РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ В
advertisement
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ В МНОГОГРАННИКАХ РАЗРАБОТКА УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ РЕПКИНОЙ Е.А. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ 1. Использование свойств параллельных прямых и плоскостей 2. Метод следов 3. Метод внутреннего проектирования Использование свойств параллельных прямых и плоскостей Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC. 1. Анализ. Допустим, что задача решена и D соответствующее сечение МКТ построено. Т.к. (МКТ) || (DBC), то грани ADC, М ADB и АВС пересекают параллельные плоскости по параллельным прямым. К В А Значит, МК || DB, МТ || DC и ТК || ВС. Т Это даёт возможность выполнить С построение. Использование свойств параллельных прямых и плоскостей Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC. 2. Построение. Проведём через точку М D в плоскости ADC прямую МТ || DC (Т АС), М а в плоскости ADB – прямую МК || DB (К АВ) и соединим точки Т и К. К Тогда МКТ - искомое сечение. В А Т С Использование свойств параллельных прямых и плоскостей Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC. 3. Доказательство. D По построению МТ || DC и MK || DB, тогда (MKT) || (DBC) по признаку параллельности М плоскостей. 4. Исследование. Задача всегда имеет К В А единственное решение, так как каждый шаг можно выполнить Т однозначно. С Использование свойств параллельных прямых и плоскостей Задача 2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит через точки К, М, N, где МАА1, NВВ1, К лежит в грани DCC1D1. В1 С1 А1 D1 N М В А К С D Ориентир. Если данный многогранник содержит параллельные грани, которые пересекает плоскость сечения, то линии пересечения секущей плоскости с этими гранями параллельны. /Свойство параллельного проектирования/ Использование свойств параллельных прямых и плоскостей Задача 2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит через точки К, М, N, где МАА1, NВВ1, К лежит в грани DCC1D1. В1 С1 А1 N М Т D1 К В А 1. Точки М и N принадлежат секущей плоскости и лежат в одной грани АВВ1А1, поэтому их можно соединить отрезком MN. Е 2. Т.к. С D Решение. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость пересекает грань DCC1D1 по прямой ТЕ, проходящей через точку К параллельно MN. 3. Соединив точки М, Т, Е и N получим искомое сечение – четырёхугольник МТЕN. Метод следов Содержание метода а А с С b Для получения следа (т.е. прямой b) плоскости на плоскости достаточно найти точки пересечения двух прямых плоскости с плоскостью (т.к. две точки, например А и С, однозначно определяют прямую b). Необходимо помнить, что точка пересечения какой-либо прямой а плоскости с плоскостью всегда лежит на следе плоскости на плоскости (т.е. на прямой b). Метод следов Содержание метода а А с С b Для получения следа (т.е. прямой b) плоскости на плоскости достаточно найти точки пересечения двух прямых плоскости с плоскостью (т.к. две точки, например А и С, однозначно определяют прямую b). Если рассматривать параллельное (или центральное) проектирование, то, для того, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью проекции, достаточно найти точку пересечения прямой с её проекцией на эту плоскость. Метод следов Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. В1 L А1 К А С1 D1 В L1 С D М Решение. 1. Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М. Метод следов Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. В1 L С1 А1 К А Р D1 В L1 С D М Решение. 1. Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М. 2. Построим точку Р пересечения LK и L1А. Метод следов Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. В1 L С1 А1 К А Р L1 В Н Решение. 1. Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно D1 точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М. 2. Построим точку Р пересечения LK и L1А. 3. Прямая МР – след секущей плоскости С на плоскости основания, а точка Н – точка пересечения МР и АD и ещё одна М точка сечения куба. D Метод следов Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. В1 F L С1 А1 К А Р D1 Н 4. Далее, используя параллельность противоположных граней куба, строим LF || МН. Соединяем F и К. Строим МЕ || FК. L1 В Е Решение. С D М Соединяем полученные точки сечения и получаем шестиугольник КНМЕLF – искомое сечение. Метод внутреннего проектирования Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. L В1 С1 А1 К А D1 В L1 Х1 D М Решение. 1. Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М. 2. Будем искать точку Е пресечения секущей плоскости с ребром СС1: проекцией точки Е на плоскость С основания является точка С. Соединим четыре точки-проекции отрезками АС и L1М, обозначим точку пересечения Х1. Метод внутреннего проектирования Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. L В1 С1 А1 D1 Х К А В L1 С Х1 D М Решение. 2. * Точка Х1 – проекция некоторой точки Х секущей плоскости, в которой пересекается прямая LM с пока ещё не определённой прямой КЕ. Проведём через Х1 прямую ХХ1 || LL1, в пересечении ХХ1 и ML получим точку Х. Метод внутреннего проектирования Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. L В1 F С1 А1 D1 Х К А В L1 Х1 D М Решение. 3. Теперь проводим прямую КХ до пересечения с ребром СС1 и получаем точку Е. Е 4. Дальнейшие построения опираются на параллельность противоположных граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным С прямым: Соединяем М и Е. Строим КF ||МЕ. Соединяем Е и L. Метод внутреннего проектирования Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба. L В1 F С1 А1 D1 Х К А В H L1 Х1 D М Решение. 3. Теперь проводим прямую КХ до пересечения с ребром СС1 и получаем точку Е. Е 4. Дальнейшие построения опираются на параллельность противоположных граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным С прямым: Строим MH || FL. Соединяем К и Н, L и Е и получаем шестиугольник КНМЕLF – искомое сечение. Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 4 (ЕГЭ, 2012). Точка Е – середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью C1DЕ, если рёбра куба равны 2. Решение. С1 1. Т.к. точки Е, D и D, С1 попарно В1 К А1 D1 Е С В А D Ответ: 4,5 принадлежат одной грани, можем соединить их отрезками. 2. Т.к. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость пересекает грань АВВ1А1 по прямой ЕК, параллельной DC1. 3. Соединяем К и С и получаем четырёхугольник ЕКC1D – искомое сечение. Дальнейшее решение строится на рассмотрении вида четырёхугольника ЕКC1D. Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры оснований) проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью. L1 А1 С1 Решение. Т М1 Применим метод проектирования: Е S В1 L А М С O В внутреннего 1. Проекцией точки S на плоскость основания является точка О. Точки Е и Т сечения будут лежать на линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1. Точки Е и Т сечения будут результатом пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и лежать на соответственных гранях призмы. Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры оснований) проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью. D L1 А1 С1 Решение. К М1 Т Е S В1 L А М С O В 2. Через точки В и Е, С и Т проведём линии сечения на гранях призмы до пересечения с рёбрами верхнего основания и получим четырёхугольник ВКDС – искомое сечение. Дальнейшее решение строится на рассмотрении вида четырёхугольника ВКDС. 𝟒𝒂𝟐 𝟑 Ответ: 𝟗 Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF. Решение. S Для начала нужно построить секущую плоскость КDF. Применим метод внутреннего проектирования: К F А Е В С D Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF. Решение. S К F А В М Х О Р С D 1. Проекцией точки К на плоскость основания является точка Р. Проекция вспомогательной точки Х, принадлежащей секущей плоскости, будет результатом пересечения ОС и PD. Проведём KD и линию, параллельную SO до пересечения с KD – получим Е вспомогательную точку Х. FX SC = М – искомая точка секущей плоскости. Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF. Решение. S 2. Проекция вспомогательной точки Y, принадлежащей секущей плоскости, будет результатом пересечения ОA и PF. Проведём KF и линию, параллельную SO до пересечения с KF – получим вспомогательную точку Y. DY SA = L – искомая точка секущей Е плоскости. К LY F А В О Р С D Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF. Решение. S Соединив полученные точки L и M с К, D и F, получим искомую плоскость КDF, (MКLDF – пятиугольник, изображающий искомую плоскость). Дальнейшее решение строится на нахождении расстояния от точки А до плоскости пятиугольника MКLDF. L К F А М В Е О Р С Ответ: D 𝟓 𝟑𝟗 𝟏𝟑𝟗 Применение методов построения сечений многогранников при решении заданий С2 Задача 6 (Пример 52, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найти угол между прямой АВ1 и плоскостью АСЕ1. А1 А1 Решение. А1 А1 С D В Е F А Для начала нужно построить секущую плоскость АСЕ1. Применим метод внутреннего проектирования: 1. Проекцией точки Е1 на плоскость основания является точка Е. Точки Е и Т сечения будут лежать на линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1. Точки Е и Т сечения будут результатом пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и лежать на соответственных гранях призмы. Источники информации Нелин Е.П. Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА. Геометрия. 7-11 классы. – 2-е изд., испр. – М.:ИЛЕКСА, 2012 www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики (Пособие для решения заданий С2, авт. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.)
