Функция F(х)

Определение: Функция F(х) называется первообразной
функции f(х) на промежутке Х, если
x  X
F ( x)  f ( x)
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при x  X ,то
для f(х) существует первообразная F(х) на Х.
Замечание 1: Условие непрерывности не является
необходимым для существования первообразной. Пример
разрывной функции, имеющей первообразную:
Пусть
х  0,
0,

f ( x)  
1
1
2
х
sin

cos
, х  0.

x
x
х  0,
0,

F ( х)   2
1
х
sin
, х  0.

x
Пример:
f ( x)  x 1  2 x 1 на R.
Найдите первообразную функции
Решение. Данная функция может быть записана в виде:
 2 x 2  3 x  1, если x  1,
f x   
 2 x 2  3 x  1, если x  1.
2
3
F1 ( x)   x 3  x 2  x  C1 , если x  1;
3
2
2 3 3 2
F2 ( x) 
x  x  x  C2 , если x  1.
3
2
Найдем соотношение между С1 и С2 , при котором F1 (1)  F2 (1) :
1
С1   С2 .
3
1
 2 3 3 2
 3 x  2 x  x  3  C , если x  1,
F ( x)  
 2 x3  3 x 2  x  C,
если x  1.
 3
2
Замечание 2: Если функция f(х) определена на промежутке
Х и в точке
то есть
x0  X имеет разрыв в
lim f ( x)  lim f ( x)
x  x0 0
виде скачка,
x x0 0
,
то функция f(x) не имеет первообразной на любом
промежутке, содержащем точку x0 .
Теорема 2: Если F(x) одна из первообразных функции f(x),
на промежутке Х, то любая первообразная на этом промежутке
имеет вид F(x)+C.
Определение: Множество всех первообразных функции
f(x) называется неопределенным интегралом от функции
f(x) на этом промежутке и обозначается
 f ( x) dx
Основные свойства неопределенного
интеграла.
1.
 f ( x)dx  f ( x).

2.  f  x  dx  f ( x)  C.
3.  kf ( x) dx  k  f ( x) dx.
4.   f1  x   f 2 ( x)  dx   f1 ( x) dx   f 2 ( x) dx.
1
5.  f kx  b  dx  F kx  b   C.
k
6.  f x  d  g x   f x g x    g x  d  f x .
1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму или
разность.
3.Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.
Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или разность.
1.  sin 3 x cos x 
1
1
1


sin
4
x

sin
2
x
dx


cos
4
x

cos 2 x  C.

2
8
4


dx
cos 2 5 x  sin 2 5 x dx
1 
 1
2.  2




 dx 
2
2
2
2
2


sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
 sin 5 x cos 5 x 
1
1
  ctg 5 x  tg 5 x  C.
5
5
x 4  3x 2  1
1 
1 3
 2
3. 
dx

x

2

dx

x  2 x  arctg x  C.


2
2

x 1
x 1
3

Интегрирование методом замены переменной.
1
3
2


1 2
1 t
1 2
2
1.  x 3x  1 dx   t dt    C  3x  1 3x 2  1  C.
6
6 3
9
2
1 

2
Пусть
3
x

1

t
,
тогда
6
x
dx

dt
,
т
.
е
.
x
dx

dt .

6 

sin 2 x dx
1 7
1 t 6
1
2. 
   t dt   
C 
 C.
7
6
cos 2 x
2
2 6
12 cos 2 x
1 

Пусть
cos
2
x

t
,
тогда
dt


2
sin
2
x
dx
,
т
.
е
.
sin
2
x
dx


dt .

2 



е x dx
dt
x
3. 


tg
t

C

tg
e
 1  C.
2
x
2

cos e  1
cos t

Пусть


e x  1  t , тогда dt  e x dx .
Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом подстановки.
t 2 1
1 4 2
1 5 1 3
1.  x 2 x  1 dx  
t  t dt   t  t dt  t  t  C 
2
2
10
6


1
1
2
 2 x  1 2 x  1  2 x  1 2 x  1  C.
10
6

 Пусть


t 2 1
2 x  1  t , тогда x 
, dx  t dt .
2


x dx
2t
2.  3

2 x
2
   3t dt  3 4t  4t

t
3 2
2
4

 t 7 dt 
12 5 3 8
 6t  t  t  C 
5
8
12
3
2
2
2
2
3
3
 6 2  x   2  x  2  x   2  x  3 2  x   C.
5
8
2
 Пусть



3
2  x  t , тогда x  2  t 3 ,
т. е. dx  3t 2 dt

.


Интегрирование алгебраических дробей.
x3
1 5
1 
1
1.  2
dx  

 dx  5 ln x  2  ln x  2   C.
x 4
4 x2 x2
4
x3
a
b


;
2
x 4 x2 x2
x  3  ax  2   bx  2 ;
x  3  a  b  x  2a  2b;
5

a  4 ;
а  b  1;


2
a

2
b

3
.

b   1 ;

4
x3 1 5
1 



.
2
x 4 4 x2 x2
Интегрирование по частям.
1.  x cos x dx   x d sin x  x sin x   sin x dx  x sin x  cos x  C.
2.  x e 2 x dx 


1
1
1 2x 1 2x
2x
2x
2x
x
de

x
e

e
dx

x e  e  C.


2
2
2
4


1 2
1 2
2


x
d
cos
2
x


x
cos
2
x

cos
2
x
dx



2
2
1 2
1 2
1
  x cos 2 x   x cos 2 x dx   x cos 2 x   x d sin 2 x  
2
2
2
1 2
1
  x cos 2 x  x sin 2 x   sin 2 x dx 
2
2
1 2
1
1
  x cos 2 x  x sin 2 x  cos 2 x  C.
2
2
4
3.  x 2 sin 2 x dx  


4.  e x sin x dx   sin x de x  e x sin x   e x d sin x  
 
 e x sin x   e x cos x dx  e x sin x   cos x d e x 
 e x sin x  e x cos x   e x d cos x  
 e x sin x  cos x    e x sin x dx.
Получили :
x
x
x


e
sin
x
dx

e
sin
x

cos
x

e

 sin x dx.
Таким образом : 2 e x sin x dx  e x sin x  cos x   C ,
x
e
значит  e x sin x dx  sin x  cos x   C.
2