Выпучивание нелинейно-упругой длинной цилиндрической

ВЫПУЧИВАНИЕ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ДЛИННОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
НЕРАВНОМЕРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ
Р. Ю. Амензаде, Э. Т. Киясбейли, Л. Ф.Фатуллаева
Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан
В различных конструкциях в качестве несущих элементов используются
тонкостенные кольца, материал которых обладает свойством нелинейной упругости. На
основе этой модели можно описывать поведение длинных цилиндрических оболочек в
области, где можно пренебречь влиянием закреплений.
Введем в рассмотрение круговое кольцо радиуса R и толщиной 2h . Уравнение
состояния запишем посредством равенства [1]
    

1  
E    0 

n

(1)
,

которое
представляет
зависимость
«напряжение-деформация»
для
многих
конструкционных материалов с достаточной для инженерных целей точностью. Здесь  –
напряжение, E – модуль упругости,  0 – предел пропорциональности, n – показатель
нелинейности. Если n четное, то зависимость (1) справедлива как для сжатия, так и для
растяжения. Отметим, что при n  2 уравнение (1) является достаточно хорошей
аппроксимацией закона упругости для армированных пластиков, некоторых алюминиевых
сплавов, дюраля. Значение n  4 соответствует диаграмме линейного упрочнения. При
достаточно больших n соотношение (1) приближенно описывает закон идеальной
пластичности (схема Прандтля).
Рассмотрим выпучивание выбранного кольца под действием неравномерно
распределенной по поверхности радиальной нагрузки вида
ev 
q  q0 1   sin 2   .
(2)
Рассматривая q0 как управляющий параметр нагружения, будем исследовать процесс
выпучивания кольца по мере того, как q0 монотонно увеличивается от нулевого значения.
Для этого нам потребуется нелинейная теория конечных перемещений.
Далее примем наиболее простую геометрически нелинейную теорию, при которой
можно пренебречь касательным перемещением, учитывать нелинейность только прогиба
w и считать справедливым неравенство w R  1 . Вследствие гипотезы плоских сечений
запишем    0  kz .
Введя в рассмотрение полярные координаты ( z ,  ) , величину  0 и кривизну 
определим по формулам нелинейной теории тонких оболочек [2]
2
w
1  w 
1  2w 
0   2   ,    2  2  .
(3)
R 2 R   
R   
Решение задачи осуществим посредством вариационного метода смешанного типа
[3]. Выражение соответствующего функционала записывается следующим образом:
2
h 2  2

  w  
R



d

dz


0  2 R 2    


2 h 0  E



n
2

    
1  (n  1)     d dz  R  qwd .
  R

  0   
h
0
Точкой здесь и далее обозначается дифференцирование по q0 , то есть
h 2
q  1   sin 2  .
(4)
Преимущество такого подхода заключается в возможности определения
критической нагрузки, без решения дифференциальных уравнений Эйлера, которые в
исследуемом случае являются нелинейными. Для нахождения стационарного значения
функционала (4) применим метод Рэлея-Ритца. Для этого положим
(5)
w  w0 (q)  w1 (q) cos 2 , M  m(q) cos 2 .
Такая форма выпучивания представляется физически адекватной приложенной нагрузке
(2). Что касается закона распределения напряжения по толщине, то в силу тонкостенности
примем его линейным
qR 3z
 

M.
(6)
2h 2h3
Дальнейший ход вычислений состоит в том, что выражения (1), (2), (3), (5) и (6)
подставляются в (4), и функционал  находится как функция w0 , w1 , m и их
производных по q0 . Затем  варьируется по w0 , w1 и m , в результате чего получается
система трех уравнений. После ряда выкладок приходим к одному нелинейному
уравнению первого порядка относительно w1 . Введя безразмерные величины   h / R ,
a  w1 / h ,   E /  0 ,   q0 / E и перейдя к безразмерному дифференцированию по
правилу d dq0  E 1 d d , окончательно получаем уравнение
4 3 
n
3
(2   )    n n 1 n   p  2 a p
4
p 0
d
,

n
da 3
n n n
p
p 1
(2   )a       p 1a   p  2 a 
4
p 0
в котором  p i 
Cnp (n  1)(1)n p 3 p i 1  (1) p i 1  (2   ) p i 1
2
n  p i 1
( p  i  1)
2
K p i 
 1   sin  
2
n  p  (2 i )
K p i , Cnp 
(7)
n!
,
p !(n  p)!
cos p i 2 d , (i  1, 2) .
(8)
0
Уравнение (7) необходимо дополнить начальным условием a (0)  w10 h  a0 . Здесь w10 –
задаваемая амплитуда начального несовершенства.
Методом Рунге-Кутта численно решена задача Коши для уравнения (7) при a0  10 1 ,
  101,   300 и определены значения критических сил при дополнительном требовании
d da  0 . Отметим, что интегралы (8) вычислялись по методу Симпсона.
В таблице приведены зависимости  кр от  при n  2, 4, 6 .

кр (n=2)
кр (n=4)
кр (n=6)
-3
-3
0
0,44·10
0,35·10
0,32·10-3
0,2
0,4
0,6
0,4·10-3
0,37·10-3
0,34·10-3
0,32·10-3
0,29·10-3
0,27·10-3
0,29·10-3
0,27·10-3
0,26·10-3
0,8
0,32·10-3
0,25·10-3
0,24·10-3
1,0
0,29·10-3
0,24·10-3
0,23·10-3
Отсюда следует, что критическая сила существенно зависит от параметра  . Так
при n  2 учет неравномерности внешнего давления приводит к уменьшению
критической силы до 34%. С увеличением степени нелинейности наблюдается
уменьшение критической силы. Например, при   0, 6 это уменьшение составляет около
24%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хофф Н. Продольный изгиб и устойчивости. – М.: Изд-во Иностранной
литературы, 1955. – 156 с.
2. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. – Казань: Изд-во КГУ,
1975. – 325 с.
3. Амензаде Р.Ю. Выпучивание сжатого стержня, изготовленного из нелинейного
материала // Уч. зап. АзГУ. – 1970. – № 1. – С. 70–82.