Теоремы о пропорциональных отрезках Геометрия 10 класс (профильный) Теорема о пропорциональных отрезках A m К m q АО : ОМ ( 1) n p p n BO : OK ( 1) q m О n В p М q С Теорема о пропорциональных отрезках В g к AO:OK CO:OD К D О BO:OM p A m q М n С Теорема о пропорциональных отрезках В 2 AO:OK BO:OM К О 5 A 3 М 4 С Теорема Чевы Теорема : Пусть точки А1, В1,С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА треугольника АВС (рис. 6). Отрезки АА1 ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство B C1 A1 АС1 ВА 1 СВ1 1. С1В А1С В1А M Доказательство. A B1 C Теорема Чевы М 3 4 В С 2 2 Р К 3 А 4 Теорема Чевы М 5 9 В С 3 3 Р К 2 А 6 Теорема Менелая Теорема: Если точки С1 и А1 лежат на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, а точка В1 — на продолжении стороны АС этого треугольника, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство В С1 АВ1 СА1 ВС1 1. В1С А1 В С1 А А1 Доказательство. В1 А С Теорема Менелая АВ1 СА1 ВС1 1. В1С А1 В С1 А Доказательство. АВ1 А1 D В1С А1C В С1 Е В1 А1 D А С F Теорема Менелая АВ1 СА1 ВС1 1. В1С А1 В С1 А Доказательство. В С1 АВ1 А1 D В1С А1C BC1 BА1 C1 A А1 D АВ1 BC1 А1 D BA1 В1С C1 A А1C A1 D А1 D АВ1 BC1 BA1 В1С C1 A А1C АВ1 BC1 CA1 1 В1С C1 A А1 B Е В1 А С Теорема Менелая С А1 С1 В В1 А Задачи Задача 1. Докажите, что если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. B Доказательство. Пусть А1 ,B1 и С1 — точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы: AC1 BA1 CB1 1. C1 B A1C B1 A Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: BC1 = BA1 = x, CA1 = CB1 = y, AB1 = AC1 = A z. A1 C1 z AC1 BA1 CB1 z x y 1. C1 B A1C B1 A x y z Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона. x x y z B1 y C Задачи Задача 2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника: Перемножая почленно полученные равенства, получаем: Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Задачи Задача 3. В треугольнике АВС AD — медиана, точка О — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А. Решение. Пусть BD = DC = а, АО = OD = m. Прямая ВK пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая AK 2a m 1, KC a m Ответ: 1 : 2. AK 1 . KC 2 Задачи Задача 4. На стороне АС треугольника АВС взята такая точка М, что 3АМ = АС, а на продолжении стороны ВС – такая точка N (С-В-N), что BN = СВ. В каком отношении точка Р – точка пересечения отрезков АВ и MN делит каждый из этих отрезков? Задачи Задача 5. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР : РА1. Решение: 1) 8 – х + 5 – х = 4, х = 4,5 . Значит, С1В = ВА1 = 4,5 А1С = 5 – 4,5 = 0,5 АС1 = 8 – 4,5 = 3,5 . 2) В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая: АС1 С1В · ВС А1С · А1Р РА А1Р · 35· 50 РА · 45 · 5 Ответ: 70 : 9. =1 3,5 5 А1Р 4,5 0,5 РА А1Р · 70 =1 РА · 9 =1 А1Р =1 РА 70 = 9 Задачи Задача 6. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем: Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая . Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что Теорема доказана. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1.В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность центром О. Луч СО пересекает АВ в точке К, причем АК = 6, ВК = 12. Найти периметр треугольника. 2. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка N так, что NС = 3АN. Медиана АD пересекает отрезок ВN в точке F. Найдите АF:FD. Вариант 2 1.Окружность с центром О вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причем СК:ВК=5:8. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 72. 2.В треугольнике АВС на стороне АС взята точка Р. Медиана АD пересекает отрезок ВР в точке К так, что АК = 3КD. Найдите АР:РС.