Математический анализ (2)

Математический
анализ
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее независимые переменные,
их функцию и производные (или дифференциалы)
этой функции. Если независимая переменная одна,
то уравнение называется обыкновенным; если же
независимых переменных две или больше, то
уравнение называется дифференциальным
уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в
уравнение, называется порядком дифференциального
уравнения. Например:
1. 𝑥 2 𝑦 ′ + 5𝑥𝑦 = 𝑦 2 – обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка;
2.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
− 4𝑥𝑦 = 𝑥 2 – обыкновенное
𝑑𝑥
дифференциальное уравнение второго порядка;
3
′
𝑦
+ 𝑦 ′′ 𝑦 ′′′ = 𝑥 – обыкновенное
дифференциальное уравнение третьего порядка;
4. 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ = 0 – общий вид обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка;
3.
𝜕𝑧
𝜕𝑧
5. 𝑥 2 𝜕𝑥 + 𝑦 2 𝜕𝑦 = 0 – уравнение в частных
производных первого порядка.
Решением дифференциального уравнения называется такая
дифференцируемая функция 𝑦 = 𝜑 𝑥 , которая при подстановке
ее в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в
тождество. Процесс нахождения решения дифференциального
уравнения называется интегрированием дифференциального
уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого
порядка 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) в области 𝐷 называется функция 𝑦 =
𝜑(𝑥, 𝐶), обладающая следующими свойствами: 1) она является
решением данного уравнения при любых значениях
произвольной постоянной 𝐶, принадлежащих некоторому
множеству; 2) для любого начального условия 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 такого,
что 𝑥0 ; 𝑦0 ∈ 𝐷, существует единственное значение 𝐶 = 𝐶0 , при
котором решение 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶0 ) удовлетворяет заданному
начальному условию.
Всякое решение 𝑦 = 𝜑 𝑥, 𝐶0 , получающееся из общего
решения 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) при конкретном значении 𝐶 = 𝐶0 ,
называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение
уравнения 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), удовлетворяющее начальному
условию 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , называется задачей Коши.
Построенные на плоскости 𝑥𝑂𝑦 график всякого решения
𝑦 = 𝜑 𝑥 дифференциального уравнения называется
интегральной кривой этого уравнения. Таким образом,
общему решению 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) на плоскости 𝑥𝑂𝑦
соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от
одного параметра – произвольной постоянной 𝐶, а частному
решению, удовлетворяющему начальному условию 𝑦 𝑥0 =
𝑦0 , кривая этого семейства, проходящая через заданную
точку 𝑀0 𝑥0 ; 𝑦0 .
Теорема Коши
Если функция 𝑓 𝑥, 𝑦 непрерывна и имеет
непрерывную производную
𝜕𝑓
𝜕𝑦
в области 𝐷, то
решение дифференциального уравнения 𝑦 ′ =
𝑓(𝑥, 𝑦) при начальном условии 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
существует и единственно, т.е. через точку
(𝑥0 ; 𝑦0 ) проходит единственная интегральная
кривая данного уравнения.
Особое решение
Особым решением называется такое решение, во всех точках
которого условие единственности не выполняется, т.е. в любой
окрестности каждой точки (x; y) особого решения существуют, по
крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту
точку.
Особые решения не получаются из общего решения
дифференциального управления не при каких значениях
произвольной постоянной 𝐶 (в том числе и при 𝐶 = ±∞).
Особым решением является огибающая семейства интегральных
кривых (если она существует), т.е. линия, которая в каждой своей
точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения 𝑦 ′ = ± 1 − 𝑦 2
записывается в виде 𝑦 = sin 𝑥 + 𝐶 . Это семейство интегральных
кривых имеет две огибающие: 𝑦 = 1 и 𝑦 = −1, которые и будут
особыми решениями.
Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида 𝑓1 𝑥 𝜑1 𝑦 𝑑𝑥 +
𝑓2 𝑥 𝜑2 𝑦 𝑑𝑦 = 0 относится к типу уравнений с разделяющимися
переменными. Если ни одна из функций 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), 𝜑1 (𝑦), 𝜑2 (𝑦) не
равна тождественно нулю, то в результате деления исходного
уравнения на 𝑓2 𝑥 𝜑1 𝑦 оно приводится к виду
𝒇𝟏 (𝒙)
𝝋 (𝒚)
𝒅𝒙 + 𝟐 𝒅𝒚
𝒇𝟐 (𝒙)
𝝋𝟏 (𝒚)
=
𝟎
Интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
𝑓1 (𝑥)
𝑑𝑥
𝑓2 (𝑥)
+
𝜑2 (𝑦)
𝑑𝑦
𝜑1 (𝑦)
= 𝐶, которое и определяет (в неявной форме)
решение исходного уравнения. Решение дифференциального
уравнения, выраженное в неявной форме, называют общим
интегралом этого уравнения.
Пример
Решить уравнение 𝑥 𝑦 2 − 4 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0.
Разделив обе части уравнения на 𝑦 2 − 4 ≠ 0, имеем 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑦 𝑑𝑦
= 0.
2
𝑦 −4
Интегрируя, находим 𝑥 2 + ln |𝑦 2 − 4| = ln |𝐶|,
2
или 𝑦 2 − 4 = 𝐶𝑒 −𝑥 .
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь 𝑦 2 − 4 = 0, т.е. 𝑦 = ±2. Непосредственной
подстановкой убеждаемся, что 𝑦 = ±2 – решение исходного
уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его
можно получить из общего решения при 𝐶 = 0.
Однородные
дифференциальные уравнения
Уравнения вида 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
называется однородным, если 𝑃 𝑥, 𝑦 и 𝑄 𝑥, 𝑦 –
однородные функции одного измерения.
Функция 𝑓 𝑥, 𝑦 называется однородной
измерения m, если 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝜆 𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 .
Однородное уравнение может быть приведено в
виду 𝑦 ′ = 𝑓 𝑦 𝑥 . С помощью подстановки 𝑦 = 𝑡𝑥
однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными по отношению к
новой неизвестной функции 𝑡.
Пример
Найти общий интеграл уравнения (𝑥 2 +2𝑥𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0.
Здесь 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦, 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦. Обе функции – однородные
второго измерения. Введем подстановку 𝑦 = 𝑡𝑥, откуда 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑡 +
𝑡𝑑𝑥. Тогда уравнение принимает вид
(𝑥 2 +2𝑥 2 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑡𝑥 2 𝑥 𝑑𝑡 + 𝑡 𝑑𝑥 = 0, или (𝑥 2 +2𝑥 2 𝑡 + 𝑡 2 𝑥 2 )𝑑𝑥 +
𝑡𝑥 3 𝑑𝑡 = 0.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
𝑑𝑥
𝑡𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑡𝑑𝑡
+
=
0;
+
= 𝐶.
2
2
𝑥
𝑡+1
𝑥
𝑡+1
Преобразуем второй интеграл:
𝑡+1−1
1
ln 𝑥 +
𝑑𝑡 = 𝐶, или ln 𝑥 + ln 𝑡 + 1 +
= 𝐶.
𝑡+1 2
𝑡+1
Возвращаясь к прежней неизвестной функции 𝑦 𝑡 = 𝑦 𝑥 , получаем
окончательный ответ:
𝑥
ln 𝑥 + 𝑦 +
= 𝐶.
𝑥+𝑦
Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли
Уравнение вида 𝒚′ + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 называется линейным
(𝑦 и 𝑦 ′ входят в первых степенях).
Уравнение называется линейным однородным, если 𝑄 𝑥 = 0,
в противном случае оно называется линейным неоднородным.
Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать
методом Бернулли, который заключается в следующем. С
помощью подстановки 𝑦 = 𝑢𝑣, где 𝑢 и 𝑣 – две неизвестные
функции, исходное уравнение преобразуется к виду
𝒖′ 𝒗 + 𝒖𝒗′ + 𝑷 𝒙 𝒖𝒗 = 𝑸 𝒙 ,
или 𝒖 𝒖′ + 𝑷 𝒙 𝒗 + 𝒗𝒖′ = 𝑸 𝒙 .
Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций
(например, 𝑣) может быть выбрана совершенно
произвольно (поскольку лишь произведение 𝑢𝑣 должно
удовлетворять исходному уравнению), за 𝑣 принимают
любое частное решение уравнения 𝑣 ′ + 𝑃 𝑥 𝑣 = 0
(например, 𝑣 = 𝑒 − 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ), обращающее, следовательно, в
нуль коэффициент при 𝑢 в последнем уравнении.
Тогда предыдущее уравнение примет вид
𝑄 𝑥
′
′
𝑣𝑢 = 𝑄 𝑥 , или 𝑢 =
, т. е. 𝑢′ = 𝑄 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 ,
𝑣
Откуда
𝑢=𝐶+
𝑄 𝑥 𝑒
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥.
Общее решение исходного уравнения находится умножением
𝑢 на 𝑣:
𝑦 = 𝑒−
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑄 𝑥 𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 .
Уравнение (нелинейное) вида
𝑦′ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑦𝑚,
где 𝑚 ≠ 0, 𝑚 ≠ 1, называется уравнением Бернулли. Его можно
преобразовать в линейное уравнение, производя замену
неизвестной функции при помощи подстановки 𝑧 = 𝑦1−𝑚 , в
результате чего исходное уравнение преобразуется к виду
1
𝑧′ + 𝑃 𝑥 𝑧 = 𝑄 𝑥 .
1−𝑚
При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не надо
предварительно преобразовывать в линейные, а сразу применять
метод Бернулли.
Пример 1
Проинтегрировать уравнение 𝑦 ′ cos 2 𝑥 + 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 при начальном условии
𝑦 0 = 0.
Интегрируем соответствующее однородное уравнение 𝑦 ′ cos 2 𝑥 + 𝑦 = 0;
разделив переменные получим,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−𝑡𝑔𝑥
+
=
0,
ln
𝑦
+
𝑡𝑔𝑥
=
ln
𝐶,
𝑦
=
𝐶𝑒
.
2
𝑦
cos 𝑥
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде 𝑦 =
𝐶 𝑥 𝑒 −𝑡𝑔𝑥 , где 𝐶(𝑥) – неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение
𝑦 = 𝐶 𝑥 𝑒 −𝑡𝑔𝑥 и 𝑦 ′ = 𝐶 ′ 𝑥 𝑒 −𝑡𝑔𝑥 sec 2 𝑥, придем к уравнению
cos 2 𝑥 𝐶 ′ 𝑥 𝑒 −𝑡𝑔𝑥 − 𝐶 𝑥 𝑒 −𝑡𝑔𝑥 sec 2 𝑥 cos 2 𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑒 −𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝑥,
или
𝐶 ′ 𝑥 cos 2 𝑥𝑒 −𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝑥,
откуда
𝑒 𝑡𝑔𝑥 𝑡𝑔𝑥
𝑡𝑔𝑥 𝑡𝑔𝑥 − 1 + 𝐶.
𝐶 𝑥 =
𝑑𝑥
=
𝑒
cos 2 𝑥
Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:
𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 − 1 + 𝐶𝑒 −𝑡𝑔𝑥 .
Используя начальное условие 𝑦 0 = 0, получим 0 = −1 + 𝐶, откуда 𝐶 + 1.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 − 1 + 𝑒 −𝑡𝑔𝑥 .
Пример 2
Проинтегрировать уравнение
2𝑥𝑦
𝑦
′
𝑦 −
=4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥.
2
2
1+𝑥
1+𝑥
Это – также уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом
Бернулли, для чего положим 𝑦 = 𝑢𝑣. Подставляя в исходное
уравнение 𝑦 = 𝑢𝑣, 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ , сгрупируем члены содержащие
𝑢 в первой степени:
2𝑥𝑣
𝑢𝑣
′
′
𝑢 𝑣+𝑢 𝑣 −
=4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥.
2
1 + 𝑥2
1+𝑥
𝑢′
Примем за 𝑣 какое-либо частное решение уравнения −
0. Разделяя в нем переменные, находим
𝑑𝑢
2𝑥𝑑𝑥
2
2
=
;
ln
𝑢
=
ln
1
+
𝑥
;
𝑢
=
1
+
𝑥
𝑢
1 + 𝑥2
(постоянную интегрирования не вводим).
2𝑥𝑣
1+𝑥 2
=
Пример 2 (продолжение)
Для отыскания 𝑢 имеем уравнение
𝑢𝑣
′
𝑢𝑣=4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥,
2
1+𝑥
или (поскольку 𝑢 = 1 + 𝑥 2 )
4 𝑢𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
′
𝑢 =
.
1 + 𝑥2
Разделяем переменные и интегрируем:
𝑑𝑢
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
2 𝑥 + 𝐶.
=
𝑑𝑥;
𝑢
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1 + 𝑥2
2 𝑢
Таким образом, 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝐶 2 и 𝑦 = 𝑢𝑣 = (1 +
Дифференциальные уравнения
высших порядковия
Дифференциальным уравнением высшего порядка называется
уравнение вида
𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ , … , 𝒚 𝒏 = 𝟎.
Решением такого уравнения служит всякая 𝑛 раз
дифференцируемая функция 𝑦 = 𝜑(𝑥), которая обращает данное
уравнение в тождество, т.е.
𝑭 𝒙, 𝝋 𝒙 , 𝝋′ 𝒙 , 𝝋𝒏 𝒙 , … , 𝝋 𝒏 𝒙 ≡ 𝟎.
Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти
решение уравнения, удовлетворяющее условиям 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ,
(𝑛−1)
(𝑛−1)
𝑦 ′ 𝑥0 = 𝑦′0 , … , 𝑦 𝑛−1 (𝑥0 ) = 𝑦0
, где 𝑥0 , 𝑦0, 𝑦0′ , … , 𝑦0
–
заданные числа , которые называются начальными условиями.
Функция 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 ) называется общим решением
данного дифференциального уравнения n-го порядка, если при
соответствующем выборе произвольных постоянных
𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 эта функция является решением любой задачи Коши,
поставленной для данного уравнения.
Всякое решение, получаемое из общего решения при
конкретного значениях постоянных 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 , называется
частным решением этого уравнения.
Уравнение вида 𝒚
(𝒏)
= 𝒇(𝒙)
Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием, а
именно:
𝑦 (𝑛) = 𝑓 𝑥 , 𝑦 (𝑛−1) =
𝑦
𝑛−2
=
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶1 = 𝑓1 𝑥 + 𝐶1 ,
𝑓1 𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 = 𝑓2 𝑥 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 ,
.............................
𝐶1
𝐶2
𝑛−1
𝑦 = 𝑓𝑛 𝑥 +
𝑥
+
𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝐶𝑛−1 𝑥 + 𝐶𝑛 ,
𝑛−1 !
𝑛−2 !
Так как
𝐶1
𝐶
, 2 ,…
𝑛−1 ! 𝑛−2 !
являются постоянными величинами, то общее
решение может быть записано и так:
𝑦 = 𝑓𝑛 𝑥 + 𝐶1 𝑥 𝑛−1 + 𝐶2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝐶𝑛−1 𝑥 + 𝐶𝑛.
Дифференциальные уравнения вида
𝑭 𝒙, 𝒚 𝒌 , 𝒚 𝒌+𝟏 , … , 𝒚𝒏 = 𝟎, не
содержащие искомой функции
Порядок того уравнения можно понизить, взяв за
новую неизвестную функцию низшую из производных
данного уравнения, т.е. полагая 𝑦 (𝑘) = 𝑧. Тогда получим
уравнение
𝑭 𝒙, 𝒛, 𝒛′ , … , 𝒛 𝒏−𝒌 = 𝟎
Таким образом, порядок уравнения понижается на k
единиц.
Пример
Найти общее решение уравнения 𝑥𝑦 ′′ = 𝑦′ ln 𝑦′ 𝑥 .
Полагая 𝑦 ′ = 𝑧, преобразуем уравнение к виду
𝑥𝑧 ′ = 𝑧 ln 𝑧 𝑥 , или 𝑧 ′ = 𝑧 𝑥 ln 𝑧 𝑥 .
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая 𝑧 𝑥 = 𝑡,
откуда 𝑧 = 𝑡𝑥, 𝑧 ′ = 𝑡 ′ 𝑥 + 𝑡, получим уравнение
𝑑𝑥
𝑑𝑥
′
𝑡 𝑥 + 𝑡 = 𝑡 ln 𝑡, или
=
.
𝑡(ln 𝑡 − 1)
𝑥
Интегрируя, находим
ln ln 𝑡 − 1 = ln 𝑥 + ln 𝐶1 или ln 𝑡 − 1 = 𝐶1 𝑥,
откуда 𝑡 = 𝑒 1+𝐶1 𝑥 𝑥; возвращаясь к переменной 𝑦, приходим к
уравнению 𝑦 ′ = 𝑥𝑒 1+𝐶1 𝑥 Следовательно,
1 1+𝐶 𝑥
1 1+𝐶 𝑥
1+𝐶
𝑥
1
1
𝑦 = 𝑥𝑒
𝑑𝑥 = 𝑥𝑒
− 2 𝑒 1 + 𝐶2 .
𝐶1
𝐶1
Дифференциальные уравнения вида
′ ′′
𝒏
𝑭 𝒚, 𝒚 , 𝒚 , … , 𝒚
= 𝟎, не содержащие
независимой переменной
Уравнение этого вида допускает понижение порядка на
единицу, если положить 𝑦 ′ = 𝑧, а за новый аргумент принять
сам y. В этом случае 𝑦 ′′ , 𝑦 ′′′ , … выразятся по формулам (они
выводятся по правилу дифференцирования сложной функции)
𝑑𝑧
𝑑𝑧 𝑑𝑦
𝑦 ′′ =
=
= 𝑧 ′ 𝑧,
𝑑𝑦
𝑦 ′′′
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=𝑧 ×
𝑑2 𝑧
𝑧 2
𝑑 𝑦
+
𝑑𝑧 2
𝑑𝑦
, … через z и производные от z по
y, причем порядок уравнения понизится на единицу.
Пример
Решить уравнение 1 + 𝑦 ′2 = 𝑦𝑦′′.
′
′′
Положим y = z, y =
𝑑𝑧
z .
𝑑𝑦
2
Уравнение примет вид 1 + 𝑧 =
𝑑𝑧
𝑦𝑧 ;
𝑑𝑦
это – уравнение первого порядка относительно z с разделяющимися
переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
𝑧𝑑𝑧
𝑑𝑦
2 = 2 ln 𝑦 + 2 ln 𝑦 + 2 ln 𝐶 ; 1 + 𝑧 2 = 𝐶 2 𝑦 2 ;
=
;
ln
1
+
𝑧
1
1
1 + 𝑧2
𝑦
𝑧 = ± 𝐶12 𝑦 2 − 1.
Отсюда, возвращаясь к переменной y, имеем
𝑑𝑦
2 2
′
𝑦 = ± 𝐶1 𝑦 − 1,
= ±𝑑𝑥,
2 2
𝐶1 𝑦 − 1
1
ln(𝐶1 𝑦 + 𝐶12 𝑦 2 − 1) = ± 𝑥 + 𝐶2 ,
𝐶1
Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами
Это уравнения вида:
где a, b - некоторые действительные числа, f (x) - некоторая
функция. Если f (x) = 0, то уравнение называется
однородным, в противном случае - неоднородным.
Рассмотрим сначала, как решается однородное уравнение
(1)
Чтобы найти общее решение (1) надо составить
характеристическое уравнение, соответствующее (1):
(2)
и найти его корни.
При этом возможны следующие ситуации:
1.
, корни вещественные, т. е. дискриминант
уравнения (2) и D > 0. Тогда общее решение (1) ищем в виде
2.
, т.е. корни уравнения (2) совпадают и D = 0.
Тогда общее решение (1) ищем в виде
3. если дискриминант уравнения (2) отрицателен D < 0, то
найдем комплексно-сопряженные корни этого уравнения:
где
,
Тогда
решение уравнения (1).
- общее
Примеры
Решить ДУ:
а)
б)
в)
Перейдем к решению линейного неоднородного ДУ с постоянными
коэффициентами
(3)
Теорема. Общее решение линейного неоднородного ДУ равно
сумме общего решения соответствующего однородного ДУ (1) и
частного решения исходного уравнения (3).
Общее решение уравнения (1) мы находить умеем. Рассмотрим
задачу о нахождении частного решения неоднородного уравнения
(3). Ограничимся важными частными случаями, когда функция f (x)
имеет вид:
многочлены степени
Можно показать, что в этом случае частное решение уравнения (3)
можно искать в одном из следующих трех видов:
а) если
(контрольное число правой части) не совпадает ни с
одним из двух корней характеристического уравнения (2), то
частное решение (3) ищем в виде:
многочисленны степени m с неизвестными коэффициентами.
б) если
совпадает с одним из двух корней или
характеристического уравнения (2), то
в) если
совпадает с корнем кратности 2 характеристического
уравнения, т. е.
;
, то
Покажем на конкретных примерах, как находятся неизвестные
коэффициенты в многочленах
и
:
1) Найти общее решение ДУ: 1.
т.е.
Тогда , где А0 неизвестно. Подставляя это
решение в исходное уравнение, получим 0+0-3
,
следовательно,
и
- общее решение
исходного уравнения.
2)
, т.е.
Тогда
. Подставляя эту функцию в исходное
уравнение, получим
т. к. равенство должно выполняться при всех х, то следует
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях
переменной х: