,k e
xi , j , k t
V 3l ,m,n e
 l , m , nt
 e t [ A1 (t )  B 2 (t )].
(11)
Тогда решение, например, первого уравнения (1) системы квазилинейных
уравнений Навье-Стокса можно приближенно представить в виде функций
i =1 j =1 k =1 l =1 m =1 n =1
u x(1) ( x,
y, z, t ) =
u x(0) ( x,
y, z, t ) 
Nx N y Nz
X ( , x)Y (
i
i
j

i , j y ) Z k ( i , j ,k z ) 
i =1 j =1 k =1
e
 i , j , k t
[ Ai , j ,k1 (i , j ,k t )  Bi , j ,k 2 (i , j ,k t ).
(12)
Ошибки, которые накапливаются за счет такой аппроксимации, во-первых не
столь существенны для устойчивой системы (рис. 1), во-вторых их можно
компенсировать за счет выполнения дополнительных итераций при решении
системы уравнений.
.
Рис. 1.
Таким образом, в работе предлагается обсудить рассмотренную задачу
эквивалентного упрощения выражений, получаемых при решении системы
квазилинейных уравнений Навьє-Стокса. Предложениый алгоритм в методике
упрощения, основанный на применении теории цепных дробей. Предложенный
алгоритм может быть эффективно применен для решения широкого класса
нелинейных нестационарных уравнений математической физики.
Литература.
1. Зеленський К.Х. Математичне моделювання вмісту розчиненого кисню та
біохімічного вживання кисню у поверхневих водах / К.Х. Зеленський,
Л.М. Семанишин // Міжв. Наук.-техн. Зб. Адаптивні системи автоматичного
управління, 2007. – №11(31). – С.112 – 117.
2. Семанишин Л.М. Моделювання процесів очищення водоймі /
Л.М. Семанишин // Доповіді міжнародної наукової конференції ISDMCI’2009,
Євпаторія, 2009. – С. 89 – 90.
3. Зеленський К.Х. Оцінка якості поверхневих вод / К.Х. Зеленський,
Л.М. Семанишин // Восточно-европейский журнал передовых технологий, 2008. –
№2 (32). – С.13 – 16.
4. Семанишин Л.М. Моделювання радіаційного забруднення у відкритих
водоймах / Л.М. Семанишин // Доповіді міжнародної наукової конференції
ISDMCI’2011, Євпаторія. 2011. – С.108 – 110.
5. Семанишин Л.М. Моделювання процесу розповсюдження забруднюючих
речовин у мілких водоймах / Л.М. Семанишин // Тези доповідей VI Всеукраїнської
науково-практичної конференції «Комп’ютерні технології: наука і освіта, Київ, 2012.
– С.128 – 132.
6. Ітераційний метод розв'язання нелінійних крайових задач / К.Х. Зеленський.
Наукові нотатки. Міжв. збірник. Вип. 26. – Луцьк, ЛНТУ, 2009. – С.92 – 106.
7. Теплообмен и гидродинамика в полях центробежных массовых сил. Том 3.
– Закрученные потоки: / Халатов А.А., Авраменко А.А., Шевчук И.В// Институт
техн. теплофизики НАНУ, 2000. –474 с.
8. Комп’ютерні методи прикладної математики / Зеленський К.Х, Ігнатенко
В.М, Коц О.П. // К.: Наукова думка, 2002. – 480 с.