Основные законы распределения случайных величин

Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Достоверным называется такое событие, которое
наступает каждый раз при реализации данного
комплекса условий.
Невозможным называется событие, которое
никогда не наступает при реализации данного
комплекса условий.
Случайным называется событие, которое может
либо наступить при реализации данного комплекса
условий, либо не наступить.
Элементарное событие – это один из нескольких
возможных, но несовместных исходов того или иного
опыта (испытания). Совокупность или множество их
составляют пространство элементарных событий.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Событие А содержится в событии В(А В). Если при
каждом испытании, при котором происходит событие
А, непременно происходит и событие В, то говорят, что
событие А содержится в событии В или принадлежит
событию В.
Тождественные события (А = В). Если событие А
содержится в событии В, а событие В содержится в
событии А, то говорят, что события А и В тождественны
или равносильны.
Произведением (или пересечением) событий А и В
называется событие С, состоящее в совместном
наступлении этих событий.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Несовместные события (А • В = ). События А и В
называются несовместными, если их совместное
появление при испытании невозможно.
Суммой событий А и В (
)
называется событие С, состоящее в наступлении хотя
бы одного из этих событий. Множество С содержит
элементы, принадлежащие хотя бы одному из
множеств А или В.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Полная группа событий (
) . События А и В
составляют полную группу событий, если при
реализации
заданного
комплекса
условий
непременно появится хотя бы одно из этих событий.
Сумма всех таких событий есть событие достоверное.
Противоположное событие. Два события А и А
(читается «не А») называются противоположными,
если они составляют полную группу несовместных
событий, т.е. удовлетворяют условию .
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
За вероятность события А принимается отношение
числа благоприятных этому событию элементарных
исходов (m) к общему числу возможных исходов (n):
Зная частоту, вычисленную при достаточно
большом числе испытаний, есть все основания считать
ее близкой к соответствующей вероятности и полагать,
что:
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Вероятность произведения двух событий равна
произведению вероятности одного из этих событий на
условную вероятность другого при условии, что
первое произошло:
Р(А • В) = Р(А) • Р(В/А) = Р(В) • Р{А/В}
Вероятность произведения независимых событий
равна:
Р(А • В) = Р(А) • Р(В).
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Свойства вероятностей событий:
 Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.
;
 Для любого события А вероятность противоположного
события Ā равна
;
 Если событие А влечет за собой событие В, т. е. АсВ, то
;
 Вероятность события А заключена между нулем и единицей,
т.е.

Вероятность двух событий А и В равна сумме вероятностей
этих событий без вероятности их произведения:
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Правило сложения вероятностей двух событий
гласит, что вероятность наступления хотя бы одного
из двух событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного
наступления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Если события несовместны, то правило сложения
вероятностей принимает вид:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Если несовместные события составляют полную
группу, т. е.
А1 + А2 + ... + Ап = и Аi • Аj = , i ≠ j, то
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Закон
распределения
случайной
величины
представляет собой соотношение, позволяющее
определить вероятность появления случайной
величины в любом интервале.
Ряд распределения представляет собой таблицу, в
которой перечислены возможные значения случайной
величины и соответствующие им вероятности:
Xi
X1
X2
X3
….
Xn
Pi
P1
P2
P3
….
Pn
В таблице Xi - i-е значение случайной величины Х; Pi
- вероятность появления i-го значения случайной
величины X.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Эмпирический ряд распределения представляет
собой таблицу, в которой перечислены наблюдаемые
значения (фактические реализации) случайной
величины и соответствующие им частоты:
В таблице xi — i-я фактическая (наблюдаемая)
реализация случайной величины Х; mi — количество
появлений (частота) величины хi.
Xi
X1
X2
X3
….
Xn
mi
m1
m2
m3
….
mn
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Для характеристики непрерывной случайной
величины определяют вероятность появления
значения случайной величины меньшего x, где x —
текущая переменная, т. е. определяют вероятность
события X < х. Вероятность этого события зависит от
x, т. е. является функцией х. Эта функция называется
функцией распределения случайной величины X и
обозначается F(x): F(x) = Р(Х < х)
Таким образом, функцией распределения случайной
величины X называется функция аргумента х, равная
вероятности того, что случайная величина X примет
любое значение, меньшее х.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Вероятность попадания случайной величины в
полузамкнутый интервал [а, b) равна разности
значений функции распределения в точках b и а:
Функцию распределения дискретной случайной
величины можно определить, зная ее ряд
распределения, по формуле:
Плотность распределения f (х) есть предел
отношения вероятности попадания случайной
величины на малый участок и длины этого участка при
ее неограниченном уменьшении:
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Вероятность попадания случайной величины на
произвольный участок [a, b) равна:
Интеграл в бесконечных пределах от плотности
распределения равен единице, т. е.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Рис. 1.1. График плотности распределения (кривая распределения)
Вероятность попадания на участок [а, b) равна площади ограниченной
кривой распределения, опирающейся на участок [а, b).
Плотность распределения есть производная функции распределения. С
другой стороны:
откуда
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Математическое ожидание дискретной случайной
величины вычисляется по формуле
где хi – возможные значения случайной величины X;
Pi - вероятность появления i-го возможного
значения случайной величины X.
Для
непрерывной
случайной
величины
X
математическое ожидание определяется интегралом
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Медианой Me (Х) случайной величины называется
такая величина, относительно которой равновероятно
получение большего или меньшего значения
случайной величины:
Р(Х > Me) = Р(Х < Me).
Модой Мо (Х) дискретной случайной величины
называется ее значение, обладающее наибольшей
вероятностью. Для непрерывной случайной величины
мода есть такое значение, которое отвечает
максимальной плотности распределения.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Полигон распределения представляет собой многоугольник,
который строится на прямоугольной координатной сетке. В
выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для
фактических значений случайной величины X, на оси ординат —
для частот
Рис. 1.2. Полигон распределения реализаций случайной величины X
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Гистограмма распределения реализаций случайной величины
применяется для графического изображения интервальных
рядов распределения. Она представляет собой многоугольник,
построенный с помощью смежных прямоугольников. В случае
непрерывных равных интервалов с шириной интервала Δх
гистограмма строится следующим образом:
Рис. 1.3. Гистограмма распределения
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Дискретные законы распределения
Биномиальное распределение
Это распределение числа X появления события А в серии из n
независимых испытаний. Вероятность наступления события А в
каждом испытании равна р, а вероятность его отсутствия q = 1 —
р.
Ряд распределения числа появления события А определяется
формулой Бернулли:
или
где P(x=m) – вероятность появления события А равна т раз в
серии из n испытаний.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Дискретные законы распределения
Биномиальное распределение
Рис. 1.4. Примеры кривых биноминального распределения
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Дискретные законы распределения
Биномиальное распределение
Числовые характеристики биномиального распределения случайной величины X:
 математическое ожидание
М[Х] = п * р;
 дисперсия
Dx = п *р * q = п * р(1 - р);
 коэффициент асимметрии (скошенности)
распределения:

коэффициент эксцесса (мера крутости)
распределения:
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Дискретные законы распределения
Распределение Пуассона
Данное распределение является предельным
случаем биномиального распределения.
Предположим, что в биномиальном распределении р
стремится к нулю и п стремится к ∞, так, что п*р М[Х] =
а > 0. Тогда плотность вероятности биномиального
распределения принимает вид:
k=0,1,2,…,
( a k * e  e ) a k a
P ( X  m) 
k!

k!
*e ,
что и является распределением Пуассона.
Распределение Пуассона зависит только от одного
параметра – математического ожидания М[Х] = а.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Нормальное распределение
Плотность нормального распределения определяется
по формуле:
1
f ( x) 
*e
 x 2
( x  mx ) 2
2
Непрерывная случайная величина X принимает
значения от -∞ до +∞. Соответствующая функция
распределения равна:
F ( x) 
1
 x 2
x
* e


( x  mx )
2 x2
dx.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Нормальное распределение
При значении σx = 1 и тх = 0 нормальную кривую
называют нормированной, а соответствующий закон
распределения — стандартным нормальным законом
распределения с плотностью:
z2

2
 1 
f ( z)  
*e*
 2 
,  z  
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Нормальное распределение
Рис. 1.5. Графики кривых нормального распределения
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Гамма-распределение и распределение Эрланга
Неотрицательная случайная величина X имеет гаммараспределение, если ее плотность распределения
вычисляется по формуле:
k * x k 1 * e x
f k ( x) 
Г (k )
при x>0, где λ > 0 и k > 0

Г (k) – гамма-функция: Г (k )  e t * t k 1 * dt

0
Если k – целое неотрицательное число, то Г(k) = k!
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Гамма-распределение и распределение Эрланга
Математическое ожидание случайной величины X,
подчиненной гамма-распределению, равно:
mx 
k

Дисперсия величины Х определяется по формуле:
k
Dx  2

Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Гамма-распределение и распределение Эрланга
При целом k > 1 гамма-распределение превращается в
распределение Эрланга k-го порядка, т. е.
(x>0; k=1,2,…)
 * (x) k 1 * e x
f k ( x) 
(k  1)!
Закону Эрланга k-го порядка подчинена сумма
независимых случайных величин х1, + х2 + ... + хк,
каждая из которых распределена но показательному
закону с параметром λ.
При k = 1 гамма-распределение превращается в
показательное с параметром λ.
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет
показательное распределение, если ее плотность
распределения выражается формулой:
x>0
 x
f ( x)   * e
Функция распределения случайной величины X :
F ( x)  1  e
 x
,   0,0  x  
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Показательное распределение
Математическое ожидание случайной величины X,
имеющей показательное распределение, обратно его
параметру, т. е.
mx 
1

Дисперсия случайной величины X, имеющей
показательное распределение, равна
Dx 
1

2
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Показательное распределение
Рис. 1.6. Графики показательного распределения
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет
равномерное распределение на отрезке [a,b], если на
этом отрезке плотность распределения постоянна, а
вне его равна нулю.
 1
при a  x  b

f ( x)   b  a
0
x  b; x  a
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Равномерное распределение
Математическое ожидание случайной величины X,
имеющей равномерное распределение на участке [a,
b], равно:
ab
mx 
2
Дисперсия случайной величины X, имеющей
равномерное распределение на участке [a, b],
вычисляется по формуле:
2
(b  a)
Dx 
12
Тема «Основы вероятностных методов анализа и моделирования
экономических систем»
Основные законы распределения случайных величин.
Непрерывные распределения вероятностей
Равномерное распределение
Рис. 1.7. Кривая равномерного распределения
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной
величины X на участок [a, b]:
P(  X   ) 
 
ba
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Основные понятия марковских процессов
Функция X(t) называется случайной, если ее
значение при любом аргументе X является
случайной величиной;
 Случайная функция X(t), аргументом которой
является время, называется случайным процессом;
 Случайный процесс, протекающий в какой-либо
системе S, называется марковским (или процессом
без последействия), если он обладает следующим
свойством: для любого момента времени to
вероятность любого состояния системы в будущем
(при t > t0) зависит только от ее состояния в
настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и
каким образом система S пришла в это состояние.

Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Различают следующие основные виды марковских
случайных процессов:
 с дискретными состояниями и дискретным
временем (цепь Маркова);
 с непрерывными состояниями и дискретным
временем (марковские последовательности);
 с дискретными состояниями и непрерывным
временем (непрерывная цепь Маркова);
 с непрерывным состоянием и непрерывным
временем.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Марковские процессы с дискретными состояниями удобно
иллюстрировать с помощью графа состояний
Рис. 1.8. Граф состояний системы S
Кружками обозначены состояния S1 , S2,…,системы S, а стрелками –
возможные переходы из состояния в состояние. Возможные
задержки в прежнем состоянии изображают «петлей». Число
состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным
(но счетным).
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Марковский случайный процесс с дискретными
состояниями и дискретным временем называют
марковской цепью. Для такого процесса моменты
t1,t2,…, когда система S может менять свое состояние,
рассматривают как последовательные шаги процесса,
а в качестве аргумента, от которого зависит процесс,
выступает не время t, а номер шага 1, 2, .... k, ....
Случайный процесс в этом случае характеризуется
последовательностью состояний S(0), S(1), S(2), S(k), где
S(0) – начальное состояние системы (перед первым
шагом); S(1) – состояние системы после первого шага;
S(k) - состояние системы после k-го шага.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Событие {S(k) = Si}, состоящее в том, что сразу после kго шага система находится в состоянии Si (i= 1, 2, ...),
является случайным событием. Последовательность
состояний S(0), S(1),…,S(k) можно рассматривать как
последовательность случайных событий. Такая
случайная последовательность событий называется
марковской цепью, если для каждого шага
вероятность перехода из любого состояния Si в любое
Sj не зависит от того, когда и как система пришла в
состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть
заданным заранее или случайным.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Вероятностями состояний цепи Маркова называются
вероятности Pj(k) того, что после k-го шага (и до (k+1)го) система S будет находиться в состоянии Si
(i=1,2,…,п). Очевидно, для любого k
n
 P (k )  1
i 1
i
Начальным распределением вероятностей
марковской цепи называется распределение
вероятностей состояний в начале процесса P1(0), P2(0),
…, Pi(0), …, Pn(0).
В частном случае, если начальное состояние системы
S в точности известно S(0) = Si, то начальная
вероятность Pi(0)= 1, а все остальные равны нулю.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Рис. 1.9. Граф состояний автомобиля
Автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может
находиться в одном из двух состояний: исправном (S1) и
неисправном (S2), вероятности перехода из одного состояния в
другое заданы.
Вероятностью перехода (переходной вероятностью)
на k-м шаге из состояния Si в состояние Sj называется
условная вероятность того, что система S после k-го
шага окажется в состоянии Sj при условии, что
непосредственно перед этим (после k - 1 шага) она
находилась в состоянии Si.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Поскольку система может пребывать в одном из п
состояний, то для каждого момента времени t
необходимо задать n2 вероятностей перехода Pij,
которые удобно представить в виде матрицы
переходных вероятностей:
 P11
P
 21
...
Pij  
 Pi1
...

 Pn1
P12 ... P1n 
P22 ... P2 n 
... ... ... 

Pi 2 ... Pin 
... ... ... 

Pn 2 ... Pnn 
где Pij - вероятность перехода за один шаг из состояния
Si в состояние Sj, ; Pij — вероятность задержки системы
в состоянии Sj.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Переходные вероятности однородной марковской
цепи Pij образуют квадратную матрицу размера nxn,
особенности которой заключаются в следующем:
 каждая строка характеризует выбранное состояние
системы, а ее элементы представляют собой
вероятности всех возможных переходов за один шаг
из выбранного (из i-го) состояния, в том числе и
переход в самое себя;
 элементы столбцов показывают вероятности всех
возможных переходов системы за один шаг в
заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строка
характеризует вероятность перехода системы из
состояния, столбец – в состояние);
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»

сумма вероятностей каждой строки равна единице,
так как переходы образуют полную группу
несовместных событий:
n
P
j 1

ij
____
 1, i  1, n
____
____
(i  1, n; j  1, n )
по главной диагонали матрицы переходных
вероятностей стоят вероятности Рij того, что
система не выйдет из состояния Si, а останется в нем.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Если для однородной марковской цепи заданы
начальное распределение вероятностей и матрица
переходных вероятностей ||Рij||, то вероятности
состояний системы Pi(k)( ; ) определяются по
рекуррентной формуле:
n
Pi (k )   Pj (k  1) * Pji
j 1
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Марковский случайный процесс с дискретными
состояниями и непрерывным временем называется
непрерывной цепью Маркова при условии, что переход
системы из состояния в состояние происходит не в
фиксированные, а в случайные моменты времени.
Для процесса с непрерывным временем вместо
переходных вероятностей Рij рассматриваются
плотности вероятностей перехода λij,
ij (t )  lim
t 0
Pij (t ; t )
t
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
ij (t )  lim
t 0
Pij (t ; t )
t
где Рij (t, Δt) - вероятность того, что система,
пребывавшая в момент t в состоянии Si за время Δt
перейдет из него в состояние Sj (при этом всегда i ≠ j).
Если λij = const то процесс называется однородным,
если плотность вероятности зависит от времени λij = λij
(t), то процесс - неоднородный.
Тема «Моделирование экономических систем с использованием
марковских случайных процессов»
Потоком событий называется последовательность однородных
событий, следующих одно за другим через случайные интервалы
времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как
интенсивность λij соответствующих потоков событий. Если все
эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S,
будет марковским.
Рис. 1.10. Граф состояний системы
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»

Системы массового обслуживания – это такие системы, в
которые в случайные моменты времени поступают заявки на
обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с
помощью имеющихся в распоряжении системы каналов
обслуживания.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:
посты технического обслуживания автомобилей; посты
ремонта
автомобилей;
персональные
компьютеры,
обслуживающие поступающие заявки или требования на
решение тех или иных задач; станции технического
обслуживания автомобилей; аудиторские фирмы; отделы
налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой
текущей отчетности предприятий; телефонные станции и т. д.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Основными компонентами системы массового обслуживания
любого вида являются: входной поток поступающих
требований или заявок на обслуживание; дисциплина
очереди; механизм обслуживания.
Входной поток требований. Для описания входного потока
требуется задать вероятностный закон, определяющий
последовательность моментов поступления требований на
обслуживание и указать количество таких требований в
каждом очередном поступлении.
Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с
которым поступающие на вход обслуживающей системы
требования подключаются из очереди к процедуре
обслуживания.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой
процедуры обслуживания и структурой обслуживающей
системы. К характеристикам процедуры обслуживания
относятся: продолжительность процедуры обслуживания;
количество требований, удовлетворяемых в результате
выполнения каждой такой процедуры; вероятность выхода
обслуживающего прибора по истечении некоторого
ограниченного интервала времени.
Предметом теории массового обслуживания является
установление
зависимости
между
факторами,
определяющими функциональные возможности системы
массового
обслуживания,
и
эффективностью
ее
функционирования.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Независимо от характера процесса, протекающего в системе
массового обслуживания, различают два основных вида СМО:
 системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему
в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же
покидает очередь;
 системы с ожиданием (очередью), в которых заявка,
поступившая в момент, когда все каналы обслуживания
заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится
один из каналов.
Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на
системы с ограниченным ожиданием и системы с
неограниченным ожиданием.
Системы массового обслуживания различают по числу каналов
обслуживания: одноканальные системы; многоканальные
системы.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Простейшая одноканальная модель
Модель характеризуется показательным распределением как
длительностей интервалов между поступлениями требований,
так и длительностей обслуживания. При этом плотность
распределения длительностей интервалов между
поступлениями требований имеет вид:
f1 (t )    e t
где λ - интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
f 2 (t )    e  t
где - интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Система работает с
отказами.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Простейшая одноканальная модель
Данная система массового обслуживания может быть представлена в
виде графа, у которого имеются два состояния:
S0 - канал свободен (ожидание);
S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).

S0

S1
Рис. 1.11. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:
P0(t) — вероятность состояния «канал свободен»;
P1(t) — вероятность состояния «канал занят».
P0(t) + P1(t) = 1
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Простейшая одноканальная модель
Для одноканальной СМО с отказами вероятность
P0(t) есть относительная пропускная способность
системы q.
q  P0 (t )
По истечении большого интервала времени
достигается стационарный (установившийся) режим:
q  P0 

 
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Простейшая одноканальная модель
Абсолютная пропускная способность (А) — среднее
число заявок, которое может обслужить система
массового обслуживания в единицу времени:

A   q 

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет
равна вероятности состояния «канал занят»:
Pотк  P1  1  P0  1 





Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием
Система массового обслуживания имеет один
канал. Входящий поток заявок - простейший поток с
интенсивностью λ .
Интенсивность потока обслуживания равна µ.
Длительность обслуживания – случайная величина,
подчиненная показательному закону распределения.
Поток
обслуживаний
является
простейшим
пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая
в момент, когда канал занят, становится в очередь и
ожидает обслуживания.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием
Стационарный процесс в системе будет описываться
системой алгебраических уравнений, решение
которой для модели СМО имеет вид:
 P0   n ,   1, n  1, 2..., N

Pn   1
 ( N  1) ,   1




Тема «Моделирование систем массового обслуживания»

S0

Одноканальная СМО с ожиданием



S1

S2

….
SN

Рис. 1.12. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
(схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 — «канал свободен»;
S1— «канал занят» (очереди нет);
S2 — «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
…………………………
SN — «канал занят» (N — 1 заявок стоит в очереди).
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием и
ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):
 вероятность отказа в обслуживании заявки:
Pотк
 1    N
 , 1

N 1 
 1   
 PN  
 1 , 1
 ( N  1)
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием и
ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):
относительная пропускная способность системы:
  1   N
 , 1
1  
N 1 
  1  
q  1  Pотк  
1  1 ,   1
 ( N  1)
 абсолютная пропускная способность:
A  q
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием и
ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):
 среднее число находящихся в системе заявок:
   1  ( N  1)   N  N   N 1 
 , 1
N
 
LS   n Pn  
(1   )  (1   N 1 )
n0

 N / 2,   1

среднее время пребывания заявки в системе:
LS
WS 
 (1  PN )
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием и
ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):

средняя продолжительность пребывания клиента
(заявки) в очереди:
Wd  WS  1/ 

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина
очереди)
Lq   (1  PN )Wd
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на
вместимость блока ожидания
Характеристики системы:
 среднее число находящихся в системе клиентов
(заявок) на обслуживание:

LS   n Pn 
n 0


1 
средняя продолжительность пребывания клиента в
системе:
LS
1
WS 

    (1   )
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на
вместимость блока ожидания
Характеристики системы:
 среднее число клиентов в очереди на
обслуживании:

2
Lq  LS  
 (1   )

средняя продолжительность пребывания клиента в
очереди:
Wq 
Lq



   (1   )
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с отказами

S0


S1

S2
2
3


…
Sk
….
k
Sn
n
Рис. 1.13. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 — все каналы свободны;
S1— занят один канал, остальные свободны;
…………….
Sk – заняты ровно k каналов, остальные свободны;
…………………………
Sn – заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с отказами
Стационарное решение системы имеет вид:




k
!
 Pk  n k   P0, k  0,1, 2,..., n

k!



k 0 k !


1
 P0  n k , k  0,1, 2,..., n
  

 k ! 

 k 0 
Формулы для вычисления вероятностей Pk
называются формулами Эрланга.



Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с отказами
Вероятностные характеристики функционирования
многоканальной СМО с отказами в стационарном
режиме:
 вероятность отказа (заявка получает отказ, если
приходит в момент, когда все n каналов заняты.
Величина Pотк характеризует полноту обслуживания
входящего потока):
Pотк  Pn 
n
n!
 P0,
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с отказами
Вероятностные характеристики функционирования
многоканальной СМО с отказами в стационарном
режиме:
 вероятность того, что заявка будет принята к
обслуживанию (она же — относительная пропускная
способность системы q) дополняет Pотк до единицы:
q  1  Pотк  1 

n
n!
 P0,
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с отказами
Вероятностные характеристики функционирования
многоканальной СМО с отказами в стационарном
режиме:
 абсолютная пропускная способность:
A    q    (1  Pотк )

среднее число каналов, занятых обслуживанием
(величина характеризует степень загрузки СМО ):
n
k   k  Pk   (1  Pотк )
k 1
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с ожиданием
Процесс массового обслуживания характеризуется
следующим: входной и выходной потоки являются
пуассоновскими с интенсивностями
λ и
µ
соответственно; параллельно обслуживаться могут не
более С клиентов. Система имеет С каналов
обслуживания.
Средняя
продолжительность
обслуживания одного клиента равна 1/µ.
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с ожиданием
В установившемся режиме функционирование
многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной
очередью может быть описано:

n
 Pn  n !  P0

n

P 
 P0
n
n

c

C ! C !
nC
0nC


 C 1 n

C
 

P0  


 n 0 n ! C ! 1      
  C  

   
1
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с ожиданием
Вероятностные характеристики функционирования
системы:
 вероятность того, что в системе находится n
клиентов на обслуживании:
n


 Pn  n !  P0

n

P 
 P0
n
n

c

C ! C !
0nC
nC
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с ожиданием
Вероятностные характеристики функционирования
системы:
 среднее число клиентов в очереди на
обслуживание:
 C 
Lq  
 PC
2
 (C   ) 

среднее число находящихся в системе клиентов
(заявок на обслуживание и в очереди):
LS  Lq  
Тема «Моделирование систем массового обслуживания»
Многоканальная СМО с ожиданием
Вероятностные характеристики функционирования
системы:
 средняя продолжительность пребывания клиента
(заявки на обслуживание) в очереди:
Wq 

Lq

средняя продолжительность пребывания клиента в
системе:
WS  Wq 
1
