ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И МЕДИАНА Учитель математики МАОУ СОШ №3 Короткова А. Э. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1). Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2). Высота треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3). Пропорциональность площадей Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты. 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑆𝐴𝐾𝐶 𝑆𝐾𝐵𝐶 1 = 𝐶𝑀 ∙ 𝐴𝐵 2 1 = 𝐶𝑀 ∙ 𝐴𝐾 2 1 = 𝐶𝑀 ∙ 𝐾𝐵 2 C h а A К М Значит, SAВС:SAKС:SKBС=AB:AK:KB B Следствие 1 Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. В S ABM S MBC А М С Применение В 2 97 12 А М С Рассмотреть на уроке B C О А СЛЕДСТВИЕ 1. D S AOВ S BOC SCOD S ADВ S ABC 1 S DOA S ABCD 4 1 S ABCD 2 Следствие 2 СЛЕДСТВИЕ 2. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. S AOC1 S BOC1 S BOA1 SCOA1 SCOB1 S AOB1 1 S ABC 6 В С О А1 1 А В 1 С СЛЕДСТВИЕ 3. Доказать на уроке Средняя линия треугольника отсекает 1 от данного треугольник, площадь 4 которого равна площади исходного треугольника. B S MBN 1 S ABC 4 M A N K C Теорема СВОЙСТВО МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении два к одному, считая от вершины. В AO BO CO 2 OA1 OB1 OC1 1 С1 А О В1 А1 С Задача №3 Медианы ВК и ЕМ треугольника ВСЕ пересекаются в точке О. Найти SMOK:SCMK. Е К О В М С Решение. Обозначим SАВС = 1. SМЕС = ½. В треугольнике СМЕ МК – медиана => SСМК = SМКЕ = ½ SМЕС = ¼. В треугольнике МКЕ (по свойству точки пересечения медиан) ЕО:ОМ = 2:1 =>SЕКО : SМОК = 2:1, т.е. SМОК = ⅓ SМКЕ = ⅓·¼ = 1/12. SMOK:SCMK = (1/12) : (1/4) = 1:3.