"Производная и её применения».. по теме

Интегрированный урок (математика + физика) 11-й класс.
по теме
"Производная и её
применения»..
Садырина В.С – учитель физики.
Павловская Н.М. – учитель
математики.
«Вся глубина мысли, которая заложена в
формулировку
математических
понятий,
впоследствии раскрывается тем умением, с
которым эти понятия используются»
Е. Вагнер
Жозеф Луи Лагранж
25.01.1976 – 10.04.1813
Французский математик, астроном
и механик.
В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе
Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная»,
ему же мы обязаны и современным обозначением производной
(с помощью штриха). Термин «вторая производная» и
обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.
СИСТЕМАТИЗИРУЕМ
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ!!!
1.
2.
Умение дифференцировать.
•
•
знать правила дифференцирования
знать таблицу производных
Применение геометрического смысла
производной.
3. Применение физического смысла
производной.
Вычислите:
I вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(2)
x
(•(х))
(ctg x)
(X n)
(tg x)
(g(f(x)))
(x)
(kx + m)
K = tg 
II вариант
1.
(X n)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x
(u(x)•v(x))
(cos x)
(c)
(u(x) + v(x))
(sin x)
(u(x)v(x))
(lnx)
(log5 3x)
Ответы к диктанту
Оценка результата выполнения диктанта:
«3» - 5 заданий, «4» – 7 заданий, «5» – 10 заданий
1вариант
1) 2x
2) -1/x2
3) K f ’(x)
2
4) -1/sin x
5) nxn-1
6) 1/cos²x
7) g’(f(x)) •f’(x)
8) 1
9) K
10) f ’(x0)
2вариант
n-1
1) nx
2) 1/(2 √x)
3) u’(x) ‫( ט‬x)+‫(‘ט‬x)u(x)
4) –sin х
5) 0
6) U’(x)+ ‫(’ט‬x)
7) cos X
8) (u’(x) ‫(ט‬x) – ‫(’ט‬x)u(x))/‫ט‬2(x)
9) -1/x
10) 3/(xln5)
САМОПРОВЕРКА!!!
Найдите производные функций.
1
Проверяем:
f ( x)  (3 cos( 2x ))   3(cos( 2x ))   ( 2х )  
 3 sin( 2x )  2  6 sin( 2x)
2
Проверяем:
2
 (t ) 
(sin( 3t   ))   (3t   )  
3
2

cos(3t   )  3  2 cos(3t   )
3
ЗНАНИЕ ТЕОРИИ
f '(x₀) = tg α = к
угловой
коэффициент
касательной
значение
производной в
точке Х₀
тангенс угла
наклона
касательной к
положительному
направлению оси
ОХ
 В чем состоит геометрический смысл производной ?
 В
любой
ли
точке
графика
можно
провести
касательную?
 Какая функция называется дифференцируемой в
точке?
 Касательная
наклонена
под
тупым
углом
к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, …
 Касательная
наклонена
под
острым
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, …
углом
к
 Касательная
наклонена
под
прямым
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, …
углом
к
 Касательная параллельна
совпадает. Следовательно, …
оси
ОХ,
либо
с
ней
Примеры применения производной (ЕГЭ, В8)
1. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной в точке x0.
α – тупой, tg α<0, f '(x0)<0
y
3
tg α = - tg β
y=f(x)
1
0 1
β
x
2 0
tg α = - 3/2 =
= - 1,5 = f '(x0)

x
2. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной в точке x0.
 острый
y
3
tg α>0, f '(x0)>0
y=f(x)
tg α = 3/1 = 3 =
= f '(x0)
1
x0 0 1
1
x
3. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной в точке x0.

y
1
tg α = 0
f '(x0) = 0
x0
0 1
= 0
x
Касательная
параллельна
оси ОХ.
4. Найдите угловой коэффициент касательной,
проведенной к графику функции y  cos 2 x
в точке с абсциссой
x0 

4
Решение.
f '(x₀) = tg α = к
y  (cos 2 x)   sin 2 x  (2 x)  2 sin 2 x



y( )  2 sin( 2  )  2 sin( )  2 1  2
4
4
2
Угловой коэффициент касательной равен
-2 .
х
v
t
Δх – изменение координаты тела
Δt – промежуток времени,
в течение которого выполнялось
движение
При t  0 v. называют мгновенной скоростью v(t ),
следовательно, v(t )  х (t ).
х (t )  v(t )
f ( х )  v ( x )
.
V
м
x,с
v1x
v0
x
0


v
tg 
t
t
t, с
v x
t
V
м
x,с

v0

tg 
v
v x
t
x
0
t
t, с
ax  vx
 ax

tg  0, a x  0
V
м
x,с
tg 
v0
v0

t
t
tg  0, a x  0
x

v x
t, с
V
м
x,с
v1x
v0
tg 
1
x
0
t
v x
t
ax  vx
t, с
 ax

tg  0, a x  0
tg  0, a x  0
Примеры применения производной (ЕГЭ)
1. Материальная точка движется по
закону Х (t )  9 t 2  7t  6
2
В какой момент времени (с) скорость
точки будет равна 12,8 м/c ?
Решение.

х (t)  V(t)
Х (t )  9t  7  V (t )
V (t )  12,8
9t  7  12,8
9t  19,8
t = 2,2c
2. Материальная
точка
Х (t )  15  3t  0,5 t
движется по закону
2
Чему равно ускорение (м/с2) в момент времени t ?
Решение.
Х (t )  (15  3t  0,5 t 2)  3  t  V (t )
 
V (t)
a(t)= x(t)
V (t )  (3  t )  1  a(t )
a(t )  1( м с ).
2
Ускорение равно 1 (м/с2).

x  x max sin (t   0 )




v0  0

v max

v0  0
a 0  a max
v1  v max
a1  0
x  x max sin( t   0 )
v (t )  x 
v  x max  cos(t   0 )
max
a (t )  v 
a   xmax  sin( t   0 )
2
a
max
 Каким вопросам был посвящен урок?
 Какие
теоретические
обобщались на уроке?
вопросы
 Почему
возникла
необходимость
интегрированного
урока
по
математике и физике?
4