Подготовила Ученица 8 класса «Б» Шебанкова Марина Биография ученого Чева (Джованни) — итальянский математик. Умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал много сочинений. Самым замечательным из них было первое "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio" (Милан, 1678); . В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Теорема Чевы Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AB 1 CA 1 BC 1 * * 1 B1C A1B AC1 (1) Доказательство.1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажем,что AB1 * CA1 * BC1 1 B1C A1B AC1 По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем: AO AB1 CA1 * 1 OA1 B1C A1B И AO C1A A1B * 1 OA1 BC1 CA1 Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем AB1 BC C1A BC * * B1C A1B BC1 CA1 Разделив обе части на правую часть,приходим к равенству (1) УТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ А1 ТЕОРЕМЕ. Пусть для точек А1, В1, С1, взятых на соответствующих сторонах треугольника ABC, В1 Выполняется равенство(1).Докажем, что отрезки АА1,BB1,СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 через О и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в точке С2. Т.к. отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то на основании доказанного в первом пункте AB1 CA1 BC2 * * 1 B1C A1B C2A (2) Итак, имеют место равенства (1) и (2) BC1 BC2 Сопоставляя их, приходим к равенству ,которое показывает, C1A C2A что точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Теорема доказана. Биография ученого Менелай Александрийский (Menélaos), древнегреческий астроном и математик (1 в.). Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики» (сохранились в арабском переводе). Тригонометрия у Менелая отделена от геометрии и астрономии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике. Теорема Менелая Если на сторонах АВ, ВС и продолжении АС треугольника АВС соответственно взяты точки С1, А1 и В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда АВ1 СА1 ВС1 * * 1 В1С А1В С1А (3) Доказательство.1. Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на D АВ1 СА1 ВС1 одной прямой. Докажем, что В1С * А1В * С1А 1 Проведем прямые AD,BM и CN параллельно прямой В1А1. Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем: АВ1 DА1 В1С А1C BC 1 BA1 C1A A1D и Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем: АВ1 BC1 A1B * В1С C1A СA1 , откуда АВ1 СА1 ВС1 * * 1 В1С А1В С1А УТВЕРЖДЕНИЕ В1 ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1-на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено ÀÂ1 ÑÀ1 ÂÑ1 * * 1. равенство Â1Ñ À1Â Ñ1À Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. А С1 В А1 С Доказательство. Прямая В1С1 пересекает сторону ВС в некоторой точке А2.Т.к точки В1,С1 и А2 лежат на одной прямой, то по теореме Менелая АВ1 * СА2 * ВС1 1 (4) В1С А2 В С1А Сопоставляя (3) и (4),приходим к 1 СA2 равенству СА ,которое А1В А2 B показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении.Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. В1 А С1 В А2 С Задача.1 Дано: точка К делит сторону АВ равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС) в отношении 2:1. Точка Р лежит на продолжении АС за точку С, и АВ=СР. Найти: в каком отношении делит прямая РК сторону ВС. С Х А К В Р Решение. По условию AK 2 KB и CP 1 PA 2 Используя теорему Менелая, мы находим CP AK BX * * 1 PA KB XC BX 1 XC Р С Х А К В Задача 2. На медиане BD треугольника ABC отмечена точка М так, что ВМ:MD=m:n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. найдите отношение ВК:КС. К D Решение. По теореме Менелая: АD CK BM * * 1 AC KB MD АD 1 ВМ-медиана, значит AC 2 1 CK m * * 1 2 KB n К BK m KC 2n D Задача 3. Через середину М стороны ВС треугольника Е АВС, в котором АВ≠АС, проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А и пересекающая прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD=СЕ D Решение . По теореме Менелая следует, что Е АE CM ВD * * 1 EС MВ DА Т.к. точка М середина стороны ВС, следовательно CM 1 MВ АE DA EС BD . .Значит АЕ=DA,следовательно ЕС=BD. D