2. geometria_B

Математический
турнир
для учащихся 9 классов
2 апреля 2013г.
1. Решение задач следует записывать на
специальных бланках ( которыми можно будет
пользоваться при выступлении)
2. Выступать с докладом и оппонированием
должны разные члены команды
3. Запрещается общение с кем- либо кроме
членов своей команды и жюри
• 45 минут на решение всех задач своей
лиги
• 45 минут – защита решений и
оппонирование по задачам своей лиги
Порядок выступления команд лиги Б
определяется жеребьевкой
Не забывайте подписывать каждый
бланк с решением
Рейтинг задач
• Жребием определяется порядок рассмотрения
задач ( порядок выступления команд был объявлен ранее,
теперь мы узнаем какая задача какой команде достается)
• Команды ( по жребию) выставляют своего докладчика
или оппонента.
• Цель докладчика: рассказать все правильно, полно
и доходчиво.
• Цель оппонента: найти как можно больше ошибок и
неточностей в выступлении докладчика.
возможные варианты распределения баллов
Балл
докладчика
Балл
оппонента
Комментарии
3
3
В докладе все верно и
четко, ошибок нет.
Оппонент оценил
решение как верное.
0
3
В докладе было
приведено ошибочное
решение. Оппонент
указал на все
неточности.
3
0
Задача решена верно,
оппонент с решением не
согласился.
1-2
1-2
В выступлении
оппонента и докладчика
содержались
неточности.
Докладчик иллюстрирует свое решение с помощью документ
камеры по заготовками, сделанными в процессе решения.
• Оппонент в своем выступлении должен только указывать на
ошибки, но не рассказывать правильного решения ( если
такового не было в докладе)
•
• В ходе выступления докладчика оппонент имеет право
задавать уточняющие вопросы: «Правильно ли я Вас понял,
что….», «Повторите, пожалуйста, еще раз фразу о …..»…
• Диалог ведут только 2 выступающих
• После выступления докладчика и его оппонента каждая из
команд оценивает выступление (в баллах). Если оценки
команды совпадут с оценками жюри, то команда получает
дополнительный балл.
Площадь квадрата
равна 144 см2. В
квадрат вписана
окружность. Вычислите
площадь
равностороннего
треугольника,
вписанного в эту
окружность.
Медиана прямоугольного треугольника,
проведённая к гипотенузе, разбивает его
на два треугольника. Докажите, что
площади этих треугольников равны.
Медиана СМ прямоугольного треугольника АВС,
проведённая к гипотенузе АВ, разбивает данный
треугольник на два треугольника АСМ и ВСМ, у которых
общая высота СН проведена к равным основаниям АМ и МВ
(т. к. М-середина АВ по определению медианы).
Следовательно, площади данных треугольников равны
(площадь треугольника равна половине произведения
основания на высоту, проведённую к этому основанию).
В прямоугольной трапеции меньшая
диагональ равна 15 и перпендикулярна
большей боковой стороне. Меньшая
сторона трапеции равна 12. Найдите
большее основание трапеции.
1) Пусть CF – высота. ABCF – прямоугольник (ВА || СF , СF = ВА = 12
- расстояние между параллельными прямыми, угол B равен 90°).
2) Пусть ВС = АF = х (противоположные стороны прямоугольника).
В прямоугольном треугольнике ACF по теореме Пифагора
x2 = 152 - 122, тогда x = 9.
3) В прямоугольном треугольнике ADC по свойству высоты, опущенной из
вершины прямого угла, имеем равенство CF? = ху. Отсюда y = 144 : 9 =
16.
4) AD = х + у = 9 + 16 = 25.
Ответ: 25.
Периметр прямоугольной трапеции,
описанной около окружности, равен 100,
ее большая боковая сторона равна 29.
Найдите радиус окружности.
B
A
C
D
ABCD – описан около окружности, поэтому его
стороны обладают следующим свойством:
AB + CD = BC + AD.
AB + CD = BC + AD = 50.
BA = 50 – 29 = 21, BA = 2R, R = 10,5.
В параллелограмме АВСD отмечена
точка М – середина отрезка ВС. Отрезок
АМ пересекается с диагональю ВD в
точке К. Докажите, что ВК : BD = 1 : 3.
М
В
С
К
D
А
М
В
С
К
D
А
Треугольник ВКМ подобен треугольнику AKD по двум углам:
Угол В равен углу D, как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и
AD и секущей BD.
Угол ВКМ равен углу AKD как вертикальный,
следовательно, ВМ : AD = ВК : КD.
По условию ВМ : ВС = ВМ : AD = 1 : 2 (М середина ВС, ВС = AD
– противоположные стороны параллелограмма).
ВМ : AD = ВК : КD = 1 : 2
BD = BK + KD = 3BK
BK : BD = 1 : 3
Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник, который изображён на
рисунке.
В параллелограмме ABCD точка K –
середина стороны AB. Известно, что KC =
KD. Докажите, что данный
параллелограмм – прямоугольник.
В треугольнике АВС медиана АМ
перпендикулярна медиане ВN. Найти
площадь треугольника АВС, если АМ = m,
ВN = n.
Пусть медианы АМ и BN пересекаются в точке О.
Пересекаясь, они делятся в отношении 2 : 1, считая от
вершины, следовательно, АО = ⅔АМ. Медиана АМ
перпендикулярна медиане BN, значит, отрезок АО– высота
треугольника ABN. Используя формулу площади
треугольника, S = 0,5ah, где получаем, что
S∆ABN = 0,5*AO*BN = ⅓*m*n.
ABC и ABN имеют общую высоту, проведенную из вершины
В, основание АС вдвое больше основания AN. Из той же
формулы площади следует, что площадь ∆АВС вдвое
больше площади ∆ABN, то есть S∆ABC = ⅔*m*n.
Ответ: ⅔*m*n.
Окружность проходит через вершины A и
C треугольника ABC и пересекает его
стороны AB и BC в точках K и E
соответственно. Отрезки AE и CK
перпендикулярны. Найдите угол ABC,
если угол KCB равен 20°.
В
К
Е
О
А
С
В
К
Е
О
А
С
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны, поэтому
угол КСЕ равен углу КАЕ и они равны 20°.
Треугольники АОК и СОЕ прямоугольные, поэтому углы АКО
и СЕО равны 70°.
Сумма угла СОЕ и угла ВЕО равна 180° (смежные), значит,
угол ВЕО равен 110° .
Аналогично доказывается, что угол ВКО равен 110° .
В четырехугольнике ВКОЕ угол КОЕ равен 90°, Угол ВКО и
угол ВЕО равны 110°, следовательно угол КВЕ равен 50°.