Урок к аттестации

Урок – семинар
Решение
тригонометрических
уравнений
« Пусть математика сложна,
Ее до края не познать,
Откроет двери всем она,
В них только надо постучать.»
История развития
тригонометрии
Тригономе́трия-от греч. τρίγονο
(треугольник) и греч. μετρειν
(измерять), то есть измерение
треугольников.
Тригономе́трия-раздел математики,
в котором изучаются
тригонометрические функции и их
приложения к геометрии.
История
Тригонометрия возникла из
практических нужд человека. С
ее помощью можно определить
расстояние до недоступных
предметов и, вообще
существенно упрощать процесс
геодезической съемки местности
для составления географических
карт.
Возникновение тригонометрии
связано с землемерением,
астрономией и строительным
делом.
Древняя Греция
Древнегреческие математики в своих
построениях, связанных с измерением
дуг круга, использовали технику хорд.
Перпендикуляр к хорде, опущенный из
центра окружности, делит пополам дугу и
опирающуюся на неё хорду. Половина
поделенной пополам хорды — это синус
половинного угла, и поэтому функция
синус известна также как «половина
хорды». Благодаря этой зависимости,
значительное число тригонометрических
тождеств и теорем, известных сегодня,
были также известны древнегреческим
математикам, но в эквивалентной
хордовой форме.
Средневековая Индия
Другие источники сообщают, что именно замена
хорд синусами стала главным достижением
Средневековой Индии. Такая замена позволила
вводить различные функции, связанные со
сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Таким образом, в Индии было положено начало
тригонометрии как учению о тригонометрических
величинах.
Индийские учёные пользовались различными
тригонометрическими соотношениями, в том числе
и теми, которые в современной форме выражаются
так:
sin2α + cos2α = 1
Дальнейшее развитие
тригонометрия получила в трудах
выдающихся астрономов Николая
Коперника (1473-1543) творца
гелиоцентрической системы мира,
Тихо Браге (1546-1601) и Иогана
Кеплера (1571-1630), а также в
работах математика Франсуа Виета
(1540-1603), который полностью
решил задачу об определениях всех
элементов плоского или
сферического треугольника по
трем данным.
Аналитическая теория
тригонометрических функций
в основном была создана
выдающимся математиком
XVIII веке Леонардом Эйлером
(1707-1783) членом Петербургской
Академии наук. Именно Эйлер первым
ввел известные определения
тригонометрических функций, стал
рассматривать функции
произвольного угла, получил формулы
приведения.
Блиц-опрос
•
•
Синусом угла α называется _____
точки, полученной поворотом
точки______ вокруг начала координат
на угол α
tg α =
•
•
sin2 α +cos2 α=
1+ tg2 α=
•
•
•
•
•
•
•
•
sin(-α)=
tg (-α) =
cos (α+β)=
sin (α-β)=
sin 2α=
tg (α+β)=
sin(π- α)=
cos (  + α)=
2
•
•
•
Косинусом угла α называется _____
точки, полученной поворотом
точки______ вокруг начала координат
на угол α
ctg α=
tg α∙ ctg α=
•
1+ ctg2 α=
•
•
•
•
•
•
•
•
cos (-α)=
ctg (-α) =
cos (α-β)=
sin (α+β)=
cos 2α=
tg 2α=
cos(π- α)=
sin (  + α)=
2
Блиц-опрос
•
•
Синусом угла α называется ордината
точки, полученной поворотом точки
(1;0) вокруг начала координат на угол α
tg α = sin 
•
•
sin2 α +cos2 α = 1
1
1+ tg2 α = cos α
•
•
•
•
•
•
•
•
sin(-α) = - sin α
tg (-α) = -tg α
cos (α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ
sin (α-β) = sinα cosβ - cosα sinβ
sin 2α = 2sin αcos α
tg (α+β) = tg  tg
1 - tg tg 
sin(π- α) =sin α

cos (
+ α) = -sinα
cos 
2
2
•
•
•
Косинусом угла α называется абсцисса
точки, полученной поворотом точки
(1;0) вокруг начала координат на угол α
ctg α= cos 
sin 
tg α∙ ctg α = 1
•
1+ ctg2 α=
•
•
•
•
•
•
•
•
cos (-α) = cos α
ctg (-α) = -ctg α
cos (α-β)=cosα cosβ +sinα sinβ
sin (α+β)= sinα cosβ + cosα sinβ
cos 2α=cos2 α-sin2 α
2tg
tg 2α= 1 - tg 2
cos(π- α)= - cos α
sin (  + α)=cos α
2
1
sin 2 α
Оценка
«5» - 12
«4» - 10 – 11
«3» - 7 – 9
«2» - 0 – 6
Формулы корней простейших
тригонометрических уравнений
1. cost = а , где |а| ≤ 1
Частные случаи
cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
cost=1
t = 2πk‚ kЄZ
cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
2. sint = а, где | а |≤ 1
Частные случаи
sint=0
t = πk‚ kЄZ
sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
3. tgt = а, аЄR
4. ctgt = а, а ЄR
t = arctg а + πk‚ k ЄZ
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
2
1) cos x  
2
1
2) cos 2 x 
2
3) cos( x 

)0
4
4) 2 cos 2 x  3

5) sin( 3 x  )  1
3

1
6) sin( x  )  
6
2
x
3
7) sin 
2
2
x
8) 2 cos  1
3
1
1) cos x 
2
2) 2 cos x   3
3) cos( x 

3
) 1

4) cos( 2 x  )  0
4
1
5) sin 3 x  
2

3
6) sin( 2 x  ) 
3
2
x
2
7) sin  
4
2
x 
8)2 cos(  )  1
3 4
Косекансом угла называется
отношение гипотенузы к
противолежащему катету.
Основные методы решения
тригонометрических уравнений
1. Cведение к квадратному
уравнению.
2. Решение однородных уравнений.
3. Решение уравнений разложением
на множители.
Уравнения, приводимые к
квадратным.
Уравнения вида asin²x + bcos²x + c = 0 и
acos ²x + bsin²x + c = 0 сводятся к квадратным
относительно t=cosx и t=sinx
Например: 2cos²x + 3 sin²x + 2cosx = 0.
Заменим sin²x = 1 - cos²x
2cos²x + 3 (1 - cos²x) + 2cosx = 0
cos²x - 2cosx – 3 = 0, получили квадратное уравнение относительно cosx.
Пусть t=cosx
t² -2 t – 3 = 0
t1 = 3,
t2 = - 1
cosx = 3 не имеет решения; cosx = -1
x =  +2n, nz.
Ответ: x =  +2n, nz.
Решение уравнений,
сводящихся к квадратным
1 вариант
2 вариант
2+2 cos2 x = 2sinx
3sinx = 2 cos2 x
Однородные тригонометрические
уравнения
1)Однородные уравнения первой степени – это уравнения
вида:
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то решаются такие уравнения
делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной.
Получим уравнение:
a∙tgx + b = 0
Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx = 0.
Получим
sin x
cos x
2
0
cos x
cos x
tgx  2  0
tgx  2
x  arctg 2  k , k  
Ответ:  arctg 2  k , k  
2) Однородные уравнения второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой
переменной.
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = 1, y2 = 3, отсюда
1) tg x = –1,
2) tg x = –3,
Ответ:


4
 k , k  ;  arctg 3  n, n  
Решение однородных уравнений по
уровням сложности
Решение однородных уравнений по
уровням сложности
1 вариант
3 sin x+ 5 cos x = 0
5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0
5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1
2 вариант
cos x+ 3 sin x = 0
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
Решение однородных уравнений по
уровням сложности
1 вариант
3 sin x+ 5 cos x = 0
Ответ: -arctg5/3 +πn, n€Z
5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0
Ответ: -arctg2/5 +πn, n€Z,
π/4 + πn, n€Z
5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1
Ответ: arctg1/2 +πn, n€Z,
- π/4 + πn, n€Z
2 вариант
cos x+ 3 sin x = 0
Ответ: -arctg1/3 +πn, n€Z
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
Ответ: arctg1/2 +πn, n€Z
arctg1/3 +πn, n€Z
4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
Ответ: arctg5/3 +πn, n€Z,
- π/4 + πn, n€Z
2 sin2 x – sin x cosx =0
Sin2x = cosx
cosx + cos3x = 0
Уравнения вида:
А sinx + B cosx = C
можно решить с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
Ответ:
Метод введения
вспомогательного аргумента.
Уравнение acosx + bsinx=c приводят к виду
a 2 b2 sin( x )c , где  вспомогательный аргумент.
Например:
sin x  3 cos x 1
1
3
1
2
2
sin x  cos x 
a b  13 2
2
2
2

 1
sin xcos  cos xsin 
3
3 2
 1
sin( x  ) 
3 2

п 
Ответ:  (1)  п,п.
3
6
а) Решите уравнение
sin 2 x
36
6
2 sin x
В) Укажите корни, принадлежащие
отрезку [-7π/2; -5π/2]
1 вариант
a) Решить уравнение
4 cos2 x + 4cos(π/2 + x) – 1 = 0
б) Укажите корни, принадлежащие
отрезку [π; 5π/2]
2 вариант
a) Решить уравнение
3 sin 2x  3cos 2x  0
б) Укажите корни, принадлежащие
отрезку [3π/2; 3π]