Краткие пояснения к темам КР3 Тема1: Свойства характеристик

Краткие пояснения к темам КР3
Тема1: Свойства характеристик случайных величин.
Характеристики случайных величин.
(Определения, формулы вычисления, качественные свойства.)
Для сл.в. X:
Е[x];
а также Е[k x + b];
D[x] = σ2;
D[k x + b];
Для сл.в. X и Y: cov(x; y) ;
а также cov(k x + b; m y + d);
σ[x];
σ[k x + b];
Mo[x];
Mo[k x + b];
Me[x];
Me[k x + b].
cor(x; y) = ρ (x; y);
ρ (k x + b; m y + d).
Тема2: Выборочные оценки.
Выборка xn = (x1;x2;…xn), значения наблюдений за независимыми одинаково
распределенными случайными величинами Xn = (X1; X2;… Xn), имеющими такое же
распределение, как у сл.в. X.
Тогда выборочные несмещенные оценки для основных характеристик случайных величин
находятся по формулам:
Е[x]  x =(x1+x2+…+xn) / n;
D[x]  S2(n1) =(x1 x )2+(x2 x )2+…+(xn x )2) / (n1);
Тема3: Оценка максимального правдоподобия (о.м.п.)
для значения параметра распределения интересующей нас случайной величины.
Решение задачи разбивается на три шага.
Шаг 1.
Выявляется тип распределения вероятностей случайной величины, которая
представляет в математической модели интересующую нас числовую характеристику
наблюдаемого явления, и значения которой зафиксированы в выборке xn. Фиксируется
параметр распределения (θ), значение которого нам неизвестно. Как правило, параметр θ
совпадает с какой либо характеристикой распределения вероятностей случайной величины,
или имеет известное представление, как функция от значений такой характеристики.
Основные типы распределений вероятностей случайной величины.
Дискретные сл.в.: B(p); B(N;p); P(λ); G(p); G*(p).
Распределение вероятностей для них задается вероятностями: Pθ{ Xk = xk }.
Непрерывные сл.в.: N(a; σ2); E(λ).
Распределение для них задается плотностью распределения вероятностей: f θ (u).
Шаг 2. Записывается выражение для функции максимального правдоподобия L(θ; xn ).
Для дискретных случайных величин:
L(θ; xn ) = Pθ{ Xn = xn } = Pθ{ X1 = x1 }·Pθ{ X2 = x2 } · · · Pθ{ Xn = xn }.
Для непрерывных случайных величин: L(θ; xn ) = fθ(x1)· fθ(x2)· · · fθ(xn).
Шаг 3. Находится (о.м.п.), выражение для θ = θ(xn), при котором функция максимального
правдоподобия L(θ; xn ) принимает наибольшее значение.
При этом целесообразно упростить представление для L(θ; xn ),
перейти от L(θ; xn ) к L*(θ; xn ).
В заключение решения задачи приводится содержательный комментарий.
Тема 4: Доверительный интервал для случайной величины.
Решение задачи разбивается на два шага.
Шаг 1. Выявляется интересующая нас числовая характеристика наблюдаемого явления X,
(сл.в), для которой необходимо построить интервал (Δ β) допустимых значений,
обладающий свойством: P{ X  Δ β } ≥ β . (β – уровень доверия).
Шаг 2. Выявляется тип распределения вероятностей случайной величины X и по
свойствам распределения вероятностей сл.в. X или функции g(X) строится доверительный
интервал Δ β для g(X) и затем для X, либо сразу для X
В заключение решения задачи приводится содержательный комментарий.