Расчёт КПД теплового двигателя Задача Найти КПД цикла

Расчёт КПД теплового
двигателя
Задача
P, атм
10
Найти КПД цикла,
изображённого на
рисунке. Рабочий
газ – Азот.
0
2
4
V, л
Ликбез
Как найти изменение внутренней
энергии и работу для различных
процессов.
Изменение внутренней энергии.
Внутренняя энергия не зависит от вида
процесса и определяется только
начальными и конечными условиями.
𝑖
𝑖
∆𝑈 = 𝜈𝑅Δ𝑇 = Δ(𝑃𝑉)
2
2
Ликбез
Работа
Работа зависит от вида процесса и её в
каждом случае надо искать отдельно.
Процесс
Через P и V
V=const
(Изохорный)
P=const
(Изобарный)
0
pΔV
T=const
(Изотермический)
𝑉
PV ln(𝑉2)
1
Через T
0
𝑖
𝜈𝑅Δ𝑇
ѵRΔT
2
𝑉2
𝜈𝑅𝑇 ln( )
𝑉1
Q=0
(Адиабатный)
A= -ΔU
Строим таблицу
P, атм
1
10
№ точки
1
2
P, Па
10●105
5●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
3
4●10-3
Процесс 1-2 -изотермический
2
𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2
𝑃2 =
3
0
2
4
V, л
𝑉1
𝑃
𝑉2 1
=
2×10−3
4×10−3
× 10 × 105 = 5 × 105 Па
Строим таблицу
P, атм
1
10
№ точки
1
2
3
P, Па
10●105
5●105
3,8●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
4●10-3
2
Процесс 1-3 –адиабатный
𝑃𝑉 𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑖+2 7
𝛾=
= , т. к. азот двухатомный газ и у него
𝑖
5
5 степеней свободы 𝑖 = 5
𝑃1 𝑉
2
4
1
= 𝑃3 𝑉
7
5
7
5
2
7
−3
5
× 10
𝑉1
2
𝑃3 =
𝑃1 =
𝑉2
4 × 10−3
=3,8 × 105 Па
3
0
7
5
V, л
× 10 × 105 =
Строим таблицу № 2
№ точки
P, атм
1
10
1
2
3
P, Па
10●105
5●105
3,8●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
4●10-3
Процесс
A, Дж
ΔU, Дж
Q, Дж
1-2
1386
0
1386
2
2-3
3-1
3
0
2
4 V, л
Процесс 1-2 – Изотермический
ΔU=0
A=PV ln(V2/V1), P и V берём в любой, но одной
точке, например, в первой
𝑉2
𝐴 = 𝑃1 𝑉1 ln
= 10 × 105 × 2 × 10−3 × ln 2 =
𝑉1
=2000×0,693=1386 Дж
Q=A+ΔU=1386+0=1396 Дж
Строим таблицу № 2
№ точки
P, атм
1
10
1
2
3
P, Па
10●105
5●105
3,8●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
4●10-3
2
Процесс
A, Дж
ΔU, Дж
Q, Дж
1-2
1386
0
1386
2-3
0
-1200
-1200
3-1
3
0
2
Процесс 2-3 – Изохорный
A=0
5
∆𝑈 = 𝑃3 𝑉3 − 𝑃2 𝑉2 =
2
5
=2,5(3,8 × 10 × 4 × 10−3 − 5 × 105 × 4 × 10−3 )=
=-1200
4 V, л
Q=A+ΔU=0-1200=-1200 Дж
Строим таблицу № 2
№ точки
P, атм
1
10
1
2
3
P, Па
10●105
5●105
3,8●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
4●10-3
2
3
0
2
Процесс
A, Дж
ΔU, Дж
Q, Дж
1-2
1386
0
1386
2-3
0
-1200
-1200
3-1
-1200
1200
Q
Процесс 3-1 –Адиабатный
Q=0
5
∆𝑈 = 𝑃1 𝑉1 − 𝑃3 𝑉3 =
2
5
=2,5(10 × 10 × 2 × 10−3 − 3,8 × 105 × 4 × 10−3 )=
=1200
4 V, л
A=-ΔU=-1200=-1200 Дж
Считаем КПД
№ точки
P, атм
1
10
1
2
3
P, Па
10●105
5●105
3,8●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
4●10-3
2
Процесс
A, Дж
ΔU, Дж
Q, Дж
1-2
1386
0
1386
2-3
0
-1200
-1200
3-1
-1200
1200
Q
КПД тепловой машины 𝜂 = 𝑄
𝐴
нагревателя
3
0
2
A=1386+0-1200=186 Дж
Нагревателем являются те процессы, где Q>0
Qнагр=1386
4 V, л
186
𝜂=
= 0,13 = 13%
1386
Сравним КПД с максимальным
№ точки
P, атм
1
10
1
2
3
P, Па
10●105
5●105
3,8●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
4●10-3
2
0
2
𝜂Карно
Процесс
A, Дж
ΔU, Дж
Q, Дж
1-2
1386
0
1386
2-3
0
-1200
-1200
3-1
-1200
1200
Q
Максимально возможный КПД тепловой машины
в данном диапазоне температур – КПД машины Карно
𝑇холодильника
𝜂Карно = 1 −
𝑇нагревателя
3
В нашем случае нагреватель: процесс 1-2 (максим.
Температура, холодильник: точка 3 (мин. Темпер)
4 V, л
𝑇хол
𝑇3
𝑃3 𝑉3
3,8 × 105 × 4 × 10−3
=1−
= 1− =1−
=1−
= 0,24 = 24%
𝑇нагр
𝑇1
𝑃1 𝑉1
10 × 105 × 2 × 10−3
Сравним КПД с максимальным
№ точки
P, атм
1
10
1
2
3
P, Па
10●105
5●105
3,8●105
V, м3
2●10-3
4●10-3
4●10-3
2
Процесс
A, Дж
ΔU, Дж
Q, Дж
1-2
1386
0
1386
2-3
0
-1200
-1200
3-1
-1200
1200
Q
Таким образом КПД нашей тепловой машины
составляет 13/24 = 0,54=54% от максимально
возможного.
3
0
2
4 V, л
Д/З
P, атм
1
5
3
Процессы
1-2 – Адиабатный
2-3 – Изотермический
3-1 – Изохорный
Газ – Гелий (3 степени свободы)
Найти КПД цикла и сравнить с максимально
возможным
2
0
2
4
V, л