Теорема Менелая. •Теория. •Тренажеры. •Задачи. Теорема Менелая (теория). Теорема: Пусть некоторая прямая пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. Точки A1 , B1 , C1 это пересечения со сторонами BC , AC , AB или их продолжениями соответственно. Тогда имеет место следующее равенство: А AB1 CA1 BC1 1 B1C A1 B C1 A В C1 A1 С B1 Правило для запоминания В C1 A1 А С B1 Обход можно начинать с любой точки, но при этом обязательно чередовать: вершина – точка на стороне – вершина – точка на стороне и т.д. Тренажер-1. Для заданных чертежей записать теорему Менелая. Тренажер-2. На заданных чертежах найти два возможных применения теоремы Менелая. Пример: Тренажер-3. Найти отношения отрезков: 3 2 3 5 8 6 1 ? ? ? ? 4 ? 4 6 ? 3 9 2 12 4 4 ? ? Задачи. Задача 1. Задача 2. Доказать теорему о точке пересечения медиан. В треугольнике АВС проведена медиана AD. На ней выбрана точка К так, что AK:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС? A F 3 M Р K 1 А Е С B D С Задачи. Задача 3. Задача 4. На сторонах треугольника АВС даны соответственно точки М и N такие, что АМ:МВ=СN:NA=1:2. В каком отношении точка S (пересечение этих отрезков) делит каждый из этих отрезков? В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису? B B 2 2 Е Р S 1 A 2 N 1 С A К D 1 С Задачи. В y 3x S=2 S=3 К x L 2z S=1 z Q 2y S=6 А С Задача 5. Решение: В треугольнике АВС на стороне 1) Применим теорему Менелая АВк взята точка К так, что треугольнику ABL: АК:ВК=1:3, а на стороне ВС x 3 y LQ LQ 2 L так, 1 что . взята точка 3x 2 y QA QA 1 CL:BL=2:1. Пусть Q – точка 2) Найдем площадь пересечения прямых AL и CК. треугольника ABQ: Найти площадь треугольника S ABQ z S ABQ 1. АВС, если S BQL площадь 2z треугольника BQL равна 2. 3) Используем отношение площадей треугольников ABL и ALC: S ABL y S ALC 2 y S ALC 6. Ответ: площадь треугольника равна 9. Задачи. Решение: B 1) BKC . ТочкаSМ, лежащая на стороне 4 2 KM MKC 3x параллелограмма ABCD, 2y 2) Применим теорему соединена с вершиной В. S=5 K 2x Менелая к треугольнику BDM: O S=15 Диагональ АС пересекает M 1 3x MC MC 2 1 . y отрезок 1 2 x CD ВМ в точке CD К. 3 Площадьотношение треугольника D 3) Используем площадей КВС равна 6,иплощадь треугольников BMС DMC: S BMC 2 треугольника S BDMКМС 5. равна S BDM 1 4. Найти площадь исходного Получаем, что площадь всего параллелограмма равна 30. параллелограмма. S=6 S=10 S=15 S=4 А C Задача 6. 6(ЕГЭ-2008) S 3 BK Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. M F B K O A D В правильной четырехугольной пирамиде MABCD точка F – середина ребра МВ, точка К делит ребро МD в отношении C МК:KD=5:1. • В каком отношении плоскость АFK делит: 1) Высоту МО данной пирамиды? 2) Ребро МС? Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. M Решение: Построение сечения. L F 2) FK – пересечение плоскости сечения с BMD. Н B K O A 1) AF и AK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. D 3) Прямая AL – C пересечение плоскости сечения с АМС. 4) Прямые FL и FK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. 5) AFLK – искомое сечение. Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. Решение: нахождение отношения МН:НО M M x F L F 5y Н K x y B Н B 2z 3zD z C 1) По теореме Менелая для K O A 2z О S D S треугольника ВMD получаем: x 5 y DS DS 1 1 x y SB SB 5 2) Для треугольника ВМС получаем: x MH 3z MH 5 1 x HC 5z HC 3 Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. Нахождение отношения ML:LC M М 5x Н L F А Н B C K O A D L 3x О C По теореме Менелая для треугольника МОС получаем: 3x ML 2 1 5 x LC 1 ML 5 LC 6