Теорема Виета Джафарова Наиля Сабир кызы Учительница математики, школа № 31,

Теорема Виета
Джафарова Наиля Сабир кызы
Учительница математики, школа № 31,
город Сумгайыта, Азербайджан
 Объяснить и предложить перестановку
теоремы Виета.
 По данным корням составить приведенное
квадратное уравнение.
 Применить теорему Виета в решении
упражнений разного типа.
В древней Индии были распространены
публичные соревнования в решении
трудных задач. Задачи часто облекались в
стихотворную форму.
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок.
Ты скажи мне, в этой стае?»
Решите:
x 2
( )  12  x  x 2  64 x  768  0
8
Ответ:
x1  16, x2  48
А теперь заметим любопытный факт:
x1  x2  ?
x1  x2  16  48  64
x1  x2  ?
x1  x2  16  48  768
x 2  64 x  768  0
Думаете, это случайность?
Можно ли найти корни не решая квадратного
уравнения?
Давайте проверим: x2 – 7x + 12 = 0
D  b 2  4ac  49  48  1
x1, 2 
7 1
x1 
4
2
b D
2a
7 1
x2 
3
2
x1  x2  4  3  7
Сумма корней равна второму коэффициенту,
но с противоположным знаком
x1  x2  4  3  12
Произведение корней равно свободному члену
x2 + px + q = 0 в приведенном квадратном уравнение,
сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену. x1  x2   p x1  x2  q
Доказательство теоремы:
x1  x2 
 p  D  p  D  p  D  p  D 2p



 p
2
2
2
2
 p  D  p  D ( p  D)( p  D)



2
2
4
p 2  D p 2  ( p 2  4q )


q
4
4
x1  x2 
Франсуа Виет
(1540-1603)
Франсуа Виет родился на юге Франции в небольшом
городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором.
По традиции, сын выбрал профессию отца и стал
юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году
двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном
городе, но через три года перешел на службу в знатную
гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем
хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней
Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом
юристе интерес к математике.
Виет первым догадался обозначить буквами не только неизвестные, но и
коэффициенты при них. Ведь используя буквы можно было записывать
формулы. Это был огромный шаг вперёд. Недаром Виета часто называют
«отцом алгебры». Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал
только положительные числа. Полученные Виетом системы равенств,
связывающие корни уравнения с коэффициентами, теперь называют
теоремой Виета.
А чему будут равны сумма корней и
произведение корней не приведенного
квадратного уравнения?
ax 2  bx  c  0
b
x1  x2  
a
c
x1  x2 
a
Задание № 1.
Уравнение
x1
x2
x2 – 5x+6=0
2
3
x2 + 5x+6=0
-2
-3
x2 –x –6=0
x2 +x –6=0
x2 + 7x+10=0
-2
2
-5
3
-3
-2
x2 – 7x+10=0
x2 – 3x –10=0
x2 +3x –10=0
2
-2
2
5
5
-5
Задание № 2.
Один из корней уравнения x2 + px + 24=0 равен 3.
Найдите другой корень и коэффициент p.
Проверим ответы:
x 2  px  24  0, x1  3
x1  x2  24 x2  8
x1  x2   p, 3  8  11
x 2  11x  24  0
Задание № 3.
Пусть х1 и х2 – корни уравнения x 2  2 x  4  0
Не вычисляя корней этого уравнения, найти:
1
1

x1
x2
Проверим ответы :
x1  x2   2
x1  x2  4
1 1 x2  x1  2
2
 


x1 x2 x1  x2
4
4
Задание № 4.
x2 - 7x + 10 = 0 (x1; x2)
2. x2 - 6x + 8 = 0 (x2; x1;)
3. x2 - 4x - 5 = 0 (x2; x1)
4. x2 +2x - 3 = 0 (x2; x1)
План работы:
1.
5.
6.
7.
8.
x2 +4x + 3 = 0 (x2; x1)
x2 +6x + 5 = 0 (x1; x2)
x2 +2x - 8 = 0 (x1; x2)
x2 - 3x - 10 = 0 (x1; x2)
 Решить квадратное уравнение
 Меньшее значение корня обозначить х1 , большее
значение корня обозначить х2
 В скобках после каждого уравнения указан код: (х1 , х2)
или (х2 , х1) – координаты точек координатной плоскости
 Отметить на координатной плоскости 8 точек и
последовательно их соединить, последнюю точку
замкнуть с первой в точке (0, 8).
 Какой рисунок получился? 
Проверим ответы :
1. (2; 5)
2. (4; 2)
3. (5; -1)
4. (1; -3)
5. (-1; -3)
6. (-5; -1)
7. (-4; 2)
8. (-2; 5)
Задание № 5.
При каких значениях m
2
2
1) один из корней уравнения x  5 x  9m  4  0 равен нулю?
2) корни уравнения x 2  (3m  5) x  3  0
будут противоположными числами?
Проверим ответы :
x 2  5 x  9m 2  4  0
x 2  (3m  5) x  3  0
9m 2  4  0
(3m  2)(3m  2)  0
3m  2  0 , 3m  2  0
2
2
m , m
3
3
3m  5  0
3m  5
2
m 1
3
Задание № 6.
Зная, что х1 и х2 корни уравнения x 2  3x  1  0,
найдите значение выражения
x14  x24  ?
Проверим ответы :
x1  x2  3 x1  x2  1
x1  x2 2  9
( x12  x22 ) 2  7 2
x14  2 x12  x22  x24  49
x12  2 x1  x2  x22  9
x14  x24  49  2
x12  x22  9  2
x14  x24  47
x12  x22  7
2 x12  x22  2 1
Задание № 7.
x2 + px + q = 0 в приведенном квадратном уравнение,
Когда корни имеют одинаковый
знак?
D  o;
c
0
a
c
Когда оба корня положительны? D  o;  0;
a
c
Когда оба корня отрицательны? D  o;
 0;
a
c
Когда корни бывают разными?
0
a
Ответы :
b
0
a
b
0
a
домашняя задания:
 Теорема Виета
 № 462, 464, 468
Может правильно объяснить и предложить
перестановку теоремы Виета.
По данным корням может правильно составить
приведенное квадратное уравнение.
Может правильно применить теорему Виета в
решении упражнений разного типа.