Необычное об обычных натуральных числах

Необычное об обычных
натуральных числах
математика.
Автор:
Беляева Мария,
г. Пермь, МАОУ «Лицей№10», 7 класс
Руководитель:
Кузнецова Светлана Валерьевна,
Г. Пермь, МАОУ «Лицей№10»
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Содержание
Цели и задачи
Немного истории
Фигурные числа
Многоугольные числа
Римские числа
Совершенные числа
Дружественные числа
Компанейские числа
Число Шахерезады
Число на гробнице
Число Смита
Магические числа
Интересные свойства чисел
Заключение
Отзыв
Список литературы
3
4
8
11
12
18
19
20
22
23
24
26
30
35
36
37
Всего 37
2
Цели и задачи
• Узнать какие числа называются фигурными,
многоугольными, дружественными, совершенными,
компанейскими;
• рассмотреть свойства числа Шахерезады и числа на
гробнице;
• показать необычные свойства натуральных чисел.
3
Немного истории
Наиболее простой «счетной машинкой» были пальцы рук
и ног.
4
Немного истории
В Месопотамии пять тысяч лет назад числа выглядели вот
так:
Представьте сколько нужно места, чтобы записать число
с помощью таких галочек.
39
5
Немного истории
Современные археологи нашли в египетских пирамидах
надписи, расшифровав которые они смогли открыть
способ записи чисел, которым пользовались древние
египтяне
Пример :
4622
6
Немного истории
Самый удобный способ записи чисел тот, которым мы
пользуемся сейчас. Его придумали в глубокой древности
индийцы. Им же принадлежит изобретение цифры 0. Со
временем индийские цифры видоизменили арабы.
7
Фигурные числа
Фигурные числа – это общее название чисел,
геометрические представление которых связано с той или
иной геометрической фигурой.
8
Фигурные числа
Давным-давно, помогая себе при счете камушками,
люди обращали внимание на правильные фигуры,
которые можно выложить из камушков.
Если класть камушки в два ряда,
чтобы получались
прямоугольники, мы обнаружим,
что получаются все четные числа.
Можно выкладывать камни в три
ряда: получатся числа, делящиеся
на три.
9
Фигурные числа
Среди фигурных чисел различают:
Линейные числа (т. е. простые числа) – это числа, которые делятся
только на единицу и на самих себя и,
следовательно, представимы в виде
последовательности точек, выстроенных в линию.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
Плоские числа - представимые в виде
произведения двух сомножителей
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
Телесные числа – выражаемые
произведением трех сомножителей.
8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …
10
Многоугольные числа
Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить
классы многоугольных чисел
Треугольные числа: 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10
Квадратные числа представляют произведение
двух одинаковых натуральных чисел
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…(1+3=4, 1+3+5=9,
1+3+5+7=16)
Пятиугольные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70,…
Шестиугольные числа: 1, 6, 15, 28
Именно от фигурных чисел пошло
выражение «Возвести число в квадрат или в
куб»
11
Римские числа
12
Римские числа
Римские цифры, изображающие один,
два, три и четыре в точности похожи на
выпрямленные пальцы. Изображение числа
5 выглядит как раскрытая ладонь с
оттопыренным большим
пальцем, а цифра 10 – это
две скрещенные руки.
13
Римские числа
Например:
3946=3000+900+40+6
MMM.CM.XL.VI
14
Римские числа
Четыре раньше писали так: IIII
Сейчас: IV
Возможно из-за бога
Юпитера (IVPITER) и
пошло число 4 – IV
В древности U и V
не различали.
15
Римские числа
• 10 раньше: палочка вертикальная (l) и просто
перечеркнутая по диагонали.
Сейчас: X
• 100 раньше: палочка вертикальная (l) и
перечеркнутая двумя линиями по диагонали.
Сейчас: C
• 50 раньше: стрелочка вниз ( )
Сейчас: L
16
Таблица Римских чисел
17
Совершенные числа
Это натуральное число, которое равно сумме всех своих
делителей. Совершенные числа были известны еще
математикам Древней Греции
Первое самое меньшее совершенное число —
(1 + 2 + 3 = 6).
6
28
Второе по старшинству совершенное число —
(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Третье совершенное число — 496
(1+2+48+16+31+62+124+248 = 496),
четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336,
шестое — 8 589 869 056, седьмое — 137 438 691 328.
18
Дружественные числа
Два различных натуральных числа, для которых сумма
всех собственных делителей первого числа равна второму
числу.
Первая пара таких чисел была открыта еще последователями
Пифагора. (Пифагор, около 500 до н.э.)
Такой парой являются числа 220 и 284. Эта пара чисел
считалась символом любви.
Леонард Эйлер открыл 59 пар . Николо Паганини в 1867г.
открыл пару 1184 и 1210, ближайшею к 220 и 284. Эту пару
пропустили все известные математики, занимавшиеся
дружественными числами.
19
Компанейские числа
Компанейскими называется такая
группа чисел, в которых сумма
собственных делителей первого числа
равна второму, сумма собственных
делителей второго – третьему и т.д.
20
Компанейские числа
12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
Сумма собственных делителей числа 12496:
1+2+4+8+11+16+22+44+71+88+142+176+284+568+781+
1136+1562+3124+6248=14288
Для числа 14288:
1+2+4+8+16+19+38+47+76+94+152+188+304+376+752+89
3+1786+3572+7144=15472
Если продолжим, то найдем следующие числа: 14536,
14264
21
Число Шахерезады
• Число 1001 - число Шахерезады.
• Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 – на три
последовательных простых числа, произведением которых
оно и является
1001 = 7 х 11 х 13
• При умножении на него трехзначного числа получается
результат, состоящий из самого умноженного числа,
только написанного дважды. Например:
873 x 1001 = 873873.
207 x 1001 =207207 и т. д.
22
Число на гробнице
• В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на
каменной плите гробницы выгравированное
иероглифами число
2520
• Оно без остатка делится на все без исключения целые
числа от 1 до 10.
23
Числа Смита
Современная наука не стоит на месте. Появляются
новые открытия.
Понятие чисел Смита было введено в 1982г. Альбертом
Вилански из Университета Лехай. Он заметил, что
телефонный номер(4937775) его зятя Гарольда Смита
обладал тем свойством, что сумма его цифр равнялась
сумме цифр всех его простых сомножителей.
Сумма цифр 4+9+3+7+7+7+5=42,
Сумма цифр разложения равна (3, 5, 5, 65837)
3+5+5+6+5+8+3+7=42
Вилански назвал такой тип чисел по имени своего зятя.
24
Числа Смита
• Число Смита — такое составное число,
сумма цифр которого равняется сумме цифр
всех его простых сомножителей с учётом
кратности. Так, примером числа Смита
может служить 202 = 2·101, поскольку 2 + 0
+ 2 = 4, и 2 + 1 + 0 + 1 = 4.
• Первыми числами Смита являются:
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274,
…
25
Магия числа
• Число 0. Это символ абсолюта, бесконечности и является
числом непроявленного мира. Это начало всех вещей, это
сон или смерть. Графически изображается как кольцо или
круг.
0
26
Магия числа
• Число 4 в Китае и Японии – число смерти.
• Число 7 – таинственное число, ещё и потому, что человек
воспринимает окружающий мир (свет, звуки, запахи, вкус)
через семь «отверстий» в голове (два глаза, два уха, две
ноздри, рот).
• Число 9 - Таинственную силу приписывали древние ,
причем в одни времена добрую, в другие – злую. У
древних римлян -добрая слава; у монголовсовершенство; в японо-китайском мире – несчастливое
число; воспринимается как «болезнь».
27
Магия числа
• Число 12 –«дюжина»: 12 месяцев в году, 12 знаков Зодиака,
12 делений на циферблатах часов, сервизы на 12 персон.
Число 12 замыкало свет.
• Число 13 – сулит одни неприятности. Оно простое и делится
только на себя и единицу. Люди многих стран (Англия,
Франция, Польша и др.) считают это число несчастливым,
испытывают перед ним панический страх и стараются
избегать его. У наших предков – славян не было суеверий,
связанных с числом 13.
28
Магия числа
• Таинственные совпадения.
В году 365-366 дней.
У людей нормальная температура - 36.5 и 36.6 градусов.
Скорость движения Земли вокруг Солнца - 108 х 10 км/час.
Объем Земли - 108 х 10 км3. Масса Солнца-108 х10 тонн
29
Свойства чисел
Много интересного можно увидеть, если внимательно
посмотреть на числа, которые нас окружают.
• Чудо девятки.
1. На какое число вы бы ни умножили девятку, сумма цифр
произведения дает девятку .
2x9=18 1+8=9;
3x9 =27 2+7=9
2. Если к девятке прибавить опять же любую цифру, то сумма
цифр суммы будет равна второму слагаемому.
9+7=16 1+6=7;
9+9=18 1+8=9
• Необычное число 12.
В минуте 12 пятисекундок. В часе -12 пятиминуток, дважды 12
часов в сутках, 12 месяцев в году.
30
Свойства чисел
Существуют различные удивительные равенства
142857 ∙ 7=999999, 123456789 ∙ 81=9 999 999 999,
98765432 ∙ 9=8 888 888 888
А чем не удивительно равенство таких сумм:
23+32=14+41, 28+82=19+91, 43+34=16+61, 522+225=324+423,
287+782=485+584, 334+433=166+661
31
Свойства чисел
• Существуют равенства, у которых обе стороны выражаются
одними и теми же цифрами:
92-72=9+2+7+2, 42:3+3=4∙2+3∙3, 34-21=3∙4+2-1, 95:5=9+5+5
63:3=6∙3+3, 2+7∙2∙16=272+16
• Сумма и произведение чисел отличаются только
расположением цифр:
9+9=18 и 9∙9=81, 263+2=265 и 263∙2=562,
24+3=27 и 24∙3=72,
497+2=499 и 497∙2=994
32
Свойства чисел
• Произведение чисел не изменится, если в каждом
сомножителе переставить цифры.
13∙93=31∙39, 14∙82=41∙28, 23∙ 64=32∙46, 12∙42=21∙ 24,
12∙63=21∙36, 23∙ 96=32∙69
462∙132=231∙264, 682∙143=341∙286,
20646∙35211=11253∙64602
33
Свойства чисел
• Если в четырехзначном числе записать цифры в порядке
убывания затем в порядке возрастания и найти их
разность, то через некоторое количество шагов получим
число
6174
Пример: 2185
8521-1258=7263, 7632-2367=5265, 6552-2556=3996,
9963-3699=6264, 6642-2466=4176, 7641-1467=6174
34
Заключение
• Математикой мы занимаемся везде: в
школе, дома, в транспорте, в магазине.
Математика была всегда. Наука не стоит на
месте. Каждый день происходят новые
открытия.
• Я узнала необычные свойства чисел,
интересные факты из истории чисел.
• Для себя совершила открытие, узнав много
нового и интересного.
35
Отзыв
Сколько еще открытий предстоит совершить
ученикам.
Данная работа является одной из работ в рамках
проекта «живая математика». В ходе работы ученица
узнала много нового из истории чисел, рассмотрела
уникальные свойства чисел.
Работа дала не только новые знания. Маша
выступила с этой работой перед 5, 6, 7классами, где
получила огромный опыт общения, выступления.
Детям очень понравилось, они готовы к новым
открытиям.
36
Литература
1. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. «За страницами учебника
математики». Пособие для учащихся 5 -6 классов ср. школы. – М.:
Просвещение, 1989. – 287с.: ил.
2. Мардахаева Е. Л. «Занятия математического кружка» 5 кл.
Учебное пособие для учащихся общеобразовательных
учреждений. – М.: Мнемозина, 2012. - 175с.: ил.
3. Петрова Ф. Г. «Математические вечера» Ижевск Удмуртия, 1968.
- 184 с.: ил.
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB
%D0%B0_%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B0
5. http://images.yandex.ru/yandsearch?p=3&text=%D0%BC%D0%B0%
D0%B3%D0%B8%D1%8F%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%
B5%D0%BB&clid=1214621&pos=119&uinfo=sw-783-sh-416-fw765-fh-448-pd-1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fwww.newnumerology.ru%2Fimages%2Fnumer.gif
6. http://www.lenagold.ru/fon/clipart/p/plan/planet14.jpg
37