практика 6 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 2015

МАГНЕТИЗМ
,
• Закон Био-Савара-Лапласа
• Теорема о циркуляции
• Работа поля по перемещению
проводника и контура с током
• Принцип суперпозиции
• Электромагнитная индукция
• Индуктивность.
• Энергия магнитного поля
Основные формулы
 0 Idl sin 
dB 
2
r2
 

dF  idl  B
N2
L  0
S1
l1
0 I
cos 1  cos  2  A  i2  1  B  0 H
B
4r
d
0 I 2R 2
i  
B
3
dt
4 x 2  R 2  2
 0i 
B
2 R 2
 
 Bdl  0 I
L
I  I 0e
 L t
R
LI 2
W
2
BH 0 H 2
B2



2
2
20
1. На рисунке изображены два тонких длинных параллельных
проводника, по которым текут токи I1 = 15 А и I2 = 32 А в
противоположных направлениях. Расстояние между проводниками
d = 5,3 см. Определите модуль и направление вектора магнитной индукции
в точке P, расположенной в вершине прямого угла на равном расстоянии R
от проводников.
  25
Решение:
 0 I 1  0 I1
B1 

2
2R 2d
0 I 2 0 I 2
B2 

2
2R 2d
0 2 2 2
B B B 
I1  I 2  190 мкТл
2d
2
1
2
2
B1 I1
tg 

B2 I 2
2. По двум параллельным рельсам, находящимся на расстоянии l = 49 см
друг от друга и расположенным под углом φ = 14° к горизонту, может
свободно без трения скользить стержень ab, имеющий массу m = 50 г. По
стержню от источника постоянного тока пропускают ток силой I = 5,0 А.
Какое вертикальное магнитное поле B необходимо создать, чтобы стержень
оказался в состоянии равновесия?
Решение:
F  IBL sin 
,
IBl cos   mg sin 
mg
B
tg  0.05Тл
Il
3. По круглому витку радиуса R = 5 см течет ток силой I = 4 А.
Найдите магнитное поле на оси витка на расстоянии x = R от него.
Решение:
 0 Idl sin 
dB 
2
r2
,



dB  dBx  dB
0 I
dl
R
dBx  dB cos  
4 x 2  R 2  x 2  R 2 12
0 I
1
R
Bx 
4 x 2  R 2  x 2  R 2 12
2R
B
0 I
5
2 2R
 0 I 2R 2
0 dl  4 2 2 3 2
x  R 
4. К тонкому однородному проволочному
кольцу радиуса r0 подводят ток I. Подводящие
провода, расположенные радиально, делят
кольцо на две дуги – l1 и l2 . Найти индукцию
магнитного поля в центре кольца
Решение:
I2 l2
  

B  B1  B2  Bпр
B  B1  B2
,
0i1 1 0i1l1
B1 

2 R 2 4R 2
1
r0
I
I1 l1
 0idl sin  I
dB 

i2l2
2
0
4R
B2 
2
4R
l
0i1dl sin  0i1
0i1l1
B1  

dl 
2
2 
2
4R
4R 0
4R
L
1
1
 0 i1l1  i2l2 i1 R2 l2


B
2
i2 R1 l1
4r0
i1l1  i2l2
B0
5. По плоскому контуру из тонкого
провода течет ток I =1A. Определите
индукцию
магнитного
поля,
создаваемого этим током в точке O.
Радиус R = 20 см.
Решение:
B  B1  B2  B3  B4
,
B1  B3  0
B  B2  B4
0 I 
0 I
B2 

2 R 2 4 R
0 I
 0 I
B4 

2 1,5R 2 6 R
B?
6.
Бесконечно
длинный
прямой
проводник, по которому течет ток I, согнут
под прямым углом. Найти индукцию
магнитного поля в точках А и С,
расположенных
на
биссектрисе
и
продолжении стороны на расстоянии a
C
1
a
2
2
Решение:
0 I
cos 1  cos  2 
B
4r
,
BA  BA1  BA2  2BA1
BС  BС 2
Для точки А
 
1 A  0
 2 A  3 4
r  a sin 
4
0 I 
2

BA 
1

2 
a 2 
I
a
A
I
1
Для точки С
r a
1С   2
 2С  
0 I
BС 
4a
7. По бесконечно длинному прямому
проводу, изогнутому так, как это
показано на рисунке, течет ток силой I =
100 А. Определить магнитную индукцию
В в точке О, если R = 10 см.
R
O
Решение:
,
B  B1  B2  B3
0 I
cos 1  cos  2 
B
4r
0 I 

B1 
 cos 0  cos 
4 R 
2
0 I 


B3 
cos

cos



4 R 
2

I
0 I 
B 
2 R 2
0 I 
0 I
B2 

2 R 2 4 R
B?
8. Бесконечно длинный тонкий
проводник с током силой I = 50 А
изогнут как показано на рисунке.
Определить в точке О магнитную
индукцию В поля, создаваемого этим
током.
I
a
O
a
Решение:
a
B  B1  B2  B3
,
0 I
B1 
 cos 0  cos 30 
4 r1
0 I
B2 
 cos 60  cos120 
4 r2
0 I
B3 
 cos150  cos180 
4 r3
a
r1 
2
a
r2  a   
2
2
a
r3 
2
B?
2
9. По плоскому контуру из тонкого
провода течет ток I =1A. Определите
индукцию
магнитного
поля,
создаваемого этим током в точке O.
Радиус R = 20 см.
Решение:
B  B1  B2  B3  B4  B5  B6
,
0 I 1  0 I
B1  B4 

2 R 2 3 12 R
B?
0 I 2
B2  B3  B5  B6 
 cos 60  cos120 
4 R
10. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводником, по
которому течет ток I, расположена рамка (l1 на l2 ), по которой течет ток i .
Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причем в нем и в
ближайшей стороне (расположенной на расстоянии x0) направление токов
совпадает. Определить силы действующий на каждую сторону рамки и
работу по ее повороту на угол 180 относительно дальней стороны.
Решение:
,
0i
B
2 R
dF  Idl  B
Fi   dF   IBdl
li
li
 0 Iil1
 0 Iil 3
F3 
F1 
2  x0  l2 
2x0
0 Ii
F2  
dx
2x
x l
l
0 Ii
dx 0 Ii x0  l2
F2  F4 

ln

2 x x
2
x0
2
0
2
0
Aвн   A   I  2  1 
 
1, 2   BdS
dS  l1dx
S 
,
0il1
1 
2
0il1
2 
2
x0 l2

dx 0il1 x0  l2

ln
x
2
x0

dx 0il1 x0  2l2

ln
x
2
x0  l2
x0
x0  2 l2
x0 l2
 0 Iil1 x0  2l2
Aв н 
ln
2
x0
11. По длинному круглому немагнитному проводнику радиуса R = 5,0 см
течет ток I0 = 5,0 А. Плотность тока постоянна по всему сечению
проводника. Изобразите графически зависимость модуля B вектора
магнитной индукции от расстояния r от оси проводника для r > R и r < R
Решение:
,
 
rR
B
d
l


I
0
L
 
 Bdl  B2 2r  0 I 0
L
0 I 0
B2 
2r
rR
2
r
I  I0 2
R
2
r
B1 2r  0 I 0 2
R
0 I 0 r
B1 
2
2R
12. На рисунке изображена тонкая медная
полоска толщиной d = 150 мкм, помещенная
в магнитное поле с индукцией B = 0,65 Тл,
направленное
перпендикулярно
к
поверхности полоски. При пропускании по
полоске тока I = 23 А. Между точками a и b
возникла некоторая разность потенциалов
Uab. Определите разность потенциалов Uab и
укажите ее знак. Концентрация свободных
электронов
в
медном
проводнике
28
–3
n = 8,5·10 м .
Решение:
,
U ab
j
I
др  
en enS
 El  др Bl
eE  e др B
U ab
IBl
IB


enS end
13. В однородном магнитном поле с индукцией В равномерно вращается
рамка, содержащая N витков с частотой n. Площадь рамки S. Определить
мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки .
Решение:
d
i  
dt
,
  N
d
i  N
dt
  BS cos t
 i  NBS sin t
 i  2nNBS sin t
14. Катушка, содержащая N = 500 круглых витков проволоки радиусом
R = 4,0 см, помещена в однородное магнитное поле между полюсами
большого электромагнита так, что нормаль к плоскости катушки составляет
угол α = 30° с направлением вектора В. Магнитное поле уменьшается со
скоростью  = 0.2 Тл/с. Определите ЭДС индукции в катушке.
Решение:
1  BS cos 
dΦ1 dB

S cosα  βS cosα
dt
dt
dΦ1
εинд   N
  NβS cosα   πNβR 2 cosα
dt
 инд  0.435В
15. Проводящий брусок может скользить без трения по горизонтальным
рельсам в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,6 Тл. Линии
индукции перпендикулярны плоскости рельс. Рельсы замкнуты резистором
с сопротивлением R = 25 Ом (см. рис.). Расстояние между рельсами
l = 15 см. Брусок движется по рельсам с постоянной скоростью υ = 8 м/с.
Определите: ЭДС индукции в цепи, индукционный ток, внешнюю силу,
которую необходимо приложить к бруску, чтобы он двигался с постоянной
скоростью, тепловую мощность, рассеиваемую в резисторе.
Решение:
 инд   Bl   0.72 B
εинд
Blυ
Iинд 

 28.8 мА
R
R
FA  I инд Bl   Fвн
2
P  Iинд R  20.7 мВт
P  FA  I инд Bl 
16. Длинная катушка, содержащая N = 1000 витков и намотанная на
железный сердечник, имеет индуктивность L = 0,04 Гн. Площадь
поперечного сечения катушки S = 10,0 см2. При какой силе тока в катушке
магнитная индукция B в сердечнике будет равна B = 1,0 мТл
Решение:
  LI
Φ LI
Φ1  
 BS
N N
NBS
I
 0.025 A
L
17. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг
к другу витков медного провода диаметром d. Диаметр соленоида D. Ток в
цепи I0. Определить заряд, протекающий через катушку, если ее замкнуть
накоротко.
1 способ.
Решение:
I
,
i
dQ 
R
2  1
Q
R
i
R
d
i  
dt
dt
2  0
1  LI
d
Q
R
I0 L
Q
R
2 способ.
I  I 0e
dQ  Idt

Q   I 0e
0
 L t
R

dt  I 0  e
0
 L t
R
 L t
R
I0 L
Q
R
 L  R L t
dt  I 0   e
 R

0
2
N
L  0
S1
l1
l1  dN
,
L  0
S1 
D
ND 2
4d
L 0 Dd

R
16 
4
l
R
S
2
l  DN
S
d
2
4
DN
R  4 2
d
I0 L
0 Dd
Q
 I0
R
16
18. На стержень из немагнитного материала длиной d намотан в один
слой провод так, что на каждый сантиметр длины приходится N витков.
Определить энергию и плотность энергии магнитного поля внутри
соленоида, если сила тока в нем I, а площадь сечения S
Решение:
2
LI
2
L  0 n V
W
2
0 n 2VI 2 0 n 2 I 2 Sd
W 0 n 2 I 2
W

 
2
2
V
2
1 способ.
,
2 способ.
BH 0 H
B



2
2
20
2

0 n 2 I 2
2
B  0 nI
2
H  nI
W
V  Sd
0 n 2 I 2 Sd
2
19. На железный стержень длиной l=20 cм намотан в один слой N=200
витков провода.Определить магнитную проницаемость железа при силе
тока I=0.4 A
Решение:
B  0 H
,
B

0 H
N
H  nI  I
l
H  400 А
м
B  1.05Тл   2090
19. Ток какой силы надо пропустить по длинному тонкому однослойному
соленоиду с числом витков на единицу длины n, чтобы магнитная индукция
поля B в соленоиде была равна индукции постоянного магнита тех же
размеров. Намагниченность J постоянного магнита вежде одинакова и
направлена вдоль оси симметрии
Решение:
 
 Bdl  0 NI
L
,
 
 Jdl  I нам
NI  I нам
L
 
 Jdl  Jl  NI
 
 Jdl  NI
L
L
Jl
I   Jn
N
ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1. Контур с током в магнитном поле
2. Магнитное поле и его свойства.
3. Силовая характеристика магнитного поля. Поток. Теорема Гаусса
для магнитного поля. Примеры.
4. Закон Био – Савара – Лапласа. Пример.
5. Закон полного тока. Пример.
6. Взаимодействие элементов тока. Сила Лоренца.
7. Работа при перемещении проводника в магнитном поле.
8. Движение заряженной частицы в магнитном поле.
9. Эффект Холла
10. Работа при перемещении замкнутого контура в магнитном поле
11. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца.
12. Магнитном поле в веществе
13. Диамагнитный эффект.
14. Вектор намагниченности. Теорема о циркуляции.
15. Классификация магнетиков.
16. Явление само- и взаимоиндукции
17. Теория магнетизма. Намагниченность. Восприимчивость.
Проницаемость.
18. Токи при размыкании и замыкании цепи.
19. Работа и энергия магнитного поля. Индуктивность.