МБОУ «Средняя школа №13 им. С.В.Залётина» Учитель математики: Репкина Н.В.

МБОУ «Средняя школа №13 им. С.В.Залётина»
Учитель математики: Репкина Н.В.
Если вы хотите научиться плавать, то
смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте их.
Д. Пойа.
Методы решения геометрических задач.
геометрический – когда требуемое утверждение
выводится с помощью логических рассуждений из ряда
известных теорем;
алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на
основании различных зависимостей между элементами геометрических
фигур непосредственно или с помощью уравнений;
комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим
методом, а на других – алгебраическим.
Геометрия полна приключений,
потому что за каждой задачей
скрывается приключение мысли.
Решить задачу – это значит пережить
приключение.
Вячеслав Викторович Произволов.
Геометрические методы: метод длин; метод треугольников;
метод параллельных прямых; метод соотношений между
сторонами и углами треугольника; метод четырехугольников; метод площадей;
метод подобия треугольников; тригонометрический метод (метод,
основанный на соотношениях между сторонами и углами треугольника,
выраженными через тригонометрические функции); метод геометрических
преобразований.
Наиболее часто допускаемые ошибки при решении задач.
1. Не внимательное чтение условия задачи.
2. Халатное построение чертежа (от руки, без чертежных инструментов).
3. Неправильный перенос данных задачи на чертеж (либо по незнанию,
либо по небрежности).
4. Неумение проанализировать условие задачи и выявить неизвестные величины,
возможность нахождения которых вытекает прямо из условия задачи.
5. Неумение применять формулы и теоремы к решению задач.
6. Несоблюдение этапов решения задачи.
Этапы решения
геометрических задач.
№1. В треугольнике АВС АВ = ВС, а высота
АН делит сторону ВС на отрезки ВН = 45 и
СН = 30. Найдите cosB.
1. Чтение условия задачи.
2. Выполнение чертежа
с буквенными обозначениями.
Дано:
3. Краткая запись условия задачи.
4. Перенос данных на чертеж.
5. Анализ данных задачи.
Найти:
АВС, АВ = ВС,
АН – высота,
Н ВС, ВН = 45, СН = 30.
В
45
cosB.
Н
6. Составление цепочки действий.
30
7. Запись решения задачи.
8. Запись ответа.
Анализ данных задачи.
1. О чем идет речь в условии задачи?
2. Что нам известно о треугольнике?
3. Что надо найти в задаче?
4. Из какой фигуры можно найти косинус
острого угла?
А
5. Есть ли на рисунке прямоугольный треугольник?
6. Почему он прямоугольный?
7. Что называется косинусом острого угла
прямоугольного треугольника?
8. Известны ли нам эти элементы?
9. Можно ли найти гипотенузу?
Составление цепочки действий.
1. Рассмотрим АВН и докажем, что он прямоугольный.
2. Записать формулу для нахождения cosB.
3. Найдем сторону ВС, зная что по условию она равна стороне АВ.
4. Подставим все данные в формулу для нахождения cosB.
5. Запишем ответ.
С
№2. АС и ВD – диаметры окружности с центром О.
Угол АСВ равен 16 . Найдите угол АОD.
В
С
16
О
?
А
№3. Центральный угол АОВ, равный 60 ,
опирается на хорду АВ длиной 3.
Найдите радиус окружности.
D
О
60
А
№4. АВ – диаметр окружности с центром в точке О.
Точки М и N лежат на окружности.
Угол АВN равен 5 . Найдите угол NМВ.
№5. Точка О – центр окружности, на которой лежат
точки А, В, С. Известно, что АВС = 134 ,
ОАВ = 75 . Найдите угол ВОС.
N
В
3
А
О
М
А
75
О
134
В
С
В
Геометрические задачи повышенной
сложности
Решаются с помощью
1. применения ключевых задач-теорем
2. избранных методов решения
Используемая литература
Метод решения: Удвоение медианы
Медиана прямоугольного треугольника,
проведённая из вершины прямого угла, равна
половине гипотенузы.
Удвоим медиану ВК,
продлив ее за точку К
АВСЕ – параллелограмм
(по признаку)
АВСЕ – прямоугольник
(т.к. В = 90°)
 ВК = АК = КС = КЕ
 ВК = ½ АС
Ключевая задача
Следствие из свойства медианы к
гипотенузе. Ключевая задача
Медиана прямоугольного треугольника,
проведённая к гипотенузе, делит треугольник
на два равнобедренных треугольника,
основаниями которых являются катеты
данного треугольника
Использование введения буквенных
обозначений величин. Ключевая задача
Если медиана треугольника равна
половине стороны, к которой она
проведена, то треугольник прямоугольный.
∆ABD и ∆ BCD – равнобедренные
BAD =ABD = α; DBC = BCD = β
2α + 2β =180°
α + β =90°
АВС = α + β = 90°
Метод вспомогательных построений
При решении некоторых задач удобно в
прямоугольном треугольнике выделять
треугольник, образованный медианой и
высотой к гипотенузе
Применение свойства медианы к гипотенузе
Найдите гипотенузу прямоугольного
треугольника с острым углом 15°, если
известно, что высота треугольника,
опущенная на гипотенузу, равна 1.
Проведем медиану CD к гипотенузе.
∆ACD - равнобедренный
CAD = ACD = 15°
Применение свойства медианы к гипотенузе
Найдите гипотенузу прямоугольного
треугольника с острым углом 15°, если
известно, что высота треугольника,
опущенная на гипотенузу, равна 1.
CAD = ACD = 15°
CDH = 30° как внешний угол
CD = 2СН = 2
АВ = 2СD = 4
Ответ: 4
Применение свойства медианы к гипотенузе
Тренировочная работа ГИА февраль 2014 г
Найдите острые углы прямоугольного
треугольника, если его гипотенуза равна 12,
а площадь равна 18.
Проведем медиану CD и высоту СН к гипотенузе.
2S 2 18
СН 

 3; СD = 6
c
12
 CDH = 30°
 CAD = ACD = 15°
CВА = 90° - 15° = 75°
Ответ: 15°; 75°
Свойства площади треугольника
Площади треугольников, имеющих
общую высоту (равные высоты) ,
относятся как стороны, к которым эти
высоты проведены
S ABD AD

SCBD DC
2. Медиана делит треугольник на два
равновеликих треугольника
Ключевые задачи
Метод вспомогательных построений.
Использование осевой симметрии
В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом С
медиана BM равна 6, ∠ MBC = 15º. Найдите площадь
треугольника ABC.
S∆АВС= 2S CBМ, т.к. ВМ - медиана
Выполним осевую симметрию
∆СВМ относительно прямой ВС
S ∆DВC = S CBМ
S∆АВС=S DBМ = 2S CBМ
S ABC= ½ ВМ2 ·sin30° = 9
Ответ: 9
Построение вспомогательных отрезков
в трапеции
Прямую, параллельную одной из
диагоналей трапеции
Прямую, параллельную одной из
боковых сторон трапеции
Прямые, параллельные обеим
боковым сторонам трапеции
Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD
∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а
длина отрезка, соединяющего середины оснований,
равна 3. Найдите длину основания AD.
AD – большее основание
Построим MF ║AB, MT ║ CD
Применение свойства медианы к гипотенузе
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD
∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а
длина отрезка, соединяющего середины оснований,
равна 3. Найдите длину основания AD.
FMT - прямой
∆FMT - прямоугольный
MN- медиана?
Обозначим AN = ND = b;
AD = 2b, BM = MC = a
 MN- медиана к гипотенузе
 FT = 2MN = 6
Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе
12. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD
∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а
длина отрезка, соединяющего середины оснований,
равна 3. Найдите длину основания AD.
MN- медиана к гипотенузе
FT = 2MN = 6
FT = 2b – 2a = 6
средняя линия KL
BC  AD 2a  2b
KL 

 ab 5
2
2
AD = 2b = 8
a  b  5, b  4,


Ответ: 8
b  a  3; a  1.
Метод решения: Переход к равновеликой
вспомогательной фигуре
В параллелограмме ABCD площадь
треугольника АСD равна площади
треугольника DBС
S ∆DAC = S ∆DВC = ½S ABCD
Метод решения: Переход к равновеликой
вспомогательной фигуре
Площадь трапеции АВСD равна
площади треугольника АСЕ
CE ║ BD
АЕ = AD + DE =AD + ВС
Дополнительные построения в трапеции.
Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок,
соединяющий середины оснований, равен 2.
Найдите площадь трапеции.
Проведем CE ║ BD, СР ║MN
S ABCD = S ∆АCЕ
Дополнительные построения в трапеции.
Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок,
соединяющий середины оснований, равен 2.
Найдите площадь трапеции.
СР – медиана ?
Обозначим ВМ =MC = а;
АN = ND = b
MC = NP = а; BC = DE = 2a
PD = b - a
AP =b + а; PE=b – a+2a = b + a
 СР – медиана к гипотенузе
Применим метод удвоения медианы
Дополнительные построения в трапеции. Метод
удвоения медианы. Переход к равновеликой фигуре
Диагонали трапеции
равны 3 и 5, а отрезок,
соединяющий середины
оснований, равен 2.
Найдите площадь
трапеции.
СН=2СР= 4
S ∆CНЕ = S ∆АCЕ = SABCD
СН= 4; СЕ = 5; НЕ = 3
 ∆СНЕ - прямоугольный,  СНЕ = 90°
S ABCD = S ∆АCЕ =S∆СНЕ= ½ СН ·НЕ = ½·4 · 3 = 6
Ответ: 6
Метод площадей
Идея метода: площади фигуры находим,
используя различные формулы или
различные отрезки и углы. Приравняв эти
выражения, получаем уравнение,
содержащее известные и искомые
величины.
Метод площадей
Медиана BM треугольника ABC равна его
высоте AH. Найдите угол MBC.
Пусть МВС = α Т.к. ВМ - медиана
1
 S ABC  2  S МВС  2   ВМ  ВС  sin 
2
 S ABC  ВМ  ВС  sin 
1
С другой стороны S АВС   AH  ВС
2
1
 ВМ  ВС  sin    AH  ВС
2
Т. к. АН = ВМ, то
1
sin  
2
 МВС = α = 30° или МВС = 150°
Свойство деления сторон треугольника
окружностью, вписанной в него.
АМ = АЕ
BN = BЕ
CN = CM
Метод площадей
В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна
из сторон треугольника разделена точкой касания на
части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны
треугольника.
Обозначим AM = AN = x
S
1
Pr
2
S△ABC = (8 + 6 + x) · 4 = (14 + x) · 4.
С другой стороны, по формуле Герона
S ABC  (14  x)  8  6  x
4  (14  x)  (14  x)  8  6  x
х=7
AC = x + 6 = 13, AB = x + 8 = 15
Ответ: 13; 15
Метод решения: Введение
вспомогательной окружности
Идея метода: ввести в рассмотрение
окружность, если это возможно в данной
конфигурации, чтобы применить
разнообразные свойства отрезков и углов,
связанных с ней
Введение вспомогательной окружности
В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠ BCA = 20º,
∠ BAC = 35º, ∠ BDС = 70º, ∠ BDA = 40º. Найдите
углы между диагоналями этого четырехугольника.
20º =½· 40º
∠ BCA и ∠ BCA опираются на
отрезок ВА и лежат от него по одну
сторону 
Можно построить окружность с
центром в точке D, проходящую
через остальные три вершины
четырехугольника С; В и D
Введение вспомогательной окружности
В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠ BCA = 20º,
∠ BAC = 35º, ∠ BDС = 70º, ∠ BDA = 40º. Найдите
углы между диагоналями этого четырехугольника.
CD = DA как радиусы одной окружности
 ∆ ACD - равнобедренный
∠ СAD = ∠ DСA =
= (180º – 40º – 70º ) : 2 = 35º.
Из Δ APD
∠ APD = 180º – 40º – 35º = 105º.
Углы между диагоналями равны
105º и 75º
Ответ: 105°; 75°
Введение вспомогательной окружности
В трапеции ABCD (AD || ВС)  ADB в два раза
меньше  АСВ. Известно, что ВС = АС = 5 и AD = 6.
Найдите площадь трапеции.
 ADB = ½  АСВ и углы
«опираются» на один отрезок – АВ и
лежат от него по одну сторону
Можно построить окружность с
центром в точке С и
R = ВС = АС = 5
 CD = 5 ∆ACD - равнобедренный
3
Проведём высоту СК CК = 4
Ответ: 22
3
№6. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры
ВЕ и DF к диагонали АС. Докажите, что отрезки BF и DE равны.
Решение:
А
В
С
F
Е
D
Джорж Бернард Шоу
Умение мыслить математически –
одна из благороднейших
способностей человека.
№6. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры
ВЕ и DF к диагонали АС. Докажите, что отрезки BF и DE равны.
А
Джорж Бернард Шоу
В
С
F
Е
D