«Методика разработки заданий для предметных интеллектуальных соревнований учащихся 2-х – 6-х

«Методика разработки заданий для
предметных интеллектуальных
соревнований учащихся 2-х – 6-х
классов по математике (Подготовка к
участию в I Всероссийском конкурсе
«Проектирование заданий для
интеллектуальных соревнований.
Часть 2)»
Задача
Участок в форме прямоугольника,
расположенный на берегу реки,
огорожен забором с трех сторон.
Длина всего забора – 12 км. Может
ли огороженный участок иметь
площадь 18 квадратных
километров?
Ответ
Да, может.
Если части забора имеют длины 3км,
6км и 3км, то в сумме весь забор
будет иметь длину 12 км, а площадь
участка будет в точности 18 км.
Задача
В трёх мешках лежат конфеты. Если бы
пятиклассник Петя из 1-го мешка вынул 20
конфет, а во 2-ой положил ещё 10, то
количество конфет в 1-ом и 2-ом мешках
уравнялось бы. Если бы он из 1-го мешка
вынул 25 конфет, а в 3-ий положил ещё 15,
то уравнялось бы количество конфет в 1ом и 3-ем мешках. Но Петя хочет
переложить несколько конфет из 2-го
мешка в 3-ий так, чтобы количество конфет
во 2-ом и 3-ем мешках уравнялось.
Сколько конфет он должен переложить?
Ответ
Он должен переложить 5 конфет
Первое условие означает, что изначально во 2ом мешке на 30 конфет меньше, чем в 1-ом.
Аналогично, из второго условия следует, что
приходим к выводу, что в 3-ем мешке на 40
конфет меньше, чем в 1-ом. Значит, в 3-ем
мешке на 10 конфет меньше, чем во 2-ом.
Теперь нетрудно догадаться, что при
перекладывании 5 конфет из 2-го мешка в 3-ий,
количество конфет в них сравняется.
Задача
Придумайте пять различных
натуральных чисел, больших 1 и
таких, что самое большое делится на
все остальные, на самое
маленькое делятся все остальные, и
больше никакие два из этих
чисел друг на друга не делятся.
Ответ
Существуют различные решения
этой задачи. Вот несколько
подходящих пятерок:
2, 4, 6, 10, 60;
3, 6, 9, 15, 90;
4, 8, 12, 20, 120.
Задача
Пятиклассница Маша покупала
ландыши, лилии и розы. Всего она
купила 33 цветка, причём среди них
были цветки всех трёх видов.
Известно, что лилий она купила в 10
раз больше, чем ландышей. Сколько
куплено роз? Приведите все
варианты ответа, и объясните,
почему другие невозможны.
Ответ
22 или 11.
Если Маша купила 1 ландыш, то лилий она
купила 10, а роз 33-1-10=22. Если Маша купила
2 ландыша, то лилий она купила 20, а роз 33-220=11. Если Маша купила 3 ландыша, то лилий
она купила 30, а роз 33-3-30=0, что
противоречит тому, что она купила цветки всех
трех видов. Если же Маша купила ландышей
больше трех, то лилий ей придется купить
больше 30 и всего цветков будет больше 33, что
опять же противоречит условию задачи. Таким
образом, Маша могла купить только 1 или 2
ландыша, а тогда роз 22 или 11 соответственно.
Задача
Чтобы добраться до горы Олимп, Геракл
прошёл по четырём дорогам. Первая дорога
составляет половину всего пути, вторая в 2 раза
короче первой, а третья в 2 раза короче второй.
По каждой из дорог он шел с одной и той же
скоростью. Если бы он шёл без отдыха, то
прошёл бы весь путь за 8 дней. Но после
прохождения каждой из трёх первых дорог, он
отдыхал столько, сколько шёл по этой дороге.
Сколько времени продолжалось путешествие
Геракла?
Ответ
15 дней
Первую дорогу Геракл проходит за 4 дня
(так как она составляет половину всего
пути, а на весь путь тратится 8 дней),
вторую – за 2 дня, третью – за 1 день и,
следовательно, четвертую тоже за 1
день (8-4-2-1=1). Отдыхал он 3 раза: 4
дня, 2 дня и 1 день. Тогда всего он
затратил на путь к Олимпу
4+4+2+2+1+1+1=15 дней.
Задача
Пони называет число зеркальным, если
справа налево оно читается так же, как
слева направо. Например, число 2002 зеркальное. В равенстве ** + ** = ***
все цифры заменены звездочками.
Придумайте три каких-нибудь
зеркальных числа, которые можно
подставить в равенство, чтобы оно
оказалось верным.
Ответ
Годятся, например, такие числа
22+99=121.
Задача
Пони сажает цветы. До 15 августа он
каждый день сажал по 4 цветка, а,
начиная с 15 августа, стал сажать по
5 цветков в день. К концу дня 24
августа у него было уже 90 цветов. А
какого числа Пони посадил первый
цветок?
Ответ
Весь период работы Пони можно
разделить на 2 этапа. Во время первого
этапа он высаживал по 4 цветка, а во
время второго – по 5 цветков. Первый
этап продолжался 24–14=10 дней.
Значит, за этот период он посадил 50
цветков, а в первый период 90–50=40
цветков. Это означает, что и первый
период тоже продолжался 10 дней, то
есть, начался 5 августа, поскольку 14–
4=10
Задача
На сегодня Пони запланировал 4 дела.
Два из них полезных: полить цветы и
выучить таблицу умножения. Ещё два
веселых: погулять и поиграть. Чтобы не
запутаться, он решил составить
расписание на день. Оно может
начинаться как с весёлых, так и с
полезных дел, которые должны
обязательно чередоваться. Сколько
разных расписаний могло получиться у
Пони?
Ответ
8 расписаний.
Пони может начать с весёлого дела. И тогда у
него будет четыре варианта расписания.
Гулять – поливать – играть – учить, гулять –
учить –– играть – поливать; играть – поливать –
гулять – учить; играть – учить –– гулять –
поливать.
А можно начать с полезного дела, и тогда
появятся ещё четыре варианта:
поливать – гулять – учить–играть; учить – гулять
– поливать – играть; поливать – играть – учить –
гулять; учить – играть – поливать – гулять.
Всего 8 вариантов расписания
Задача
В танцевальной студии занимались
22 мальчика и 16 девочек. Каждую
неделю в студию приходят два
новых мальчика и три новых
девочки. Через сколько недель
мальчиков и девочек в этой студии
станет поровну?
Ответ
Через 6 недель.
Первоначально мальчиков было на 6
больше, чем девочек. Каждую
неделю в студию приходит на одного
мальчика больше. Это означает, что
на «покрытие дефицита» уйдёт
ровно 6 недель