9апреля2013

«Близнецы» и «мамы-детки». (8.04.2013)
1а. Вася заменяет звездочки в выражении * *... * , содержащем n звездочек,
числами 21, 22, ..., 2n, используя каждое ровно один раз. Какое наибольшее целое число он
может при этом получить? (Колмо1, лига А))
* *
*
1б. Вася заменяет звездочки в выражении 2  4 ...  n числами 1, 2, ..., n,
2
используя каждое ровно один раз. Какое наибольшее целое число он может при этом
получить?
(Колмо1, лига Б)
2а. Существует ли натуральное число, которое не является делителем никакого
натурального числа с суммой цифр, меньшей 1997?
(Колмо1)
2б. Существует ли натуральное число, делящееся на 11…1(n единиц), сумма цифр
которого меньше n?
(Вс82)
2в. Какие значения может принимать сумма цифр числа, делящегося на 11?
(ТЮМ5)
3а. На шахматной доске отметили 15 клеток. Докажите, что среди них есть две такие,
что с одной на другую конь может попасть не более чем за два хода. (ТЮМ12)
3б. Какое наименьшее число коней можно расположить на шахматной доске 88,
чтобы все белые клетки находились под боем хотя бы одного из этих коней?
(ТурКвант96)
4а. ?
4б. Докажите, что есть не меньше 1000 способов представить число 1998/1999 в
виде суммы нескольких чисел, обратных различным натуральным числам (т.е. в виде
суммы различных аликвотных дробей).
(Колмо2)
5а. Числа 1, 2, 3, …, 101 расположены в ряд в каком-то порядке. Докажите, что из
этого ряда всегда можно вычеркнуть 90 чисел так, что оставшиеся 11 расположены в
порядке возрастания или в порядке убывания. (М50)
5б. Доказать, что из 17 различных натуральных чисел либо найдутся пять таких
чисел a, b, c, d, e, что каждое из чисел этой пятерки, кроме последнего, делится на число,
стоящее за ним, либо найдутся пять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.
(ТГ4)
5в. Теорема Эрдёша-Секереша (Иванов, «Элементарная математика», с.222)