Лекция 2 Принципы статистического имитационного моделирования 1

Лекция 2
Принципы статистического
имитационного моделирования
1
Вопросы лекции
1.
2.
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Модель экспоненциального потока в
системе MS Exel
2
Моделирование статистических
распределений случайных величин
В имитационной модели телекоммуникационной системы
( ИМ ТКС) должны быть отражены следующие процессы:

Поступление заявок

Выбор обслуживающего устройства

Обслуживание
 Освобождение
ИМ включает средства, позволяющие имитировать

Входной поток заявок

Управление/распределением заявок
 Обслуживание

Выходной поток заявок

Статистическую обработку входных и выходных параметров
3
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Имитация входного потока заявок
Поток заявок – это последовательность заявок ( вызовов), поступающих
в систему обслуживания в определенные моменты времени:
t1, t2, t3, … , ti, …, tc, …
где ti – это измеряемый параметр, который может принимать
определенные или произвольные значения.
Детерминированный поток – поток заявок в фиксированные моменты
времени
Стохастический ( случайный) поток – поток заявок в случайные
моменты времени
t1
t2
t3
t1
t2
ti
t3
tk-1 tk
ti
t ( ось детерминированного времени)
t ( ось непрерывного времени)
4
Моделирование статистических
распределений случайных величин
t1
t2
t3
t1
t2
ti
t3
tk-1 tk
ti
t ( ось детерминированного времени)
t ( ось непрерывного времени)
Для определения потока заявок необходимо описать интервал времени
между соседними заявками
Dtk=tk-tk-1,
Для моделирования случайного потока заявок необходимо задать функцию
распределения F(Dt) интервала времени между соседними заявками.
Наиболее часто для исследований систем связи
используется модели простейшего потока
5
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Для простейшего потока вызовов распределение числа вызовов,
поступающих за время t определяется по формуле Пуассона
(  t ) i  t
Pi (t ) 
e
i!
формула Пуассона
Рi(t) - вероятность поступления точно i вызовов простейшего потока за
отрезок времени t
Простейший поток также называют стационарным пуассоновским потоком
Основные параметры простейшего потока
• распределение количества заявок i за интервал времени t
• распределение интервала времени между соседними заявками в потоке
• математическое ожидание и дисперсия числа заявок потока и времени
между соседними заявками в потоке
6
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Параметры простейшего потока
 Распределение количества заявок i за интервал времени t=1
( ) i  
pi (t  1) 
e
i!
 Функция распределение интервала времени Dt между соседними заявками
в простейшем потоке
Р(Dt) = Р(<Dt)=1- λe
–λDt
По-сути, это вероятность того, что за промежуток Dt поступит один и более вызовов

Плотность распределения вероятности Dt
p (Dt) = λe
–λDt
Таким образом, распределение промежутков времени между вызовами
простейшего потока подчиняется показательному (отрицательному
экспоненциальному) закону. Функция р(Dt) зависит от параметра потока λ.
7
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое
отклонение числа i заявок в простейшем потоке

M (i )   iPi (t )dt  t
0
D(i )  t
 (Dt )  t
8
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое
отклонение числа i заявок в простейшем потоке
При t = 1
M(i) = D (i) = 
Это равенство характерно и для простейшего потока и для любого
стационарного и ординарного потока.
Равенство математического ожидания и среднеквадратического
отклонения интенсивности потока – это признак показательного
распределения
9
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Среднее длительность интервала времени Δt между соседними
вызовами рассчитывается как математическое ожидание в виде


0
0
M (Dt )   tP(Dt )dt   te dt 
t
1

Дисперсия Δt


D(Dt )   t P(Dt )dt  M (Dt )   t e dt 
2
2
2
0
t
0
1

2

1
2
Среднеквадратическое отклонение интервала Δt
 (Dt ) 
1

2

1

Равенство математического ожидания и среднеквадратического
отклонения интервала времени между соседними заявками в потоке –
это так же есть признак показательного распределения случайной
величины
10
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Важное соотношение интенсивности потока и интервала
времени между соседними заявками
1

Dt
где
Dt 
Dt 
1

средний интервал времени между соседними вызовами
 - интенсивность потока или число вызовов, поступающих за
единицу времени.
Свойства простейшего потока
• Стационарность
• Ординарность
• Отсутствие последействия
11
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят
покупатели. При определённых допущениях время между появлениями
двух последовательных покупателей будет случайной величиной с
экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового
покупателя (см. ниже) равно
1

Сам параметр  тогда может быть интерпретирован, как среднее число
новых покупателей за единицу времени или интенсивность потока .
12
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Для получения значений случайных величин,
характеризующих моделируемый поток заявок
используется метод, основанных на следующей
теореме:
Если случайная величина ρ имеет плотность
распределения f(ρ),то распределение случайной
величины  является равномерным на интервале

[0,1]
   f ( x) d ( x)
0
Определение  для функции экспоненциального
распределения, определенной на дискретном
времени ti
f(x)=p (ti) = λe
–λt
13
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Определение  для функции экспоненциального распределения,
определённой на дискретном времени ti
f(x)= ρ(ti) = λe –λt
Решая данное уравнение относительно детерминированных
величин {ρ} можно получить формулу для расчета значений
случайно величины ρi
1
 i   ln  i

где i – случайная величина, равномерно распределенная
на интервале [0; 1]
Пользуясь этой формулой можно получить множество
значений ρi, которые будут соответствовать экспоненциальной
плотности распределения
14
Моделирование статистических
распределений случайных величин
На основе последовательности случайных величин
ρi можно получить последовательность моментов
поступления вызовов в потоке



t1=ρ1
t2=t1 +ρ2 = ρ1 +ρ2
t3= t2+ ρ3 = ρ1 +ρ2 +ρ3
t1 t2
t3
ti
tk-1 tk
t ( ось детерминированного времени)
Общее выражение для расчета моментов поступления заявок в
потоке при экспоненциальном распределении интервала
времени между соседними заявками имеет вид
i
i
j 1
j 1
ti  ti 1  i    j   
1

ln  j
15
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Формирование времени занятия каналов
Совокупность времени освобождения каналов может
быть определена следующим образом:
t освi = ti+i
где i – время обслуживания заявки( занятия канала),
поступившей в момент времени ti
В предположении, что время обслуживания
распределено по экспоненциальному закону,
плотность распределения имеет следующий вид
f(t) = me
–mt
где m – параметр потока обслуженных вызовов
16
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Параметр потока обратно пропорционален среднему времени
обслуживания
m 
1
_

Аналогично, длительность обслуживания можно определять в виде
i  
1
m
ln  i
Для i ≥ 1 длительность обслуживания

i
i
j 1
j 1
можно рассчитать по формуле
 i   i 1  i    j   
1
m
ln  j
Где  - разыгранное значение случайной величины на интервале
[0;1] по равномерному распределению
17
Моделирование статистических
распределений случайных величин
Метод расчета значений случайных величин,
подчиненных заданному распределению на основе
генерации случайных равномерно распределенных
случайных величин в интервале [0;1] позволяет
задать потоки заявок в виде имитации дискретных
моментов времени их возникновения.
t1 t2
t3
ti
tk-1 tk
t ( ось детерминированного времени)
По-сути, таким способом имитируется процесс
поступления и обслуживания заявок в канале, ветви,
КЦ сетей связи.
18
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Пример имитационной модели M/M/1
Модель имитирует работу одноканальной системы обслуживания с
явными потерями при условиях:

Входной поток вызовов – простейший с параметром 

Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с
параметром m

Время – дискретное

Система имеет два стационарных состояния канала:


Свободен
Занят
Изменения состояния происходит при поступлении и завершении
обслуживания заявки.
Т.е. в система обслуживания отображает дискретно-событийный
принцип моделирования
19
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Start
Генерация
интервалов времени
Занятие очереди на
обслуживание
Прибор
свободен ?
нет
Освобождение
очереди
Занятие прибора
Обобщенный алгоритм работы
имитационной модели СМО
Задержка на
временя занятия
Освобождение
прибора
Статистический учет
Терминация заявки
End
20
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Модель M/M/1 ( с потерями)
Массив случайных чисел
равномерно распределенных
в интервале [ 0 ; 1 ]
для входного для времени
потока
обслуживания
0,528828427
0,186617023
0,318985792
0,055345515
0,277020023
0,746375611
0,940935776
0,298751924
0,93488182
0,51326396
0,102603594
0,316712463
0,012981275
0,453171737
0,593557854
0,513701649
0,957282928
0,395014069
0,977504586
0,104120184
0,355384618
0,659687853
0,871739091
0,91225325
0,216741875
0,341788087
0,096769418
0,783109218
0,232768582
0,464537809
0,80209964
0,149927145
0,930834021
0,453779327
0,381424031
0,331108304
0,151603769
0,427477469
0,422357852
0,441772791
0,587633947
0,381989469
0,845847563
0,951970793
0,374609591
0,428648021
0,020125964
0,638252949
0,757556478
0,190869131
0,515885016
0,753171819
0,441625323
0,848657348
параметр
потока
№ заявки в
потоке
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
t между
соседними
заявками во
входном потоке
0,637091234
1,678696769
1,142608717
2,894159652
1,283665489
0,292526306
0,060880393
1,208141734
0,067335154
0,666965023
2,276882319
1,149760975
4,344247334
0,791484115
0,521620591
0,666112632
0,043656291
0,928833898
0,022752296
2,262209429
1,034554646
0,415988506
0,137265107
0,091837641
1,529048151
1,073564364
2,335424264
Выходной поток
Состояние
канала обслужния
1
Т - время
поступления
заявок на
обслуживание
0,637091234
2,315788002
3,458396719
6,35255637
7,636221859
7,928748165
7,989628558
9,197770292
9,265105445
9,932070469
12,20895279
13,35871376
17,7029611
18,49444521
19,0160658
19,68217843
19,72583473
20,65466862
20,67742092
22,93963035
23,97418499
24,3901735
24,52743861
24,61927625
26,1483244
27,22188876
29,55731303
m 1
0 - свободен
/ 1 - занят
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
Длительность
обслуживания
заявки
0,244483106
1,457710528
0,766712327
0,22052244
1,8976058
0,071674298
0,790144263
0,963843582
1,105309754
1,886484947
0,849853695
0,861902333
0,816959576
0,531651064
0,962362238
0,167416121
0,049220924
0,981870886
0,847119161
3,905744562
0,449020602
0,277657186
1,656167263
0,661871375
0,283461897
0,817293442
0,164099769
13
48%
T - время
освобожения
канала
обслуживания
0,881574339
3,77349853
3,77349853
6,57307881
9,533827659
9,533827659
9,533827659
9,533827659
9,533827659
11,81855542
13,05880648
14,2206161
18,51992067
18,51992067
19,97842804
19,97842804
19,97842804
21,63653951
21,63653951
26,84537491
26,84537491
26,84537491
26,84537491
26,84537491
26,84537491
28,0391822
29,72141279
обслуженные заявки
Входной поток
 =1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
13
21
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Гистограмма разыгранных значений интервала между
соседними заявками
2.5
t
2
1.5
Series1
1
0.5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
номер заявки
Оценка частости значений
22
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Достоинства
 Простота реализации ( на основе встроенных
функций Exel)
 Небольшие затраты времени на создание модели
 Позволяет оценивать основной показатель –
вероятность потери заявок из-за занятости
обслуживающего устройства
 Активизирует образное мышление
Недостатки
 Модель работает в ручном режиме, не работает
самостоятельно
 Количество «прогонов» ограничено
 Статистическая обработка выполняется вручную
23
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Данный пример демонстрирует ручной режим
прогона модельных экспериментов
имитационной модели процессов поступления и
обслуживания заявок.
При увеличении числа экспериментов точность
оценки потерь увеличивается ( приближается к
теоретическим оценкам), т.е.оцениваемый
результат приближается к точному значению
или сходится
24
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Иллюстрация процесса сходимости определяемого
экспериментально ответа к теоретическому результату
25
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Иллюстрация процесса сходимости определяемого
экспериментально ответа к теоретическому
результату
26
Модель простейшего потока в системе MS Exel
Теоретическая зависимость
количества экспериментов,
необходимых
для обеспечения заданной
точности при QF = 0.95
Точность ε
0.1
0.01
0.001
Критическое
число
экспериментов
Nкрт
96
9600
960000
Иллюстрация процесса сходимости определяемого
экспериментально ответа к теоретическому результату
27
Литература







Романов А. И. Телекоммуникационные сети и управление:
Учебное пособие – К. ИПЦ «Киевский университет», 2003, 247с.
Сети ЭВМ. Под редакцией В.М. Глушкова – М.: Связь, 1977
Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем – М. : Наука,
1978
Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство
и наука: Пер. с англ. - М.: Мир, 1978.
Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ. - М.:
Радио и связь, 1988.
Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS: Пер. с англ. - М.:
Машиностроение, 1980.
GPSS/PC general purpose simulation. Reference Manual. Minuteman software. P.O. Box 171. Stow, Massachusetts 01775,
1986.
28
Спасибо за внимание!
29