Функцию y = f(x)

Содержание
• Понятие числовой последовательности
• Примеры числовых последовательностей
• Способы задания последовательностей
• Ограниченность числовых последовательностей
• Возрастание и убывание числовых
последовательностей
• Предел числовой последовательности
• Гармонический ряд
• Свойства пределов
• Примеры
• Сумма бесконечной геометрической прогрессии
• Предел функции на бесконечности
• Предел функции в точке
Понятие числовой последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, …
Функцию y = f(x), x  N называют функцией натурального
аргумента
или
числовой
последовательностью
и
обозначают y = f(n) или y1, y2, …, yn, … или {уn}.
Величина
уn
называется
последовательности.
общим
членом
Обычно числовая последовательность задаётся некоторой
формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член
последовательности по его номеру n; эта формула
называется формулой общего члена.
Примеры числовых
последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN;
и т.д.
Способы задания
последовательностей
1. Перечислением членов последовательности
(словесно).
2. Заданием аналитической формулы.
3. Заданием рекуррентной формулы.
Примеры:
1. Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
2. Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
3. Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q
Ограниченность числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной сверху,
если все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность {уn} ограниченна сверху, если
существует число M такое, что для любого п выполняется
неравенство
уп ≤ М
Число
М
называют
верхней
границей
последовательности.
Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.
Ограниченность числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной снизу,
если все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность {уn} ограниченна снизу, если
существует число m такое, что для любого п выполняется
неравенство
уп ≥ m
Число
m
называют
нижней
границей
последовательности.
Пример:
1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.
Если последовательность ограничена и сверху и снизу,
то ее называют ограниченной последовательностью.
Возрастание и убывание числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют возрастающей
последовательностью, если каждый ее член
больше предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.
Последовательность {уn} называют убывающей
последовательностью, если каждый ее член
меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …
Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.
Возрастающие и убывающие
последовательности называют монотонными
Предел числовой последовательности
Рассмотрим числовую последовательность, общий
член которой приближается к некоторому числу a при
увеличении порядкового номера n. В этом случае
говорят, что числовая последовательность имеет
предел.
Это понятие имеет более строгое определение.
Число а называется пределом числовой
последовательности {уn}:
lim un  a
n
если для любого ε > 0 найдется такое число
N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N
Предел числовой
последовательности
Это определение
означает, что a есть предел числовой
последовательности,
если
её
общий
член
неограниченно приближается к a при возрастании n.
Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно
найти такое число N, что начиная с n > N все члены
последовательности расположены внутри интервала (a
– ε, a + ε).
Последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Рассмотрим последовательность:
1 1 1 1
1
1; ;
; ;
; ...;
; ... – гармонический ряд
2 3 4 5
n
1
lim
 0
n n
Если │q│< 1, то
lim q  0
n
n
Если │q│> 1, то последовательность уn = q n
расходится
Свойства пределов
lim
Еслиõn  b , lim yn , то ñ
n
n
1. предел суммы равен сумме пределов:


lim õn  ón  b  c
n
2. предел произведения равен произведению пределов:


lim õn ón  bc
n
3. предел частного равен частному пределов:
 õn 
  bc
lim 
n   ó 
 n
4. постоянный множитель можно вынести за знак
предела:
lim kõ   kb
n
n
Примеры:
1
1 1
1
1

1 ) lim 2  lim     lim  lim
 00  0
n  n
n   n
n  n n  n
n
2
5
2
5


2 ) lim   2  3   lim  lim 2  lim 3  0  0  3  3
n   n
n
n
 n n n n
1
1 1
1
1
1

3 ) lim k  lim    ...    lim  ...  lim  0  ...  0  0
n  n
n   n
n  n
n
n  n  n
 2 n2
3 
2  3 




2
2
2 
 2 n2  3 
n   lim 
n  
  lim  n2
4 ) lim  2
4 
n
n   n
n
4 

 n 4 
1  2 
 2  2 
n 

n 
 n
3 
3 


lim  2  2 
lim 2  lim  2 
n  
n   n 
2 0
n   n


 2
4
4
10
lim 1  2 
lim 1  lim  2 
n  
n
n   n 
n 
Если mN, kR, то
k
lim m  0
n n
b1
Сумма бесконечной S 
1

q
геометрической прогрессии
Приме
р:4 + … + bn + … = 9;
Дано: b1 + b2 + b3 + b
(b1)2 + (b2)2 + (b3)2 + (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5.
Найти: b5.
Решение:
 b1
b1  9 ( 1  q ),
 2
1  q  9 ,
2
9
(
1

q
)


 40 ,5.


2
2
1q
 b1

 40 ,5 ;
b1  6 ,
2
1  q


1
Ответ: 
.
q 
3

lim f ( x )  b
Предел функции на бесконечности
x
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу
b при x → ∞, если для произвольного малого
положительного числа ε можно указать такое
положительное число M, что для всех значений x,
удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется
- b| < у
ε. = b является горизонтальной
Внеравенство
этом случае|f(x)
прямая
асимптотой графика функции y = f(x).
у
у=b
y = f(x)
0
х
f ( x)  b
Предел функции в точкеlxim
а
Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a, если
для каждого положительного числа ε, как бы мало оно
не было, можно указать такое положительное число δ,
что при всех x ≠ a из области определения функции,
удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место
неравенство |f(x) - b| < ε. у
y = f(x)
b
х
0
а
Непрерывность функции в точке
Функцию y = f(x) называют непрерывной в
точке
x = a, если выполняется
l im f ( x)  условие
f (a)
x а
Пример
1) lim  x 3  2x 2  5x  3   13ы:
 2  12  5  1  3  7
х 1
2) lim
х 2
sin π x
x 4

sin2π
2 4

0
0
2 4
( x  3)( x  3)
x2  9  0 
x  3 3  3
3
3) lim
    lim
 lim


х  3 4x  12
х

3
х

3
4( x  3)
4
4
2
0