Перпендикуляр и наклонные к плоскости . учитель математики ГАОУ СПО КСТ

Перпендикуляр
и наклонные к плоскости
учитель математики ГАОУ СПО КСТ
г. Калининград
Пехова Надежда Юрьевна
Пехова Н.Ю. 2013
Цели урока
• Повторить понятия расстояния от точки до прямой;
•
•
•
•
•
тригонометрические соотношения в прямоугольном
треугольнике.
Изучить новых понятий: перпендикуляр и наклонная к
плоскости, проведенные из одной точки; проекция
наклонной на плоскость; расстояние от точки до
плоскости.
Рассмотреть свойства наклонных и их проекций.
Изучить понятие угла между прямой и плоскостью.
Применить новые понятия в решении задач.
Продолжить развитие пространственного представления
и логического мышления.
Пехова Н.Ю. 2013
2
Тригонометрические соотношения в
прямоугольном треугольнике
А
𝒕
С
В
АВ – гипотенуза,
Для угла 𝒕:
катет ВС – противолежащий,
катет АС – прилежащий.
противолежащий катет
sin 𝛼 =
гипотенуза
прилежащий катет
cos 𝛼 =
гипотенуза
противолежащий катет
tg 𝛼 =
прилежащий катет
3
Таблица значений тригонометрических функций
некоторых углов
угол
30°
45°
60°
функция
sin 𝑡
1
2
cos 𝑡
3
2
3
3
tg t
Пехова Н.Ю. 2013
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
4
Упражнения:
а) Найдите синус, косинус и
тангенс угла А треугольника АВС
с прямым углом С, если
ВС = 8 см, АВ = 17 см.
А
б) Найдите катет ВС, если угол А
равен 60°, гипотенуза АВ = 12см.
С
В
в) Найдите катет АС, если
угол А равен 30°, катет ВС = 18см.
5
A
H
𝛽
P
M
HM – проекция
наклонной AM на
плоскость 𝛽,
НМ = пр ᵦ АМ.
РН – проекция
наклонной АР на
плоскость β,
РН = пр ᵦ АР.
АH  𝛽
H – основание перпендикуляра;
AM и AP – наклонные к плоскости;
Точки M и P – основания наклонных.
Расстояние от точки А до плоскости 𝜷
равно длине перпендикуляра АН
Пехова Н.Ю. 2013
6
Угол между прямой и плоскостью
А
α
Н
t
АВ ∩ α
АН  α
ВН = пр α АВ
Пехова Н.Ю. 2013
В
Угл ом м еж ду
п ря м о й и
п л о с ко с т ь ю
н а з ы ва ет с я
у г ол м еж ду
п ря м о й и е ё
проекцией на
п л о с ко с т ь
t - искомый
7
8
9
10
11
12
Блюдо для подачи шашлыка
О1
А
О
С
Решение :
ВС= ОС – ОВ = 25 –
10 =15
по т. Пифагора
найдём :
АВ2 = АС2 – ВС2 =
252 – 152 = 625 – 225 =
400,
АВ = 20см. Поэтому
Н = 20 + 3 = 23 см.- на
такой высоте нужно
закрепить верхнее
основание блюда.
13
Задача №163
А
d
O
𝛼
Пехова Н.Ю. 2013
45°
М
Наклонная АМ,
проведенная из точки А
к данной плоскости,
равна d. Чему равна
проекция этой
наклонной на плоскость,
если угол между прямой
АМ и данной
плоскостью равен 450?
14
Задача №165
А
𝑑
O
B
Пехова Н.Ю. 2013
120°
𝛾
C
Из точки А, удаленной
от плоскости  на
расстояние d,
проведены к этой
плоскости наклонные
АВ и АС под углом 300
к плоскости. Их
проекции на
плоскость  образуют
угол в 1200. Найдите
ВС.
15
Работа группами
Задача 1
Из точки А проведены к плоскости две наклонные АВ
и АС разной длины и перпендикуляр АН. Найти
проекцию наклонной АС, если АВ = 20 см, ВН = 16 см,
АС = 15 см.
А
В
Пехова Н.Ю. 2013
Н
С
α
16
Задача 2
Из точки А проведены к плоскости 𝛼 две наклонные
АВ и АС под углом 45° и 60°. АН – перпендикуляр к 𝛼.
Найти проекции наклонных, если АВ = 8 2 см.
А
8 2
60°
45°
В
Пехова Н.Ю. 2013
Н
С
α
17
Продолжите предложения
•“Я узнал(а) много нового.”
•“Мне это пригодится в жизни.”
•“На уроке было над чем подумать.”
•“На все вопросы, возникающие в ходе
урока, я получил(а) ответы.”
•“На уроке я работал(а) добросовестно и
цели урока достиг(ла).”
18
Домашнее задание:
выучить теорию, № 154, № 163(б, в)
Пехова Н.Ю. 2013
19